università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

Esempio 38 . Nell’esempio 31 a pagina 37 abbiamo parlato del vincolo
che impone restrizioni al numero dei records, a meno di non volere imporre
che questi siano pari o dispari, si tratta di un vincolo di dimensione 2.
Possiamo però esprimerlo grazie ai ”vincoli quantificati sul prodotto cartesiano”.
Per semplificare un po’ le cose consideriamo istanze di grado 1 (su un unico
dominio), si vedrà come questa riduzione non vada a scapito della generalità.
Innanzitutto vediamo come stabilire un limite minimo al numero dei records,
immaginiamo di accettare solo istanze I con almeno 3 records, imporremmo
sui records di I 3 il vincolo di avere tutti e 3 gli elementi diversi (la formula
corrispondente considera le 3 coppie possibili), poi lo estenderemo all’istanza
I 3 tramite il quantificatore Q∃, chiamiamo il vincolo ottenuto V≥3 . É chiaro
che se I ha cardinalità inferiore a 3 il vincolo V≥3 non sarà soddisfatto.
Se invece volessimo solo istanze con al massimo 3 records dovremmo andare
a considerare sui records di I 4 il vincolo che impone di avere almeno due elementi
uguali (non tutti diversi, considerando le 6 possibili coppie), a questo
vincolo adatteremo il quantificatore Q∀, cosí da ottenere su I il vincolo V≤3 .
Per mezzo di questi vincoli si possono costruire tutti gli intervalli sull’insieme
dei numeri naturali, ad esempio il vincolo (V≥3 ∧ V≤3) accetterà solo istanze
con tre elementi.
Il metodo proposto rispetta i limiti dell’algebra relazionale ma ha un costo
molto elevato, il fatto di dover considerare tutte le possibili coppie fa crescere
in maniera esponenziale il numero di controlli da effettuare. Oltretutto avevamo
semplificato il tutto limitando a 1 il grado di I, altrimenti il controllo
sarebbe stato, uno per uno, su tutti i dominî di I.
É chiaro che con metodi meno ortodossi (semplicemente contando i records)
si potrebbero avere algoritmi molto più efficaci.
Metodi poi assai più efficaci si possono ottenere considerando la costruzione
dinamica di prodotti cartesiani in relazione con l’esistenza di elementi finali.
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Come abbiamo fatto nell’esempio precedente, sarà possibile comporre anche
i vincoli quantificati sul prodotto cartesiano, cosí come gli altri vincoli,
per mezzo delle formule possibili con tutti i 14 operatori binarî.
Una formula con vincoli quantificati sul prodotto cartesiano sarà tale se ne
conterrà almeno uno.
Esempio 39 . Nei varî esempi abbiamo trovato alcuni vincoli per l’ormai
arcinota istanza sul palio (Contrade × T1 × T2 × . . . × T8):
la richiesta di avere almeno un vincitore: VV ittoria = Q∃×V[t8=null] ;
il vincolo sulle istanze che impone di avere tempi progressivi:
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