Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Nel caso anticipato sia ha invece
Yk =
R 1{Tx>k} se 0 ≤ k < n,
0 altrimenti,
(103)
V (0, Y ) = R näx , (104)
näx =
n−1
k=0
v k kpx = 1 + nax − v n npx . (105)
Rendite vitalizie differite. Se il contratto prevede che la rendita vitalizia sia erogata
dopo un certo differimento m, si ha la prestazione di rendita vitalizia differita, che può essere
temporanea o meno, anticipata o posticipata. Sono quindi previste due fasi contrattuali: il
periodo di differimento, durante il quale non vengono erogate prestazioni, e il periodo di
pagamento della rendita, detto anche, dal punto di vista dell’assicurato, periodo di godimento
della rendita.
Se si pone
m|ax =
m|nax =
m|äx =
m|näx =
ωx
v k kpx , (106)
k=m+1
m+n
v k kpx , (107)
k=m+1
ωx
v k kpx = v m mpx + m|ax , (108)
k=m
m+n−1
v k kpx = v m mpx + m|nax − v m+n m+npx , (109)
k=m
il valore alla stipula delle varie tipologie di rendita vitalizia differita risulta
⎧
R m|ax nel caso posticipato,
⎪⎨ R m|nax nel caso posticipato temporaneo di durata n,
V (0, Y ) =
R m|äx nel caso anticipato,
⎪⎩ R m|näx nel caso anticipato temporaneo di durata n.
(110)
È utile segnalare un’importante relazione che vale nel modello tradizionale e collega i
valori delle rendite differite con quelli delle corrispondenti rendite immediate. Per la legge
esponenziale vale infatti la proprietà di scindibilità, che comporta che se per ogni k ≥ m
allora v k = v m v m−k ; una proprietà simile vale per le probabilità di vita (cfr. (42) a pagina 8):
xpk = xpm k−mpx+m.. Se si considera quindi la rendita vitalizia posticipata unitaria e differita
di m anni e si applicano queste proprietà si ha che
m|ax =
ωx
v
k=m+1
k kpx = v m xpm
ωx
v
k=m+1
k−m k−mpx+m .
Ricordando che v m mpx = mEx e operando nella somma il cambiamento di indice h = k − m,
si ha
ωx
m|ax = mEx v
h=1
h hpx+m = mEx ax+m , (111)
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005) pag. 16