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P = Contrada T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 Aquila 6, 4 12, 7 21, 7 38, 5 47, 5 64 null null Chiocciola 6, 7 12, 3 20, 6 36 45, 5 62 null null Civetta 6, 8 13, 1 21, 3 36, 6 46, 5 63 null null Drago 7 12, 1 20 35 44 60 70 75 Giraffa 6, 5 12, 6 20, 7 35, 8 45 61 71, 5 null Istrice 6 12 20, 3 35, 3 44, 5 60, 5 71 null Montone 7, 4 13, 2 22 37, 5 48 64, 5 null null Nicchio 6, 3 12, 8 21, 5 38 48, 5 65, 5 null null Tartuca 7, 1 13, 5 22, 3 37 46 62, 5 null null Torre 6, 9 12, 5 21, 1 36, 5 47 65 null null Ammettiamo di voler conoscere l’ordine delle contrade alla curva del primo San Martino (T2). Possiamo effettuare su P 10 la selezione che richieda: T 1 2 < T 2 2 < . . . < T 10 2 . Il risultato sarà l’istanza formata dall’unico record che mette in ordine tutte e dieci le contrade, dalla prima all’ultima sul riferimento scelto, nel nostro caso: Istrice, Drago, ..., Montone, Tartuca. Il record avrà un grado altissimo (9 · 10 dominî), per avere un risultato più sintetico sarà possibile effettuare una proiezione sui 10 dominî ”Contrada”. ♦ Esempio 35 . L’esempio precedente ci ha fornito un metodo utile per trovare l’ordine, ma solo se è noto con precisione il numero dei partecipanti ad una gara. Se le contrade fossero state undici (!) la selezione scelta avrebbe prodotto un’istanza formata da tanti records, tutte le possibili decuple di contrade in ordine di posizione. Esiste un metodo per valutare l’ordinamento in una ”gara”, indipendentemente dal numero di partecipanti? Per definizione una relazione d’ordine è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Sarà possibile effettuare su P 2 la selezione: T 1 2 < T 2 2 . Cosí avremo tutte le coppie di contrade in cui la prima precede la seconda al rilevamento T2 : 9 con in testa l’Istrice, 8 con il Drago, e cosí via per un totale di 45 records. Il risultato è molto meno intuitivo ma ha il vantaggio di essere valido per un numero n qualsiasi di partecipanti: fornirà ((n − 1) · n)/2 coppie. ♦ Esempio 36 . Poniamoci adesso il problema di trovare i sorpassi fra San Martino e il Casato nel primo giro (T2 e T3). Agiremo sul prodotto cartesiano P 2 con una selezione un po’ più articolata: 40
( T 1 2 > T 2 2 ) ∧ ( T 1 3 < T 2 3 ) . Avremo tutti i casi in cui un concorrente che inseguiva si ritroverà in testa al secondo rilevamento (indipendentemente dal numero dei partecipanti). Nello specifico le coppie (immaginiamo di aver già fatto una proiezione sui dominî ”Contrada 1 ” e ”Contrada 2 ”) saranno: (Drago, Istrice), (Giraffa, Torre), (Civetta, Nicchio), (Civetta, Aquila) e (Aquila, Nicchio) . ♦ Vediamo come sfruttare i prodotti cartesiani di un’istanza per formalizzare alcuni vincoli su di essa. Definizione 28 . Data un’istanza I (di grado n), un numero naturale m, un vincolo V di dimensione 1 sui records di I m (di grado m·n), un quantificatore Q, si definisce vincolo quantificato sul prodotto cartesiano di I il vincolo dato da: (Q m V I) = (Q V )(I m ). m è detta molteplicità del vincolo. ♦ In questo modo si passa da un vincolo su records di grado m · n, ad un vincolo su istanze di grado n. Grazie a quest’ultima definizione sarà possibile scrivere formalmente un gran numero di vincoli di dimensione 2, trasformandoli in vincoli di dimensione 1, che sono altamente più trattabili, ancorché siano definiti sul prodotto cartesiano. Esempio 37 . A pagina 37 (esempio 32) abbiamo visto i vincoli chiave, di dimensione 2. Si è visto che non ci devono essere due records distinti in cui gli elementi dei dominî ”chiave” siano uguali. Riprendiamo il caso dell’elenco telefonico, e immaginiamo di voler fissare come chiave il dominio ”Nome”. Sia I l’istanza originaria sul prodotto cartesiano Nome ×Numero, poniamo allora su I 2 il vincolo VChiave derivato dalla formula: (Nome 1 = Nome 2 ) −→ (Numero 1 = Numero 2 ) , che possiamo anche scrivere ¬ ( ¬(Numero 1 = Numero 2 ) ∧ (Nome 1 = Nome 2 ) ), oppure (Nome 1 = Nome 2 ) XIV ◦ (Numero 1 = Numero 2 ) (esempio 28 a pagina 34). Avremo il ”vincolo quantificato sul prodotto cartesiano” richiesto, grazie al quantificatore Q∀: Q2 ∀ VChiave (I) . Nel caso in cui la chiave sia applicata a più di un dominio, non cambia formalmente la sua formulazione. ♦ 41
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