Appunti delle lezioni di istituzioni di matematica attuariale per le ...

Se t è intero valgono le seguenti relazioni notevoli, di verifica diretta:
tpx = px · px+1 · . . . · px+t−1 , (40)
tpx = (1 − qx) (1 − qx+1) · . . . · (1 − qx+t−1) , (41)
t1+t2px = t1px t2px+t1 , (42)
tqx = 1 − tpx = 1 − px · px+1 · . . . · px+t−1 , (43)
tqx = 1 − (1 − qx) (1 − qx+1) · . . . · (1 − qx+t−1) , (44)
t1|t2 qx = t1 px − t1+t2 px , (45)
t1|t2 qx = t1+t2 qx − t1 qx , (46)
t1|t2qx = t1px · t2qx+t1 , (47)
t
tpx = 1 − k−1|1qx . (48)
k=1
La (47) può essere generalizzata considerando una durata t0 con 0 ≤ t0 ≤ t1:
t1|t2qx = t0px · t1−t0|t2
qx+t0 . (49)
Le relazioni precedenti mostrano come la distribuzione di probabilità della vita residua di
un individuo è completamente determinata dalla successione delle px o delle qx. Se per semplicità
si considerano solo età e durate intere, la funzione di sopravvivenza S(x) è completamente
determinata dall’equazione ricorrente
S(0) = 1 , (50)
S(x + 1) = S(x)px = S(x)(1 − qx) . (51)
Per concludere, per le notazioni attuariali valgono le seguenti relazioni al contorno:
0px = 1 , lim
t→ωx tpx = 0 , (52)
0qx = 0 , lim
t→ωx tqx = 1 , (53)
ωx
n−1|1qx = tpx ,
n=t+1
2.4 Tavole di sopravvivenza
ωx
n−1|1qx = 1 . (54)
n=1
Si consideri una collettività di Lα persone coetanee di età α. Si supponga che:
1. la collettività sia chiusa a nuovi ingressi (è quindi una generazione),
2. l’unica causa di uscita sia il decesso,
3. tutte le persone della collettività abbiano la stessa funzione di sopravvivenza S α .
Per j = 1, 2, . . . , Lα sia T j α la durata della vita residua (aleatoria) dell’individuo j. Si
fissi x ≥ α e consideri l’evento E j α,x = {T j α > x − α} (l’individuo j raggiunge l’età x) e sia
I j α,x = 1 E j α,x =
1 se E j α,x,
0 se non E j α,x
c○ C. Pacati 2005, Appunti IMAAV, sezione 2 (v. 21/10/2005) pag. 8
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