università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

La loro influenza è infatti difficilmente valutabile con l’aumento esponenziale
dei records nel prodotto cartesiano.
Rimaniamo cosí con i 6 non banali: Q∀ , Q∃ , Q∃ , Q∃¬∅ , Q∅ e Q¬∅ . Ma ne
possiamo eliminare ancora uno.
Lemma 1 . Ogni vincolo V col quantificatore Q∃ impone lo stesso vincolo
quantificato del vincolo ¬V col quantificatore Q∀ :
Q∃(V ) = Q∀(¬V ) . ♦
Possiamo cosí eliminare, in una qualsiasi formula, il quantificatore Q∃ .
Nella prossima dimostrazione, come si vedrà non compare mai neanche l’insieme
vuoto: possiamo eliminare anche Q∃¬∅ , Q∅ e Q¬∅ .
Proposizione 9 . Se ci si limita ai quantificatori Q∃ , Q∀ , esiste almeno
un vincolo ”puro” di dimensione 2, cioè un vincolo sulle istanze per il quale
non esiste una formula, con vincoli quantificati sul prodotto cartesiano, che
lo esprime.
Dimostrazione - Consideriamo records di grado 1 sul solo dominio N
dei numeri naturali, le istanze saranno insiemi finiti di numeri naturali.
Immaginiamo il seguente vincolo sulle istanze: tutti i numeri sono consecutivi,
non vi appartengono cioè due numeri, n ed n+2, senza che vi sia anche
n + 1.
Immaginiamo per assurdo che esista una formula ϕ, con vincoli quantificati
sul prodotto cartesiano, che soddisfa questo vincolo.
Questa formula ϕ sarà composta da un numero finito h di vincoli quantificati
con Q∃, e da un numero finito k di vincoli quantificati con Q∀, ognuno con
la sua molteplicità, e da operatori binarî.
Scriviamo ϕ ( Q m1
∃ 1 (V1), . . ., Q mh
∃ h (Vh), Q mh+1
∀ h+1 (Vh+1), . . ., Q mh+k
∀ h+k (Vh+k) )
per indicarla.
Per ogni vincolo quantificato Q mj
∃ j (Vj) (con 1 ≤ j ≤ h) ci sono due possibi-
lità:
Vj è banale e Q mj
∃ j (Vj) = 0 per ogni mj-upla di numeri naturali;
esiste una mj-upla (a j
1, . . .,a j mj ) per la quale Vj = 1 , chiamiamo aj =
max{a j
1, . . .,a j mj } .
Analogamente, per ogni Q mj
∀ j (Vj) (con h + 1 ≤ j ≤ h + k), o Vj è banale e si
ha sempre 1, oppure esiste una mj-upla (a j
1, . . .,a j mj ) per la quale Vj = 0 , e
chiamiamo aj = max{a j
1, . . .,a j mj } .
Consideriamo l’istanza I = {1, 2, . . ., (a − 1), a} con a = max{a1 , . . .,a j },
questa istanza soddisfa il vincolo proposto (elementi tutti consecutivi), la formula
di vincoli ϕ applicata ad I deve dare come risultato 1 (ϕ(I) = 1).
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