università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...
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”tempo”, cosí come le già introdotte ”partecipante” e ”riferimento”, derivano dall’idea iniziale, che voleva il modello applicato ad una competizione di velocità. Torniamo alla tabella sul Palio di pagina 6, quella con soli numeri e caselle vuote. Per interpretare questi valori nulli, piuttosto che attribuire loro valore 0, aggiungeremo a Q l’elemento null, cosí da non confonderlo con un numero. Viene data per assunta l’unica legge: ∀ 1 ≤ k ≤ m, 2 ≤ i ≤ n, tk i = null ∨ tki ≥ tki−1 , . Per poter effettuare tutti i confronti proposti nell’esempio, certo, dovrebbe essere possibile riconoscere una singola riga in una data tabella. Potremmo aggiungere una ulteriore colonna con dei nomi di riferimento, identificativi, che sarebbero poi i nominativi dei partecipanti. Questo è quanto viene fatto normalmente, per non lasciare il lettore di fronte a disorientanti insiemi di numeri. Resta il dubbio su quale sia l’insieme che comprende e definisce i nomi, o, più propriamente, le parole. Dovremmo anche definire una parola, sempre diversa, per ogni specifica matrice. Cosí avremmo delle ”coordinate” precise che ci permetterebbero, volendo, di creare nuove tabelle, mescolando gli elementi delle vecchie. Ad esempio potremmo estrarre tutti i vincitori dei singoli Palii presi in considerazione. Sorgono nuovi problemi. Quella che era semplicemente una matrice di numeri naturali dovrà contenere nuovi elementi: nomi? Dovrà essa stessa essere identificata con un nome, o con un numero? E come formalmente? Tutte queste domande sono risolte dalla materia che studia la disposizione e l’ordinamento delle informazioni in basi di dati, l’algebra relazionale. Dallo studio di questa teoria, largamente diffusa ed accettata ormai ovunque, sono emerse alcune piccole incongruenze per quelli che erano i nostri scopi. Questa ”analisi critica” ci ha portato a considerare l’algebra relazionale sotto aspetti matematici un po’ più rigorosi del consueto. 8
2 . Una presentazione algebrica delle basi di dati. Fin dalla formulazione teorica delle basi di dati, di qualche anno precedente alla loro realizzazione effettiva, si è cercato di dare coerenza teorica alla loro rappresentazione e alle operazioni possibili su di esse. Col tempo queste operazioni sono aumentate di numero e complessità, ed anche la rappresentazione stessa dei dati nelle memorie dei calcolatori, grazie all’evolversi delle tecnologie, si è andata adattando alle nuove esigenze. Ora, nonostante questa notevole evoluzione, i modelli originali sono rimasti pressoché inalterati. Cercheremo di fornire un nuovo modello algebrico, partendo da semplici definizioni proprie dell’algebra e della geometria, e da alcune loro conseguenze. Alcuni dei termini adottati saranno presi a prestito dall’informatica, per alleggerire la trattazione successiva di eccessivi sinonimi. É questo il caso, ad esempio, di dominio, selezione, istanza ...per citarne solo alcuni; solo successivamente spiegheremo quale ne è l’interpretazione classica in informatica, e le analogie con quella da noi adottata. Le prime definizioni potranno sembrare banali, ma serviranno appunto ad introdurre la terminologia. Definizione 1 . Dominio D: qualsiasi insieme, di qualsiasi cardinalità. ♦ Indicheremo i dominî con le lettere D, D1, D2 . . . ; i sottoinsiemi di un dominio con le lettere maiuscole A, B, C . . . ; gli elementi dei dominî con le lettere minuscole a, b, c . . . ; Quando invece vorremo riferirci genericamente ad un insieme, senza considerarlo un dominio, useremo le lettere U, U1, U2 . . . La definizione 1, nella sua evidente semplicità, va presa per quello che è: esclusivamente l’introduzione di un sinonimo per la parola ”insieme”. Sinonimo che noi useremo sempre, d’ora in poi, per indicare gli insiemi alla base della nostra teoria. Per il momento non ci soffermiamo sulle proprietà che ogni singolo dominio può avere, di questo ci occuperemo solo in un secondo tempo. 9
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2 . Una presentazione algebrica delle basi <strong>di</strong><br />
dati.<br />
Fin dalla formulazione teorica delle basi <strong>di</strong> dati, <strong>di</strong> qualche anno precedente<br />
alla loro realizzazione effettiva, si è cercato <strong>di</strong> dare coerenza teorica alla loro<br />
rappresentazione e alle operazioni possibili su <strong>di</strong> esse. Col tempo queste<br />
operazioni sono aumentate <strong>di</strong> numero e complessità, ed anche la rappresentazione<br />
stessa dei dati nelle memorie dei calcolatori, grazie all’evolversi delle<br />
tecnologie, si è andata adattando alle nuove esigenze.<br />
Ora, nonostante questa notevole evoluzione, i modelli originali sono rimasti<br />
pressoché inalterati. Cercheremo <strong>di</strong> fornire un nuovo modello algebrico,<br />
partendo da semplici definizioni proprie dell’algebra e della geometria, e<br />
da alcune loro conseguenze.<br />
Alcuni dei termini adottati saranno presi a prestito dall’informatica, per alleggerire<br />
la trattazione successiva <strong>di</strong> eccessivi sinonimi. É questo il caso, ad<br />
esempio, <strong>di</strong> dominio, selezione, istanza ...per citarne solo alcuni; solo successivamente<br />
spiegheremo quale ne è l’interpretazione classica in informatica,<br />
e le analogie con quella da noi adottata.<br />
Le prime definizioni potranno sembrare banali, ma serviranno appunto<br />
ad introdurre la terminologia.<br />
Definizione 1 . Dominio D: qualsiasi insieme, <strong>di</strong> qualsiasi car<strong>di</strong>nalità.<br />
♦<br />
In<strong>di</strong>cheremo i dominî con le lettere D, D1, D2 . . . ;<br />
i sottoinsiemi <strong>di</strong> un dominio con le lettere maiuscole A, B, C . . . ;<br />
gli elementi dei dominî con le lettere minuscole a, b, c . . . ;<br />
Quando invece vorremo riferirci genericamente ad un insieme, senza considerarlo<br />
un dominio, useremo le lettere U, U1, U2 . . .<br />
La definizione 1, nella sua evidente semplicità, va presa per quello che è:<br />
esclusivamente l’introduzione <strong>di</strong> un sinonimo per la parola ”insieme”. Sinonimo<br />
che noi useremo sempre, d’ora in poi, per in<strong>di</strong>care gli insiemi alla base<br />
della nostra teoria.<br />
Per il momento non ci soffermiamo sulle proprietà che ogni singolo dominio<br />
può avere, <strong>di</strong> questo ci occuperemo solo in un secondo tempo.<br />
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