Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Esempio 6.2.6. Si consideri il caso dell’esempio 6.2.5, ma con regola contrattuale di rivalutazione
a premio unico di inventario. Sia n−tgx+t il tasso di caricamento per spese di gestione
(per unità di premio di tariffa, come usuale per i tassi di caricamento) del premio unico della
polizza aggiuntiva che realizza la rivalutazione alla ricorrenza anniversaria t. Si noti che, in
linea di principio, il tasso di caricamento può dipendere da t per tramite dell’età raggiunta
x + t e della durata residua n − t, che è la durata della polizza aggiuntiva. Il tasso di premio
unico di inventario (per unità di capitale aggiuntivo) è allora
n−ttx+t = n−tux+t
1 − n−tgx+t
= n−tEx+t
1 − n−tgx+t
Ripetendo il ragionamento dell’esempio 6.2.5, partendo dalla condizione che il premio di
tariffa della polizza aggiuntiva sia uguale all’utile trattenuto:
si ottiene che
C agg
t
tV agg
x
∆retr t
=
n−ttx+t
= C agg
t
Ct = Ct−1 + C agg
t
C agg
t n−ttx+t = ∆ retr
t
= Ct−1 (1 − n−tgx+t) ρt ,
n−tux+t = ∆ retr
t
n−tux+t
n−ttx+t
tV riv
x = tVx + tV agg
x = tVx + ∆ retr
t
,
.
= ∆ retr
t (1 − n−tgx+t) ,
= Ct−1 [1 + (1 − n−tgx+t) ρt] ,
− ∆ retr
t n−tgx+t .
Quindi, rispetto al caso di rivalutazione a premio puro, essendo n−tgx+t > 0 e quindi
(1 − n−tgx+t) ρt ≤ ρt ,
e la rivalutazione del capitale assicurato è meno che piena, perché “frenata” dal tasso di caricamento.
Equivalentemente, non tutto l’utile da retrocedere viene trasformato in incremento
di riserva della polizza perché viene applicato il caricamento Gt = ∆retr t n−tgx+t.
Esempio 6.2.7. In una polizza mista a premio unico la situazione è formalmente analoga a
quella della capitale differito, sia nel caso di rivalutazione a premio unico puro che in quello di
rivalutazione a premio unico di inventario. L’unica cosa che cambia è l’espressione del tasso
di premio unico puro della polizza aggiuntiva, che coincide con il tasso di riserva prestazioni
e che nel caso della mista è
n−tux+t = n−tEx+t + n−tAx+t .
Ripetendo il calcolo, infatti, si ottengono le stesse espressioni già ottenute per la capitale
differito perché, come in quel caso, il tasso di premio unico puro si semplifica.
Esempio 6.2.8. Si consideri una polizza di capitale differito a premio annuo costante, con
rivalutazione del capitale assicurato a premio unico puro. Sia n la durata contrattuale, C0
il capitale assicurato iniziale, definito alla stipula del contratto, Ct−1 il capitale assicurato
come rivalutato fino alla ricorrenza anniversaria t − 1, P il premio annuo puro e x l’età
dell’assicurato alla stipula del contratto. Naturalmente si ha
P = C0 nEx
näx
= C0 nux
näx
, (206)
dove nux è il tasso di premio unico puro, che coincide con il tasso di riserva prestazioni ed è
lo stesso della versione a premio unico del contratto, trattata nell’esempio 6.2.5. Al tempo t,
subito prima della rivalutazione, la riserva matematica della polizza è
tVx = Ct−1 n−tEx+t − P n−täx+t = Ct−1 n−tux+t − P n−täx+t .
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 46