Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

L’aspettativa (del II ordine) in t dell’utile e delle sue componenti è data dalle espressioni
E II
t (It+1) − i
E II
t (U f t+1) = tV +
x E II
t (It+1) − i
E II
t (Ut+1) = tV +
x
E II
t (U m t+1) = − C m t+1 − C vp
t+1 − t+1Vx
− C m t+1 − C vp
t+1 −
t+1Vx
q II
x+t − q I
x+t
, (176)
, (177)
, (178)
q II
x+t − q I x+t
che rappresentano la versione in aspettativa della formula di contribuzione di Homans.
Osservazione 5.3.1. L’utile Ut+1 e la relativa scomposizione sono stati calcolati nell’ipotesi
che la polizza sia in essere alla data t. Per la polizza generica che stiamo considerando, ciò
comporta che l’utile è Ut+1 se l’assicurato è in vita in t, è zero altrimenti. Se quindi si ragiona
ad un istante che precede t, per esempio al tempo zero di emissione della polizza, l’utile che
la polizza esprimerà in t + 1 è dato da Ut+1 1 {Tx>t}.
5.4 La valutazione degli utili: il metodo RAD
Fissata una polizza, nel paragrafo precedente abbiamo visto come questa dia origine alla
successione di utili aleatori U1 1 {Tx>0}, U2 1 {Tx>1}, U3 1 {Tx>2}, . . . . È chiara l’esigenza di
valutare questi utili alla data di stipula del contratto – o meglio, nella fase di progettazione
del contratto – per fare un profit-test della polizza. 15 In questo paragrafo discuteremo il
metodo di valutazione Risk Adjusted Discounting (RAD), ampiamente usato nella pratica
operativa.
Si consideri una polizza generica, stipulata da una testa di età x anni, con una certa
fissata base tecnica demografica del I ordine e con tasso tecnico i. Si consideri fissata anche
la base tecnica del II ordine, espressione delle opinioni probabilistiche dell’assicuratore. In
particolare, siano quindi fissate le aspettative dei rendimenti degli attivi E II
0 (I1), E II
0 (I2),
E II
0 (I3), . . . alla data di valutazione, coincidente con la data di stipula. Applicando la formula
di contribuzione di Homans, l’aspettativa (del II ordine) alla data di valutazione dell’utile al
tempo k > 0 è data da
E II
0 Uk 1 {Tx>k−1}
E II
0 U f
k 1 {Tx>k−1}
= E II
0 U f
k 1 {Tx>k−1}
+ E II
0 U m
k 1 {Tx>k−1}
. (179)
Calcoliamo separatamente l’utile finanziario atteso e l’utile da mortalità atteso.
Per quanto riguarda il primo, sappiamo che la grandezza U f k risente solamente di incertezza
di tipo finanziario, mentre l’aleatorietà della funzione indicatrice 1 {Tx>k−1} è quella della
durata della vita dell’assicurato. Possiamo senz’altro accettare come ipotesi della valutazione
che durata della vita dell’assicurato e l’evoluzione del mercato finanziario siano indipendenti
e fattorizzare quindi
= E II
0 U f
k E II
0 1 {Tx>k−1} .
Applicando nel primo fattore del membro destro la (174), si ottiene per linearità che
D’altro canto
E II
0 U f
k
= E II
0 k−1V +
x (Ik − i) = k−1V +
x [E II
0 (Ik) − i] .
E II
0 1 {Tx>k−1} = prob II (Tx > k − 1 | Tx > 0) = k−1p II
x .
15 È molto interessante anche la valutazione degli utili residui di un contratto già in essere alla data di
valutazione. Per semplicità non tratteremo esplicitamente questo caso, che però è facilmente ricavabile dallo
schema di valutazione all’emissione, con le ovvie modifiche.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 5 (v. 13/12/2005) pag. 35