Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Capitalizzazione. Un contratto di capitalizzazione di durata n prevede che al contraente
venga pagato a scadenza un capitale C con certezza, indipendentemente quindi dalla durata
della sua (o di altrui) vita. Tecnicamente non è quindi un contratto di assicurazione. Non lo
è nemmeno giuridicamente, anche se la normativa lo prevede come una forma contrattuale
che per essere commercializzata ha bisogno di una particolare autorizzazione, che è inclusa
nella più restrittiva autorizzazione a vendere contratti di assicurazione del ramo vita.
Il valore alla data di stipula del contratto è ovviamente
V (0, Cn) = C v n .
Termine fisso. La polizza a termine fisso è simile alla polizza mista, con l’unica differenza
che la prestazione caso morte, anziché essere pagata alla data del decesso dell’assicurato,
viene pagata alla scadenza n della polizza. Se facciamo riferimento ad una polizza con capitale
assicurato caso vita C v e capitale assicurato caso morte C m , il contratto prevede un’unica
prestazione Yn al tempo n, definita da
Yn =
C v se Tx > n,
C m se Tx ≤ n
(88)
= C v 1 {Tx>n} + C m 1 {Tx≤n} . (89)
Vi è quindi incertezza nell’importo della prestazione, che però verrà corrisposta con certezza
alla scadenza.
Poiché
E0 1 {Tx>n} = prob(Tx > n) = npx= 1 − nqx ,
(90)
E0 1 {Tx≤n} = prob(Tx ≤ n) = nqx= 1 − npx , (91)
il valore della prestazione è
e può essere scritto nella forma
V (0, Yn) = C v v n npx + C m v n nqx
(92)
V (0, Yn) = C m v n + (C v − C m )nEx , (93)
che fa riferimento alla scomposizione della termine fisso in un portafoglio di una capitalizzazione,
con capitale a scadenza C v , più un capitale differito che integra (algebricamente)
la prestazione nel caso di vita a scadenza. Naturalmente si può alternativamente operare la
scomposizione del valore
V (0, Yn) = C v v n + (C m − C v )v n nqx , (94)
che fa riferimento alla scomposizione della termine fisso in una capitalizzazione che paga
C v più un contratto che prevede l’integrazione (in senso algebrico) di C m − C v a scadenza
in caso di premorienza. Naturalmente, nel caso C v = C m la polizza “degenera” in una
capitalizzazione.
3.2.2 Prestazioni di rendita vitalizia
Una rendita vitalizia è una prestazione che prevede il pagamento periodico di un importo
monetario a patto che l’assicurato sia in vita; non è prevista nessuna prestazione in caso di
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 3 (v. 24/10/2005) pag. 14