Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...
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Se scorporiamo il primo addendo di ciascuna delle quattro somme (k = 1 nelle prime due e k = 0 nelle seconde due) otteniamo tVx = C m t+1 0|1qx+t v + C vp t+1 1px+t v + C va t − Pt + C k>1 m t+k k−1|1qx+t v k + C k>1 vp t+k kpx+t v k + k≥1 Osservando che, in base alle relazioni (42) e (49), risulta kpx+t = px+t k−1px+t+1 k−1|1qx+t = px+t k−2|1qx+t+1 C va t+k kpx+t v k − Pt+k kpx+t v k≥1 k . per k ≥ 1, per k > 1, si ha che nelle quattro somme rimaste si può raccogliere il fattore comune px+t v, ottenendo tVx = C m t+1 0|1qx+t v + C vp t+1 1px+t v + C va t − Pt ⎛ + ⎝ C k>1 m t+k k−2|1qx+t+1 v k−1 + C k>1 vp t+k k−1px+t+1 v k−1 + C k≥1 va t+k k−1px+t+1 v k−1 ⎞ − k≥1 Pt+k k−1px+t+1 v k−1⎠ px+t v . Operando nelle somme il cambiamento di variabile j = k − 1 (e quindi k > 1 diventa j > 0, k ≥ 1 diventa j > 0 e t+k diventa t+1+j) e ricordando che 0|1qx+t = qx+t e che 1px+t = px+t si ottiene tVx = C m t+1 qx+t v + C vp t+1 px+t v + C va t − Pt ⎛ + ⎝ C j>0 m t+1+j j−1|1qx+t+1 v j + C j>0 vp t+1+j jpx+t+1 v j + C j≥0 va t+1+j jpx+t+1 v j ⎞ − j≥0 Pt+1+j jpx+t+1 v j⎠ px+t v . Osservando che l’espressione nella parentesi tonda del membro destro è la riserva matematica in t + 1 e riarrangiando i termini dell’equazione si ottiene la tesi. L’equazione di Fouret stabilisce una relazione ricorrente tra la riserva matematica in t e quella in t + 1. Se la si scrive risolta rispetto a t+1Vx si ottiene t+1Vx = tVx + Pt − C va t − C m t+1 qx+t v − C vp t+1 px+t v px+t v = tVx + Pt − Cva t px+t v − C m 1 − px+t t+1 px+t − C vp t+1 (146) (147) e questa relazione può essere usata per il calcolo ricorrente della riserva, a partire dalla condizione iniziale 0Vx = 0. Si osservi che, usando la (144), l’equazione di Fouret può essere scritta nella forma tV + x = t+1Vx px+t v + C m t+1 qx+t v + C vp t+1 px+t v . (148) Esempio 4.4.1. Per una polizza di capitale differito C a premio annuo, con durata del differimento n, età dell’assicurato alla stipula x, tasso tecnico i e premio annuo P = C nEx/näx, l’equazione di Fouret assume la forma per ogni t = 0, 1, . . . , n − 1. tVx + P = t+1Vx px+t v c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005) pag. 28
Esempio 4.4.2. Per una polizza mista a premio annuo, con capitale assicurato C, durata n, età dell’assicurato alla stipula x, tasso tecnico i e premio annuo puro P = C (nEx + nAx) /näx, l’equazione di Fouret assume la forma per ogni t = 0, 1, . . . , n − 1. tVx + P = t+1Vx px+t v + C qx+t v Esempio 4.4.3. Si consideri una polizza di rendita vitalizia differita posticipata con controassicurazione a premio annuo, con rata della rendita R, durata del differimento n, età dell’assicurato alla stipula x, tasso tecnico i e premio annuo puro P e di tariffa Π. Durante il differimento (t < n) l’equazione di Fouret assume la forma tVx + P = t+1Vx px+t v + tΠ qx+t v . Nel periodo di godimento della rendita (t ≥ n) si ha invece tVx = t+1Vx px+t v + R px+t v . Se, ferme restando le rimanenti condizioni contrattuali, la rendita assicurata fosse anticipata anziché posticipata, la forma dell’equazione durante il differimento rimarrebbe invariata (ma i valori numerici di P e Π sarebbero diversi a parità di rata R). Nel periodo di godimento della rendita (t ≥ n) si avrebbe invece nVx − R = t+1Vx px+t v . Esempi di uso dell’equazione di Fouret sono proposti nella cartella Excel lab4.xls. 4.5 Premio di rischio e premio di risparmio Si consideri una polizza generica. Se si risolve l’equazione di Fouret (145) rispetto al premio Pt, si sostituisce px+t = 1 − qx+t e si riarrangiano un po’ i termini: Pt = t+1Vx px+t v + C m t+1 qx+t v + C vp t+1 px+t v + C va t − tVx (149) = C m t+1 qx+t v + t+1Vx (1 − qx+t) v − tVx + C va t + C vp = C m t+1 − C vp t+1 − t+1Vx qx+t v + t+1Vx v − tVx + C vp t+1 si ottiene una scomposizione notevole del premio Pt. Se si pone e si ha che t+1 (1 − qx+t) v (150) v + Cva t (151) P R t = C m t+1 − C vp t+1 − t+1Vx qx+t v (152) P S t = t+1Vx v − tVx + C vp t+1 v + Cva t (153) Pt = P R t + P S t . (154) Il primo addendo della scomposizione (154) è il premio di rischio P R t . È uguale al capitale sotto rischio Cm t+1 − Cvp t+1 − t+1Vx probabilizzato e scontato. Nel caso l’assicurato deceda al tempo t + 1, l’assicuratore dovrà corrispondere la prestazione caso morte Cm t+1 e non pagherà la prestazione caso vita posticipata C vp t+1 ; poiché avrà a dispozione la riserva t+1Vx, se questa sarà minore della prestazione netta Cm t+1 − Cvp t+1 egli subirà una perdita pari al capitale sotto rischio. Naturalmente, nel caso opposto di riserva maggiore della prestazione netta, il capitale sotto rischio è negativo e l’assicuratore avrà un guadagno anziché una perdita. Il premio di c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005) pag. 29
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Se scorporiamo il primo addendo <strong>di</strong> ciascuna <strong>del<strong>le</strong></strong> quattro somme (k = 1 nel<strong>le</strong> prime due e<br />
k = 0 nel<strong>le</strong> seconde due) otteniamo<br />
tVx = C m t+1 0|1qx+t v + C vp<br />
t+1 1px+t v + C va<br />
t − Pt<br />
+ <br />
C<br />
k>1<br />
m t+k k−1|1qx+t v k + <br />
C<br />
k>1<br />
vp<br />
t+k kpx+t v k + <br />
k≥1<br />
Osservando che, in base al<strong>le</strong> relazioni (42) e (49), risulta<br />
kpx+t = px+t k−1px+t+1<br />
k−1|1qx+t = px+t k−2|1qx+t+1<br />
C va<br />
t+k kpx+t v k − <br />
Pt+k kpx+t v<br />
k≥1<br />
k .<br />
<strong>per</strong> k ≥ 1,<br />
<strong>per</strong> k > 1,<br />
si ha che nel<strong>le</strong> quattro somme rimaste si può raccogliere il fattore comune px+t v, ottenendo<br />
tVx = C m t+1 0|1qx+t v + C vp<br />
t+1 1px+t v + C va<br />
t − Pt<br />
⎛<br />
+ ⎝ <br />
C<br />
k>1<br />
m t+k k−2|1qx+t+1 v k−1 + <br />
C<br />
k>1<br />
vp<br />
t+k k−1px+t+1 v k−1 + <br />
C<br />
k≥1<br />
va<br />
t+k k−1px+t+1 v k−1<br />
⎞<br />
− <br />
k≥1<br />
Pt+k k−1px+t+1 v k−1⎠<br />
px+t v .<br />
O<strong>per</strong>ando nel<strong>le</strong> somme il cambiamento <strong>di</strong> variabi<strong>le</strong> j = k − 1 (e quin<strong>di</strong> k > 1 <strong>di</strong>venta j > 0,<br />
k ≥ 1 <strong>di</strong>venta j > 0 e t+k <strong>di</strong>venta t+1+j) e ricordando che 0|1qx+t = qx+t e che 1px+t = px+t<br />
si ottiene<br />
tVx = C m t+1 qx+t v + C vp<br />
t+1 px+t v + C va<br />
t − Pt<br />
⎛<br />
+ ⎝ <br />
C<br />
j>0<br />
m t+1+j j−1|1qx+t+1 v j + <br />
C<br />
j>0<br />
vp<br />
t+1+j jpx+t+1 v j + <br />
C<br />
j≥0<br />
va<br />
t+1+j jpx+t+1 v j<br />
⎞<br />
− <br />
j≥0<br />
Pt+1+j jpx+t+1 v j⎠<br />
px+t v .<br />
Osservando che l’espressione nella parentesi tonda del membro destro è la riserva <strong>matematica</strong><br />
in t + 1 e riarrangiando i termini dell’equazione si ottiene la tesi.<br />
L’equazione <strong>di</strong> Fouret stabilisce una relazione ricorrente tra la riserva <strong>matematica</strong> in t e<br />
quella in t + 1. Se la si scrive risolta rispetto a t+1Vx si ottiene<br />
t+1Vx = tVx + Pt − C va<br />
t − C m t+1 qx+t v − C vp<br />
t+1 px+t v<br />
px+t v<br />
= tVx + Pt − Cva t<br />
px+t v<br />
− C m 1 − px+t<br />
t+1<br />
px+t<br />
− C vp<br />
t+1<br />
(146)<br />
(147)<br />
e questa relazione può essere usata <strong>per</strong> il calcolo ricorrente della riserva, a partire dalla<br />
con<strong>di</strong>zione inizia<strong>le</strong> 0Vx = 0.<br />
Si osservi che, usando la (144), l’equazione <strong>di</strong> Fouret può essere scritta nella forma<br />
tV +<br />
x = t+1Vx px+t v + C m t+1 qx+t v + C vp<br />
t+1 px+t v . (148)<br />
Esempio 4.4.1. Per una polizza <strong>di</strong> capita<strong>le</strong> <strong>di</strong>fferito C a premio annuo, con durata del <strong>di</strong>fferimento<br />
n, età dell’assicurato alla stipula x, tasso tecnico i e premio annuo P = C nEx/näx,<br />
l’equazione <strong>di</strong> Fouret assume la forma<br />
<strong>per</strong> ogni t = 0, 1, . . . , n − 1.<br />
tVx + P = t+1Vx px+t v<br />
c○ C. Pacati 2005, <strong>Appunti</strong> IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005) pag. 28
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