Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

ischio è quindi il valore attuale attuariale in t della perdita che l’assicuratore subirà per il
caso morte al tempo t + 1. La (152) quantifica quindi la parte del premio Pt che copre (in
aspettativa) la perdita dell’assicuratore per il caso morte al tempo t + 1.
Il secondo addendo della scomposizione è il premio di risparmio P S t .
È quello che rimane
del premio Pt dopo che è stata scorporata la componente di rischio; va a finanziare la prestazione
anticipata caso vita in t, la prestazione posticipata caso vita in t + 1 e quelle (vita e
morte) successive.
La scomposizione (154) è particolarmente significativa per polizze a premio annuo, ma
può essere effettuata anche per polizze a premio unico. In tale caso, essendo nulli i premi
successivi al primo, si avrà che premio di rischio e premio di risparmio sono uguali in valore
assoluto ma di segno opposto.
La notazione usata per indicare il premio di rischio e il premio di risparmio è quella della
tradizione attuariale; gli apici “R” e “S” sono le iniziali di “Risiko” (ted.: rischio) e “sparen”
(ted.: risparmiare).
Esempio 4.5.1. In una polizza temporanea caso morte a premio annuo (puro) P , con capitale
assicurato C, durata n anni, tasso tecnico i ed età alla stipula x, il premio di rischio e il
premio di risparmio al tempo t assumono la forma
P R t = C m
t+1 − t+1Vx qx+t v= [C (1 − n−t−1Ax+t+1) + P n−t−1äx+t+1] qx+t v ,
P S t = t+1Vx v − tVx =C (n−t−1Ax+t+1 v − n−tAx+t) − P (n−t−1äx+t+1 v − n−täx+t) .
In questa tipologia contrattuale non ci sono capitali caso vita nel corso della durata della
polizza che complicano la logica delle espressioni. Il premio di rischio è il valore attuale
attuariale dell’integrazione di riserva che l’assicuratore deve operare al tempo t+1 per pagare
la prestazione caso morte. Il premio di risparmio va a incrementare la riserva in t + 1 per
finanziare le prestazioni successive: si ha infatti t+1Vx =
(1 + i).
tVx + P S t
Esempio 4.5.2. In una polizza mista a premio annuo (puro) P , con capitale assicurato C,
durata n anni, tasso tecnico i ed età alla stipula x, il premio di rischio e il premio di risparmio
al tempo t assumono la forma
P R t = C m
t+1 − t+1Vx qx+t v
= [C (1 − n−t−1Ex+t+1n−t−1Ax+t+1) + P n−t−1äx+t+1] qx+t v ,
P S t = t+1Vx v − tVx
= C (n−t−1Ex+t+1 v + n−t−1Ax+t+1 v − n−tEx+t − n−tAx+t)
− P (n−t−1äx+t+1 v − n−täx+t) .
Si osservi che per t = n − 1, la scomposizione dell’ultimo premio annuo fornisce Per t = n − 1,
la scomposizione dell’ultimo premio annuo è
P R n−1 = (C m n − nVx) qx+n−1 v = 0 ,
P S n−1 = P − P R n−1
= P ,
che mostra come l’ultimo premio annuo sia tutto premio di risparmio.
Esempio 4.5.3. In una rendita vitalizia immediata, posticipata e temporanea a premio annuo
(puro) P , con rata della rendita R, durata n anni, tasso tecnico i ed età alla stipula x, il
premio di rischio e il premio di risparmio al tempo t assumono la forma
qx+t v = − [R (1 + n−t−1ax+t+1) − P n−t−1äx+t+1] qx+t v ,
P R t = −C vp
t+1 − t+1Vx
P S t = t+1Vx v + C vp
t+1 v − tVx = R (n−t−1ax+t+1 v − n−tax+t) − P (n−t−1äx+t+1 v − n−täx+t) .
Il premio di rischio è negativo, perché in caso di morte dell’assicurato al tempo t + 1 l’assicuratore
ha un profitto in quanto omette di versare la rata e incamera la riserva.
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005) pag. 30