Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

È significativo confrontare la (168) con la (167). Nel membro destro della (168) compaiono le
aspettative del I ordine in t delle grandezze aleatorie che compaiono nel membro destro della
(167):
i = E I t(It+1) 14 , (169)
qx+t = E I t
px+t = E I t
1 {Tx≤t+1}
1 {Tx>t+1}
, (170)
. (171)
Il membro destro della (168) è pertanto l’aspettativa del I ordine fatta al tempo t del membro
destro della (167). Quindi anche il membro sinistro della (168) è uguale all’aspettativa del I
ordine fatta al tempo t del membro sinistro della (167), cioè
E I t(Ut+1) = 0 ,
che è un altro modo di esprimere l’equilibrio del contratto al tempo t secondo la base tecnica
del I ordine.
Un altro modo interessante di confrontare la (167) con la (168) è quello di sottrarre
membro a membro la seconda dalla prima, ottenendo:
Ut+1 = tV +
x (It+1 − i) − C m t+1
1 {Tx≤t+1} − qx+t
− t+1Vx + C vp
t+1
1 {Tx>t+1} − px+t
Osservando che 1 {Tx>t+1} = 1 − 1 {Tx≤t+1}, che px+t = 1 − qx+t e quindi che
1 {Tx>t+1} − px+t = − 1 {Tx≤t+1} − qx+t
si ottiene una versione della formula di contribuzione di Homans
Ut+1 = tV +
x (It+1 − i) − C m t+1 − C vp
t+1 −
t+1Vx
1 {Tx≤t+1} − qx+t
,
.
(172)
, (173)
che scompone l’utile aleatorio in t + 1 in due componenti, ciascuna che risente di un’unica
fonte di incertezza. La prima è l’utile finanziario
U f t+i = tV +
x (It+1 − i) (174)
ed è direttamente proporzionale al sovrarendimento degli attivi rispetto al tasso tecnico,
con costante di proporzionalità la riserva di bilancio in t, che rappresenta il capitale gestito
dall’assicuratore nell’anno [t, t + 1]. L’entità (e il segno) dell’utile finanziario dipende quindi
dal risultato della gestione degli attivi e dalla massa gestita. La seconda componente è l’utile
da mortalità
U m t+1 = − C m t+1 − C vp
t+1 −
t+1Vx
1 {Tx≤t+1} − qx+t
(175)
ed è direttamente proporzionale alla sovramortalità che si verificherà rispetto a quella prevista
dalla base del I ordine, con costante di proporzionalità l’opposto del capitale sotto rischio
nell’anno [t, t + 1]. L’entità e, soprattutto, il segno dell’utile da mortalità dipendono quindi
dall’entità e dal segno del capitale sotto rischio e della sovramortalità: con capitale sotto
rischio positivo (come è tipicamente il caso in una polizza temporanea caso morte o mista,
ad esempio), si ha disutile in caso di sovramortalità rispetto all’aspettativa del I ordine, utile
in caso di sottomortalità.
14 La base tecnica finanziaria del I ordine è una legge esponenziale di equivalenza finanziaria di tasso annuo
i. Pertanto, al primo ordine, l’aspettativa del rendimento degli attivi è il il tasso i. Si osservi che, poiché i è
costante, dalla Et(It+1)) = i si ricava Et ′(It+1)) = Et ′[Et(It+1))] = Et ′(i) = i per ogni t′ ≤ t.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 5 (v. 13/12/2005) pag. 34