università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...
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all’istanza, tramite il quantificatore Q, il vincolo: Q×(V ) = Q(δ×(V )) . ♦ Esempio 29 . Negli esempi 5, 12 e 13 abbiamo visto come sia possibile rappresentare un Palio ed abbiamo imposto un vincolo affinché l’istanza I avesse senso: che i tempi fossero progressivi o nulli da un certo punto in poi. In realtà non sarebbe sbagliato pretendere che almeno una contrada vinca, abbia cioè un tempo sull’ultimo rilevamento T8 . Questo equivale a derivare dal dominio all’istanza, tramite il quantificatore Q∃ , il vincolo, sul dominio T8 , che vale 1 se t8 = null : VV ittoria = Q∃(V[t8=null]) (I) = (Q∃(δ×(V[t8=null]))) (I) . ♦ Per come è definito il vincolo derivato dal dominio all’istanza potrebbe sembrare che Q× sia equivalente alla più semplice applicazione Q(π). Cosí si passa direttamente dai dominî alle istanze, senza passare attraverso i records. Nell’esempio 25 di pagina 33 abbiamo visto però che questo è possibile solo per i quantificatori universali. Focalizziamo adesso l’attenzione sulle istanze e sui loro vincoli. In pratica, dato un prodotto cartesiano di dominî D1 × D2 × . . . × Dn andremo ad analizzare tutte le possibili funzioni da Pf(D1 × D2 × . . . × Dn) in {0, 1} . Cominciamo con una loro distinzione dal sapore geometrico. Definizione 24 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn, un vincolo V sulle sue istanze si dice di dimensione 0 se esiste un dominio Di ∈ {D1, D2, . . ., Dn} , un vincolo VDi su di esso, e un quantificatore Q, tali che: V = Q(δ×(VDi )) . Si dice di dimensione 0 anche se è dato dalla composizione di vincoli di dimensione 0, per mezzo di qualsiasi operatore binario. ♦ Definizione 25 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn, un vincolo V sulle sue istanze si dice di dimensione 1 se non è di dimensione 0 ed esiste un vincolo Vr su D1 ×D2 ×. . .×Dn, ed un quantificatore Q, tali che: V = Q(Vr) . Si dice di dimensione 1 anche se è dato dalla composizione di vincoli di dimensione 0 e 1 (almeno uno), per mezzo di qualsiasi operatore binario. ♦ 36
Definizione 26 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn, un vincolo V sulle sue istanze si dice di dimensione 2 se non è di dimensione 0 né di dimensione 1. ♦ Nella definizione 5 di pagina 12 abbiamo introdotto gli schemi, che sono insiemi di istanze. É chiaro che ogni vincolo sulle istanze corrisponde ad uno schema, e viceversa. Si vede anche come, per definizione, la dimensione di un vincolo composto è il massimo delle dimensioni dei suoi componenti. Esempio 30 . Consideriamo la dimensione 0, il caso più comune è quello in cui il quantificatore è Q∀, si richiede cioè che tutti i valori di una ”colonna” rispettino una certa caratteristica. Ma un vincolo di dimensione 0 può essere anche molto diverso, avremo sempre a che fare con una sola colonna, ma la ampia disponibilità di quantificatori diversi ci permette varie soluzioni. Q e Q|, ad esempio, si disinteressano completamente del vincolo cui sono applicati, valutano solo se l’istanza ha cardinalità pari o dispari; ma proprio per questo la loro dimensione può essere considerata nulla. Lo stesso dicasi per Q∅, che si limita a riconoscere l’istanza vuota. Invece i quantificatori Q0 , Q|0 , Q1 e Q|1 , se composti con vincoli sui singoli dominî, possono dare luogo a vincoli abbastanza complessi. Solo apparentemente però, abbiamo già notato come un algoritmo consideri alla stessa stregua tutti i quantificatori. ♦ Esempio 31 . Può sembrare che, con tutti i quantificatori a disposizione, siano molto rari i vincoli di dimensione 2. Quando abbiamo trattato l’istanza sul Palio ne abbiamo già trovato uno: avere al massimo 10 records (il numero di contrade partecipanti). In effetti qualsiasi vincolo che limiti il numero dei records (a meno di volerne valutare parità o disparità) non può essere ottenuto con alcun quantificatore binario. Vedremo in seguito (esempio 38) come ”costruire” questo genere di vincoli. ♦ Esempio 32 . Un vincolo sulle istanze molto comune in informatica è la chiave su alcuni dominî. La limitazione imposta è che i valori di quei dominî (un sottoinsieme di quelli componenti il prodotto cartesiano, spesso solo uno) siano diversi per ogni ennupla: non devono cioè esistere due records diversi per i quali i valori su quei dominî siano uguali. Questo permetterà di riconoscere tutti i records da quei soli elementi, si potrà anche operare una proiezione su quei dominî, mantenendo invariata la cardinalità dell’istanza. 37
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all’istanza, tramite il quantificatore Q, il vincolo:<br />
Q×(V ) = Q(δ×(V )) . ♦<br />
Esempio 29 . Negli esempi 5, 12 e 13 abbiamo visto come sia possibile<br />
rappresentare un Palio ed abbiamo imposto un vincolo affinché l’istanza I<br />
avesse senso: che i tempi fossero progressivi o nulli da un certo punto in poi.<br />
In realtà non sarebbe sbagliato pretendere che almeno una contrada vinca,<br />
abbia cioè un tempo sull’ultimo rilevamento T8 . Questo equivale a derivare<br />
dal dominio all’istanza, tramite il quantificatore Q∃ , il vincolo, sul dominio<br />
T8 , che vale 1 se t8 = null :<br />
VV ittoria = Q∃(V[t8=null]) (I) = (Q∃(δ×(V[t8=null]))) (I) . ♦<br />
Per come è definito il vincolo derivato dal dominio all’istanza potrebbe<br />
sembrare che Q× sia equivalente alla più semplice applicazione Q(π). Cosí si<br />
passa <strong>di</strong>rettamente dai dominî alle istanze, senza passare attraverso i records.<br />
Nell’esempio 25 <strong>di</strong> pagina 33 abbiamo visto però che questo è possibile solo<br />
per i quantificatori universali.<br />
Focalizziamo adesso l’attenzione sulle istanze e sui loro vincoli. In pratica,<br />
dato un prodotto cartesiano <strong>di</strong> dominî D1 × D2 × . . . × Dn andremo ad<br />
analizzare tutte le possibili funzioni da Pf(D1 × D2 × . . . × Dn) in {0, 1} .<br />
Cominciamo con una loro <strong>di</strong>stinzione dal sapore geometrico.<br />
Definizione 24 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn, un<br />
vincolo V sulle sue istanze si <strong>di</strong>ce <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione 0 se esiste un dominio<br />
Di ∈ {D1, D2, . . ., Dn} , un vincolo VDi su <strong>di</strong> esso, e un quantificatore Q,<br />
tali che:<br />
V = Q(δ×(VDi )) .<br />
Si <strong>di</strong>ce <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione 0 anche se è dato dalla composizione <strong>di</strong> vincoli <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>mensione 0, per mezzo <strong>di</strong> qualsiasi operatore binario. ♦<br />
Definizione 25 . Dato un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn, un<br />
vincolo V sulle sue istanze si <strong>di</strong>ce <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione 1 se non è <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione 0<br />
ed esiste un vincolo Vr su D1 ×D2 ×. . .×Dn, ed un quantificatore Q, tali che:<br />
V = Q(Vr) .<br />
Si <strong>di</strong>ce <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione 1 anche se è dato dalla composizione <strong>di</strong> vincoli <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>mensione 0 e 1 (almeno uno), per mezzo <strong>di</strong> qualsiasi operatore binario. ♦<br />
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