Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

La (4) incorpora infatti l’avversione al rischio dell’assicuratore. Per ben noti fatti di teoria
dell’utilità è più stringente: se vale la (5) l’assicuratore percepisce svantaggiosa l’operazione.
Infatti, se vale la (5) si ottiene che
u (E0 [(c + P )(1 + i) − D]) = u c(1 + i) ; (7)
per la disuguaglianza di Jensen1 si ha che
u (E0 [(c + P )(1 + i) − D]) > E0 u (c + P )(1 + i) − D
e quindi che
E0 u (c + P )(1 + i) − D < u c(1 + i) , (9)
cioè che l’equità dell’operazione ne comporta la svantaggiosità per l’assicuratore. In realtà si
può dimostrare un risultato più forte: in ipotesi di mercato assicurativo ideale (che qui non
speficheremo) un assicuratore che accetti operazioni eque è destinato a fallire con probabilità
1.
Esempio 1.1.1. Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione determinazione
positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità 1 − p. La
(4) assume allora la forma
p u (c + P )(1 + i) − d + (1 − p) u (c + P )(1 + i) = u c(1 + i) . (10)
La condizione di equità (5) è invece
cioè, posto v = (1 + i) −1 ,
p[(c + P )(1 + i) − d] + (1 − p)(c + P )(1 + i) = c(1 + i) , (11)
1.2 Il premio equo e il premio puro
(8)
P = p d v . (12)
Fissato D, la (4) può essere utilizzata per determinare il premio di indifferenza P , cioè il
premio che rende l’operazione indifferente per l’assicuratore. Si è già osservato che il premio
di indifferenza, detto anche premio puro, deve essere maggiore del premio equo, definito invece
dalla (6).
Per determinare il premio puro occorre risolvere la (4) rispetto a P . Si osservi che, fissati
c, i e D la funzione
f(P ) = E0 u (c + P )(1 + i) − D − u c(1 + i) (13)
è continua, monotona crescente e concava. In particolare è invertibile e l’inversa può essere
calcolata con metodi numerici (ad esempio, il metodo di Newton) e, per la concavità, in modo
semplice e computazionalmente efficiente. Il premio puro è allora la soluzione dell’equazione
f(P ) = 0, cioè P = f −1 (0).
Esempio 1.2.1. Se si assume che il danno sia quello dell’esempio 1.1.1 e che la funzione
dell’assicuratore sia di tipo esponenziale
u(x) = −e −rx , con r > 0, (14)
il premio puro P si può ricavare in forma chiusa. La (4) diventa infatti
− p e −r
(c+P )(1+i)−d
− (1 − p) e −r(c+P )(1+i) = e −r c(1+i) . (15)
1 Disuguaglianza di Jensen. Se f(x) è una funzione concava e X una variabile aleatoria, allora E[f(X)] ≤
f E(X) e vale “=” se e solo se X è degenere (certa).
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005) pag. 2