Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...
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Nella pratica bancassicurativa le polizze a premio unico ricorrente sono più diffuse di quelle a premio annuo, perché sono più semplici da spiegare e da promuovere ai clienti degli sportelli bancari. Spesso vengono commercializzate senza penali di interruzione pagamento premi né di riscatto e vengono presentate al cliente come un’alternativa all’investimento in un fondo comune. 3.3.4 La controassicurazione. La controassicurazione è una tipologia di prestazione caso morte che è collegata ai premi che l’assicurato versa. È abbinata tipicamente a polizze di capitale differito o di rendita differita e prevede che, in caso di decesso dell’assicurato durante il periodo di differimento, l’assicuratore restituisca i premi (compreso il caricamento) versatigli fino a quella data. Polizze a premio unico con controassicurazione. In una polizza a premio unico la controassicurazione coincide con la prestazione temporanea caso morte, con capitale assicurato il premio unico di tariffa T . Se Y v è il flusso delle prestazioni previste per il caso vita, n è la durata della copertura caso morte e h il tasso di caricamento totale, il premio unico puro U e il premio unico di tariffa T soddisfano il sistema ⎧ ⎪⎨ U = V (0, Y ⎪⎩ v ) + T nAx T = U (126) 1 − h che ha per soluzione U = V (0, Y v )(1 − h) 1 − h − nAx , (127) T = V (0, Y v ) 1 − h − nAx . (128) Esempio 3.3.6. Una polizza di capitale differito con controassicurazione a premio unico, con capitale assicurato C e differimento n coincide con una polizza mista di durata n anni, con capitale assicurato caso vita C v = C e caso morte C m = T . Si ha quindi U = C nEx(1 − h) 1 − h − nAx , (129) T = C nEx 1 − h − nAx . (130) Esempio 3.3.7. Una polizza di rendita differita posticipata con controassicurazione a premio unico, rata della rendita R e differimento n è un portafoglio composto da una rendita differita e da una temporanea caso morte con capitale assicurato C m = T . Il premio unico puro e il premio unico di tariffa sono quindi U = R n|ax(1 − h) 1 − h − nAx , (131) T = R n|ax 1 − h − nAx . (132) Polizze a premio annuo con controassicurazione. In una polizza premio annuo la controassicurazione è una prestazione temporanea caso morte con capitale assicurato crescente in progressione artimetica. Se infatti Π è il premio annuo di tariffa, la prestazione per il caso morte nel primo anno è Cm 1 = Π, nel secondo è Cm 2 = 2Π e così via. Consideriamo per c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005) pag. 22
semplicità il caso di una polizza con durata pagamento premi coincidente con la durata n della polizza (del differimento nel caso di polizze di rendita differita). Il pagamento in caso morte al tempo k ≤ n è quindi Cm k = kΠ; sia Y v il flusso delle prestazioni previste per il caso vita e h il tasso di caricamento totale. Il premio unico puro U e il premio unico di tariffa T soddisfano il sistema ⎧⎪ ⎨ U = V (0, Y v n ) + Π kv k k−1|1qx Usando il simbolo ⎪⎩ T = U 1 − h k=1 n nIAx = kv k=1 k k−1|1qx e ricordando la (124), la soluzione del sistema (133) è Il premio annuo puro e il premio annuo di tariffa sono quindi (133) (134) U = V (0, Y v )näx(1 − h) (1 − h)näx − nIAx , (135) T = V (0, Y v )näx (1 − h)näx − nIAx . (136) P = U näx Π = T näx V (0, Y = v ) (1 − h)näx − nIAx V (0, Y = v ) (1 − h)näx − nIAx , (137) . (138) Esempio 3.3.8. In riferimento alle notazioni dell’esempio 3.3.6, se la polizza di capitale differito è a premio annuo, risulta P = C nEx(1 − h) (1 − h)näx − nIAx C nEx Π = (1 − h)näx − nIAx , (139) . (140) Esempio 3.3.9. In riferimento alle notazioni dell’esempio 3.3.7, se la rendita differita è a premio annuo, i premi sono P = R n|ax(1 − h) (1 − h)näx − nIAx R n|ax Π = (1 − h)näx − nIAx , (141) . (142) Polizze a premio unico ricorrente con controassicurazione. Nelle polizze a premio unico ricorrente la controassicurazione agisce su ogni linea del contratto e le logiche sono quindi le stesse delle polizze a premio unico. Esempio 3.3.10. Una polizza di capitale differito con controassicurazione a premio unico ricorrente coincide con una polizza mista a premio unico ricorrente, con capitale assicurato caso morte (di ogni linea) il premio unico ricorrente di tariffa. c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005) pag. 23
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semplicità il caso <strong>di</strong> una polizza con durata pagamento premi coincidente con la durata n<br />
della polizza (del <strong>di</strong>fferimento nel caso <strong>di</strong> polizze <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>ta <strong>di</strong>fferita). Il pagamento in caso<br />
morte al tempo k ≤ n è quin<strong>di</strong> Cm k = kΠ; sia Y v il flusso <strong>del<strong>le</strong></strong> prestazioni previste <strong>per</strong> il caso<br />
vita e h il tasso <strong>di</strong> caricamento tota<strong>le</strong>. Il premio unico puro U e il premio unico <strong>di</strong> tariffa T<br />
sod<strong>di</strong>sfano il sistema ⎧⎪ ⎨ U = V (0, Y v n<br />
) + Π kv k k−1|1qx<br />
Usando il simbolo<br />
⎪⎩<br />
T = U<br />
1 − h<br />
k=1<br />
n<br />
nIAx = kv<br />
k=1<br />
k k−1|1qx<br />
e ricordando la (124), la soluzione del sistema (133) è<br />
Il premio annuo puro e il premio annuo <strong>di</strong> tariffa sono quin<strong>di</strong><br />
(133)<br />
(134)<br />
U = V (0, Y v )näx(1 − h)<br />
(1 − h)näx − nIAx<br />
, (135)<br />
T =<br />
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P = U<br />
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=<br />
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, (137)<br />
. (138)<br />
Esempio 3.3.8. In riferimento al<strong>le</strong> notazioni dell’esempio 3.3.6, se la polizza <strong>di</strong> capita<strong>le</strong><br />
<strong>di</strong>fferito è a premio annuo, risulta<br />
P = C nEx(1 − h)<br />
(1 − h)näx − nIAx<br />
C nEx<br />
Π =<br />
(1 − h)näx − nIAx<br />
, (139)<br />
. (140)<br />
Esempio 3.3.9. In riferimento al<strong>le</strong> notazioni dell’esempio 3.3.7, se la ren<strong>di</strong>ta <strong>di</strong>fferita è a<br />
premio annuo, i premi sono<br />
P = R n|ax(1 − h)<br />
(1 − h)näx − nIAx<br />
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Π =<br />
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, (141)<br />
. (142)<br />
Polizze a premio unico ricorrente con controassicurazione. Nel<strong>le</strong> polizze a premio<br />
unico ricorrente la controassicurazione agisce su ogni linea del contratto e <strong>le</strong> logiche sono<br />
quin<strong>di</strong> <strong>le</strong> stesse <strong>del<strong>le</strong></strong> polizze a premio unico.<br />
Esempio 3.3.10. Una polizza <strong>di</strong> capita<strong>le</strong> <strong>di</strong>fferito con controassicurazione a premio unico<br />
ricorrente coincide con una polizza mista a premio unico ricorrente, con capita<strong>le</strong> assicurato<br />
caso morte (<strong>di</strong> ogni linea) il premio unico ricorrente <strong>di</strong> tariffa.<br />
c○ C. Pacati 2005, <strong>Appunti</strong> IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005) pag. 23
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