Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

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5 Il valore intrinseco 33 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 L’utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3 La scomposizione dell’utile: la formula di Homans . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.4 La valutazione degli utili: il metodo RAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6 Le polizze rivalutabili 39 6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2 La formalizzazione della regola di rivalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2.1 Utile retrocesso e utile trattenuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2.2 Retrocessione sotto forma di cedole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.2.3 Retrocessione sotto forma di rivalutazione delle prestazioni . . . . . . 43 6.2.4 Retrocessione sotto forma di rivalutazione di premi e prestazioni . . . 48 6.3 Le opzioni implicite nella rivalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.4 La valutazione delle polizze rivalutabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.4.1 I fattori di rivalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.4.2 La valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Appendici 56 A.1 Richiami sulla formula di Black e Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 A.1.1 Il moto Browniano geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 A.1.2 La formula di Black e Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 A.2 Un esempio di valutazione mark to market di polizze rivalutabili . . . . . . . 58 A.2.1 Il calcolo del fattore di valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.2.2 La scomposizione put del fattore di valutazione . . . . . . . . . . . . . 61 A.2.3 La scomposizione call del fattore di valutazione . . . . . . . . . . . . . 62 ii
1 Le operazioni di assicurazione e la teoria dell’utilità 1.1 L’operazione di assicurazione Un contratto di assicurazione è un accordo fra due parti, nel quale l’assicurato trasferisce all’assicuratore un danno che può verificarsi in futuro, in cambio di un premio che paga alla data di stipula. Il premio è il prezzo che l’assicurato paga per l’eliminazione del rischio che si verifichi il danno. Considereremo in questa sede una situazione semplificata uniperiodale e solo dal punto di vista dell’assicuratore. Si assuma che al tempo t0 = 0, data di stipula del contratto, l’assicuratore abbia un capitale proprio certo c > 0; sia u la sua funzione di utilità (crescente e concava) e prob la distribuzione di probabilità in base alla quale l’assicuratore attribuisce probabilità agli eventi. Si assuma che il danno D oggetto del contratto si possa verificare al tempo t1 = 1 e che l’assicurato paghi il premio P al tempo t0. Il danno è una variabile aleatoria, le cui determinazioni si misurano in unità monetarie; si assumerà che prob(D ≥ 0) = 1 e che prob(D > 0) > 0 . (1) Si osservi che, nel caso D abbia un numero finito di determinazioni con probabilità non nulla (caso finito e discreto), la (1) significa che tutte le determinazioni sono non negative e che almeno una è positiva. Si assumerà inoltre che D sia non degenere, cioè che sia effettivamente aleatoria. Se si ipotizza per semplicità che l’assicuratore non abbia in corso altri contratti, dopo la stipula del contratto la sua posizione al tempo t1 sarà Z1 = (c + P )(1 + I) − D , (2) dove I è il rendimento dell’investimento del capitale proprio e del premio per il periodo [t0, t1] ed è in generale aleatorio. Poichè prima della stipula la sua posizione t1 era c(1 + I), la condizione di indifferenza per l’assicuratore è che risulti E0 u (c + P )(1 + I) − D = E0 u c(1 + I) , (3) essendo E0 l’aspettativa condizionata all’informazione disponibile al tempo t0 e calcolata secondo la probabilità prob. Naturalmente, nel caso nella (3) risulti la disuguaglianza “>”, l’assicuratore percepirà vantaggiosa l’operazione di assicurazione, mentre se dovesse risultare “ 0 e che l’aleatorietà del danno D sia indipendente da quella del mercato finanziario. La (3) diventa allora E0 u (c + P )(1 + i) − D = u c(1 + i) , (4) essendo certa la posizione non assicurata. Si noti che la (4) è strutturalmente diversa dalla condizione di equità dello scambio che equivale a E0 [(c + P )(1 + i) − D] = c(1 + i) , (5) P = E0 (D) 1 + i . (6) c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 1 (v. 18/10/2005) pag. 1
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