Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

4.2 La riserva matematica
Si consideri al tempo t > 0, che per semplicità assumeremo intero, una polizza ancora in
essere, stipulata al tempo zero da una testa di età x anni. Sia X il vettore dei premi previsti
e Y il vettore delle prestazioni previste. La riserva matematica (ai premi puri) della polizza
al tempo t è
tVx = V (t, Y ) − V (t, X) , (143)
cioè il valore delle prestazioni residue in t meno il valore dei premi puri residui in t, calcolati
entrambi secondo la base tecnica del I ordine.
La riserva matematica definita secondo la (143) è spesso chiamata riserva matematica
prospettiva, in quanto è calcolata sulla base dei premi e delle prestazioni future rispetto alla
data di valutazione. Per convenzione, nel calcolo delle riserva matematica, si considerano già
liquidate in t le eventuali prestazioni posticipate e non ancora liquidati l’eventuale premio
in scadenza (che è anticipato) e le eventuali prestazione anticipate. La riserva matematica
completa (detta anche riserva di bilancio), è invece calcolato “dopo tutto”, considerando cioè
liquidiati tutti i premi e le prestazioni dovute in t.
La (143) definisce la riserva matematica come differenza fra la riserva prestazioni V (t, Y )
e la riserva premi (puri) V (t, X). La riserva prestazioni può essere ulteriormente scomposta
nella somma della riserva prestazioni caso vita V (t, Y v ) con la riserva prestazioni caso morte
V (t, Y m ).
Si osservi che, per costruzione, alla data di stipula la riserva matematica risulta nulla,
mentre la riserva di bilancio coincide con il premio puro (il premio unico o il primo premio
annuo) versato dall’assicurato.
Esempio 4.2.1. In un contratto di capitalizzazione a premio unico U, con durata n anni, tasso
tecnico i e capitale C = U(1 + i) n , , si ha
mentre per 0 < t ≤ n risulta
0Vx = 0 0V +
x = U = C (1 + i) −n ,
tVx = C (1 + i) −(n−t) = tV +
x .
Esempio 4.2.2. In una polizza mista a premio unico, con durata n anni, tasso tecnico i,
capitale assicurato C ed età dell’assicurato alla stipula x, si ha
mentre per 0 < t ≤ n risulta
0Vx = 0 0V +
x = U = C (nEx + nAx) ,
tVx = C (n−tEx+t + n−tAx+t) = tV +
x .
Naturalmente, la riserva prestazioni caso vita in t è C n−tEx+t, mentre la riserva prestazioni
caso morte alla stessa data è C n−tAx+t.
Esempio 4.2.3. In una polizza di rendita vitalizia differita posticipata a premio annuo, con
differimento n anni, tasso tecnico i, rata della rendita assicurata R ed età dell’assicurato alla
stipula x, si ha
0Vx = 0 0V +
x = P = R n|ax
per 0 < t < n, durante il differimento, risulta
näx
tVx = R n−t|ax+t − P n−täx+t tV +
x = tVx + P ;
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 4 (v. 13/12/2005) pag. 25
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