Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

L’utile finanziario atteso alla data di valutazione è pertanto
E II
0 U f
k 1 {Tx>k−1} = k−1V +
x [E II
0 (Ik) − i] k−1p II
x . (180)
È quindi direttamente proporzionale alla massa gestita, al sovrarendimento atteso rispetto al
tasso tecnico e alla probabilità che la polizza sia in essere all’inizio dell’anno di riferimento.
Per il calcolo dell’utile da mortalità atteso, applicando la (175), la linearità dell’aspettativa
e osservando che 1 {Tx≤k} 1 {Tx>k−1} = 1 {k−1k−1} = − C m k − C vp
k − kVx
Poiché
II
E0 1 {Tx≤k} − q I
x+k−1 1 {Tx>k−1}
= − C m k − C vp
k −
kVx
E II
0 1 {k−1k−1}
E II
0 U m
k 1 {Tx>k−1} = − C m k − C vp
k −
kVx
k−1|1q II
x − q I x+k−1 k−1p II
x
(181)
= − C m k − C vp
k −
kVx
q II
x+k−1 − q I
x+k−1 k−1p II
x . 16 (182)
L’utile da mortalità atteso è quindi direttamente proporzionale all’opposto del capitale sottorischio,
alla sovramortalità attesa e alla probabilità che la polizza sia in essere all’inizio
dell’anno di riferimento.
Dopo avere calcolato l’utile atteso occorre scontatarlo dalla data k alla quale è temporalmente
collocato alla data di valutazione. Il tasso da usare non può essere naturalmente il
tasso di interesse privo di rischio espresso dal mercato obbligazionario, ma va opportunamente
aumentato per compensare il rischio insito nell’utile, che è stato “sterilizzato” dal calcolo
dell’aspettativa. Il tasso aggiustato per il rischio (risk adjusted) così ottenuto è il tasso RAD j
che, nella pratica operativa, per semplicità si considera spesso costante e noi seguiremo questa
linea; nulla vieta naturalmente di utilizzare una struttura per scadenza di tassi di interesse
non piatta. Indicando quindi con V (0, ·) il valore calcolato nel senso RAD, il valore in zero
dell’utile al tempo k è la somma del valore dell’utile finanziario e dell’utile da mortalità
essendo
V
V
V
0, U f
k 1 {Tx>k−1}
0, Uk 1 {Tx>k−1} = V 0, U f
k 1 {Tx>k−1} + V 0, U m
k 1 {Tx>k−1}
= E II
0 U f
k 1 {Tx>k−1} (1 + j) −k
= k−1V +
x [E II
0, U m
k 1 {Tx>k−1} = E II
0 U m
k 1 {Tx>k−1}
0 (Ik) − i] k−1p II
= − C m k − C vp
k − kVx
, (183)
.
(184)
x (1 + j) −k , (185)
(1 + j) −k
q II
x+k−1 − q I
x+k−1
(186)
k−1p II
x (1 + j) −k . (187)
16 Per semplicità di notazione si è assunto che anche la distribuzione di probabilità del II ordine sia costruita
secondo il modello tradizionale e, quindi, che valga la (47): k−1|1q II
x = q II
x+k−1 k−1p II
x . Se si vuole rimuovere
questa assunzione non si può fare l’ultimo passaggio del calcolo e bisogna fermarsi all’epressione (181) che,
rispetto alla (182) ha solo uno svantaggio “estetico”.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 5 (v. 13/12/2005) pag. 36