Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

per t ≥ n, durante il perido di godimento della rendita, si ha infine
tVx = R ax+t = tV +
x .
Durante il periodo di differimento la riserva prestazioni è R n−t|ax+t e la riserva premi è
P n−täx+t. Nel periodo di godimento della rendita la riserva premi è nulla e la riserva prestazioni
coincide con la riserva matematica. Poiché non sono previste prestazioni caso morte, la
relativa riserva è nulla e la riserva prestazioni caso vita coincide con la riserva prestazioni.
Esempio 4.2.4. Si consideri una polizza a premio di capitale differito C per n anni con
controassicurazione, tasso tecnico i ed età alla stipula x, con premio annuo puro P e premio
annuo di tariffa Π.
Al tempo 0 < t < n la riserva premi (puri) è
la riserva prestazioni caso vita è
la riserva prestazioni caso morte è
n
k=t+1
P n−täx+t ,
C n−tEx+t ,
kΠ k−t−1|1qx+t (1 + i) −(k−t) ,
che, con il cambiamento di variabile j = k − t, può essere scritta nella forma
n−t
j=1
(t + j)Π j−1|1qx+t (1 + i) −j n−t
= tΠ
j=1
La riserva matematica è quindi
j−1|1qx+t (1 + i) −j n−t
+ Π j j−1|1qx+t (1 + i)
j=1
−j
= Π (t n−tAx+t + n−tIAx+t) .
tVx = C n−tEx+t + Π (t n−tAx+t + n−tIAx+t) − P n−täx+t .
Osservazione 4.2.1. Si noti l’analogia concettuale fra la riserva matematica di una polizza e
il debito residuo di un mutuo: è in entrambi i casi il valore (netto) del contratto residuo.
Osservazione 4.2.2. Tutte le polizze vita sono costruite in modo tale che, durante la loro
vita contrattuale, la riserva matematica non diventi negativa. Ciò significa che l’assicuratore
congegna il contratto in modo tale da essere sempre debitore e mai creditore nei confronti
dell’assicurato.
Osservazione 4.2.3. La riserva matematica o, meglio, la riserva matematica completa, è una
grandezza bilancistica: essendo il valore netto degli impegni residui dell’assicuratore, questi
deve metterla a bilancio, investendola in attivi a copertura.
Esempi di calcolo della riserva matematica sono proposti nella cartella Excel lab3.xls.
4.3 Uno schema contrattuale generale
Nella trattazione che segue, per non dovere ripetere i risultati per le varie tipologie contrattuali,
faremo riferimento ad un contratto generico, che chiameremo polizza generica, che
prevede:
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005) pag. 26