università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

Se però, per la derivazione, usassimo semplicemente Q∃ risulterebbero ”rigoristi
infallibili” anche tutti i giocatori che non ne hanno mai tirato uno.
L’unico modo perché il vincolo funzioni solo per chi ha calciato almeno un
rigore è la derivazione del vincolo originale per mezzo di Q∃¬∅. ♦
Si può notare un’altra particolarità, quasi ogni derivazione ha la sua inversa
(vale a dire la derivazione che dà ”0” tutte le volte che nella prima si
ha ”1”, e viceversa): Q0 è chiaramente l’inversa di Q1, Q∅ di Q¬∅, cosí come
Q∃ di Q∃, e lo stesso dicasi per le sei che valutano parità o disparità.
Rimangono escluse due derivazioni (Q∀ e Q∃¬∅) per le quali non esiste una
negazione.
In realtà alcuni di questi quantificatori presentano caratteristiche che
li rendono poco pratici in alcune circostanze. Esistono alcune condizioni
aggiuntive che possono limitare il numero dei quantificatori.
Definizione 20 . Un quantificatore Q è coerente se per ogni vincolo V
e per ogni singoletto {a} si ha:
(Q V )({a}) = V (a) . ♦
Esempio 24 . Non è poi tanto strano che certi quantificatori si comportino
diversamente coi singoletti rispetto al vincolo da cui derivano.
Alcuni quantificatori si disinteressano completamente di quale sia l’elemento
del singoletto, si comportano allo stesso modo con qualsiasi insieme di cardinalità
1. Oltre a quelli banali, fra questi c’è Q∅ , e chiaramente i due che
considerano se l’insieme ha cardinalità pari o dispari.
Altri sono esattamente ”anti-coerenti”, nel senso che se il vincolo dà 1 sull’elemento
del singoletto, il quantificatore darà 0, e viceversa. Questi sono
Q∃ e Q∃¬∅ .
Q , Q| , Q0 e Q1 non sono coerenti e si comportano con i singoletti secondo
le loro particolari caratteristiche. ♦
Si vede come un quantificatore Q(b, ◦) è coerente se e solo se ◦ possiede
un elemento neutro sinistro e questo è b.
Infatti deve valere b ◦ V (a) = V (a) sia che V (a) sia 1 o 0.
Proposizione 6 . Esistono solo quattro quantificatori coerenti: Q∃ , Q∀ ,
Q|0 e Q|1 . ♦
Definizione 21 . Un quantificatore Q è universale se, comunque preso
un vincolo V su X, una funzione f : Y −→ X, ed un sottoinsieme finito
A ∈ Pf(Y ), si ha:
(Q V )( {f(a), ∀a ∈ A} ) = (Q Vf)( A ) ,
laddove Vf è il chiaro vincolo su Y indotto da f . ♦
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