Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Confrontando la (193) con la (194) si ottiene che
e quindi che
La differenza
tVx Dt
=
1 + i 1 + It
1 + It
Dt = tVx
1 + i =
tVx
1 + It − i
1 + i
It − i
∆t = Dt − tVx = tVx
1 + i
. (195)
(196)
è il surplus (in senso algebrico) di valore degli attivi rispetto alla riserva che l’assicuratore
deve coprire. Il segno di ∆t è quello della differenza It −i: il surplus è positivo se il rendimento
degli attivi ha “battuto” il tasso tecnico, negativo se hanno reso meno del tasso tecnico. Si
tratta pertanto di un utile (in senso algebrico) di tipo finanziario.
Osservazione 6.2.1. Il surplus (196) è una misura dell’utile finanziario leggermente diversa
dalla componente finanziaria della scomposizione di Homans dall’utile vista nel paragrafo 5.3.
La differenza è pricipalmente dovuta al fatto che la (196) esprime l’utile certo in t di una
polizza in essere al tempo t; l’utile finanziario in t nel senso della scomposizione di Homans
è ottenuto invece per un contratto in essere al tempo t − 1 ed è aleatorio (come nella (174))
o atteso (come nella (177)).
Si assuma che l’assicuratore voglia retrocedere all’assicurato una parte del surplus (196),
in modo da far partecipare l’assicurato all’utile. Poiché il surplus deriva dal rendimento
di gestione It, l’idea è di fissare contrattualmente un’aliquota di retrocessione (aliquota di
partecipazione) β ∈ (0, 1] e di ripartire il rendimento degli attivi in base a quest’aliquota:
It = βIt + (1 − β)It .
La componente βIt è il rendimento retrocesso all’assicurato, (1−β)It è il rendimento trattenuto.
La scomposizione del rendimento induce una scomposizione del surplus: l’utile retrocesso
∆retr t si ottiene calcolando la (196) per il solo rendimento retrocesso, ciò che rimane del surplus
. In formule
è l’utile trattenuto dall’assicuratore ∆ tratt
t
∆ retr
t
∆ tratt
t
βIt − i
= tVx
1 + i
= ∆t − ∆ retr
t
, (197)
(1 − β)It
= tVx
1 + i
. (198)
Quest’idea non può essere (e nella pratica non viene) applicata in questo modo. Infatti, se
It < i/β, l’utile da retrocedere sarebbe negativo, con problemi di tipo giuridico e anche
commerciale. Per questo motivo viene aggiunta la condizione che l’assicurato partecipi sì
all’utile, ma non al disutile, che viene attuata aggiugendo il vincolo che il risultato della
(197) sia non negativo. Le formule diventano quindi
∆ retr
t
∆ tratt
t
βIt − i
= max tVx
= ∆t − ∆ retr
t
1 + i
.
Introducendo il tasso di rivalutazione
βIt − i
ρt = max , 0 =
1 + i
max (βIt , i) − i
1 + i
, 0
,
= 1 + max (βIt , i)
1 + i
− 1 (199)
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 6 (v. 26/12/2005) pag. 40