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dettagliata tutti gli operatori unarî e binarî su di esso, le loro proprietà e caratteristiche, evidenziando quelle che ci potessero risultare più utili. Uno dei punti chiave è stato il problema di estendere un vincolo alla potenza finita di un insieme: un problema che abbiamo definito di quantificazione. In pratica si sono sfruttati quegli operatori binarî che permettessero di ottenere dagli elementi di un insieme un risultato indipendente dall’ordine di composizione. Ci è venuta in soccorso una particolare proprietà degli operatori binarî, che abbiamo definito semi-associatività: (a ◦ b) ◦ c = (a ◦ c) ◦ b ; ∀ a, b, c . Dagli operatori binarî semi-associativi su {0, 1} nascono cosí 14 possibili quantificatori generalizzati: 14 modi diversi di estendere un vincolo da un insieme alla sua potenza finita. Questi quantificatori sono stati studiati e classificati nella tesi. Questi particolari risultati costituiscono il nucleo centrale della nostra trattazione, lo abbiamo inserito in un quadro più esteso di definizioni ed esempi che ci permettesse di illustrarne varie premesse e conseguenze. La tesi ha questa struttura: nel paragrafo introduttivo, abbiamo presentato un particolare esempio di istanza: lo studio di una gara, riprodotta in un database di tempi (nello specifico ci siamo occupati del Palio dell’Agosto 2001). Nei primi tre paragrafi veri e proprî, con una serie di definizioni, abbiamo presentato oggetti e funzioni che caratterizzano l’algebra relazionale. Nel quarto abbiamo analizzato approfonditamente gli operatori binarî sull’insieme {0, 1} . Abbiamo poi focalizzato l’attenzione sui vincoli sulle istanze (che sono, ricordiamo, insiemi finiti di ennuple). Li abbiamo distinti nelle tre categorie, che abbiamo chiamato dimensioni: 0 quelli che derivano (per quantificazione) da vincoli su un elemento delle ennuple, 1 quelli che derivano da vincoli sulle intere ennuple, 2 quelli che considerano l’istanza nel suo insieme. Fra questi ultimi ne abbiamo costruiti alcuni come vincoli di dimensione 1 sul prodotto cartesiano delle istanze per sé stesse, abbiamo anche visto che non tutti sono esprimibili cosí. I vincoli di dimensione 2 che sono rappresentabili come vincoli di dimensione 1 su un prodotto cartesiano sono comunque ”trattabili”, nel senso che il loro costo computazionale è inferiore a quello degli altri vincoli puri di dimensione 2. Solo in conclusione abbiamo riassunto brevemente l’algebra relazionale classica, cosí da evidenziare i punti di contatto e le differenze rispetto al nostro modello. 4
1 . Un esempio introduttivo. Incominciamo con l’introduzione di un esempio, tratto dal Palio. Consideriamo la seguente tabella: Contrada 1 o giro 2 o giro 3 o giro Aquila 6”4 12”7 21”7 38”5 47”5 1’04”0 Chiocciola 6”7 12”3 20”6 36”0 45”5 1’02”0 Civetta 6”8 13”1 21”3 36”6 46”5 1’03”0 Drago 7”0 12”1 20”0 35”0 44”0 1’00”0 1’10”0 1’15”0 Giraffa 6”5 12”6 20”7 35”8 45”0 1’01”0 1’11”5 Istrice 6”0 12”0 20”3 35”3 44”5 1’00”5 1’11”0 Montone 7”4 13”2 22”0 37”5 48”0 1’04”5 Nicchio 6”3 12”8 21”5 38”0 48”5 1’05”5 Tartuca 7”1 13”5 22”3 37”0 46”0 1’02”5 Torre 6”9 12”5 21”1 36”5 47”0 1’05”0 Si riferisce al Palio del 16 Agosto 2001 e rappresenta, per ognuna delle dieci contrade partecipanti, alcuni riferimenti cronometrici lungo i tre giri del percorso: la Fonte Gaia per il primo, le due curve di San Martino e del Casato per tutti e tre, ed il bandierino finale d’arrivo. I tempi sono stati rilevati per mezzo di un cronometro manuale, basandosi sul filmato delle riprese televisive. Tralasciamo qualsiasi considerazione sull’effettiva accuratezza dei valori, e limitiamoci alla conoscenza di questi dati come unica informazione a noi nota: ipotizziamo di non sapere nient’altro sulla corsa se non questi tempi. Diventa anche irrilevante disquisire sul numero dei riferimenti presi, che sono effettivamente pochi per una descrizione accurata degli eventi, però, per ora, non ci è concesso un maggiore affinamento. Ammettiamo cioè un ipotetico osservatore dei dati in questione, il quale non solo sia del tutto all’oscuro della corsa specifica, ma addirittura delle modalità di disputa del Palio di Siena, ed al quale venisse chiesto di trarre alcune conclusioni dall’analisi di questa scarna tabella. Proviamo in pratica a metterci nei suoi panni. Cosa si può dedurre dai dati contenuti nelle tabella? È subito evidente come i tempi siano, per ogni contrada, progressivi, non esiste cioè nessuna riga per la quale un rilevamento successivo (più a destra) 5
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