università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...
università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ... università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...
X ◦ = 0 1 0 1 0 1 0 1 V II Qui vale il discorso fatto per ◦ in merito agli ”1”, solo che valuta parità o disparità degli ”0”. Scriveremo: Q0 per Q Pf(1 X ◦) e Q|0 per Q V II Pf(0 ◦ ) . XII ◦ = 0 1 0 1 0 1 1 1 É simile a III ◦ , inizializzato con ”1” è banale ed è Q1 . Cominciando con ”0” invece diventa: ( ∃ ∧ = ∅). Q∃¬∅ per Q Pf(0 XII ◦ ) . Quest’ultimo quantificatore è utile per evitare alcuni paradossi logici (vedi l’esempio 23 nella prossima pagina). XIII ◦ = 0 1 0 1 1 1 0 0 Questo operatore è equivalente alla negazione ( ¬ ) del primo operando. V II In realtà può avere la stessa utilità di ◦ e X ◦, che contavano la parità o la disparità di ”1” e ”0”, solo che qui il conteggio avviene su tutti gli elementi dell’insieme. Inizializzato a ”1” risponde alla domanda: A ha cardinalità pari? Q per Q Pf(1 XIII ◦ ) . Inizializzato a ”0”: A ha cardinalità dispari? Q| per Q Pf(0 XIII ◦ ) . XV I ◦ = 0 1 0 1 1 1 1 1 Quest’ultimo caso si rifà al primo, può sembrare banale (iniziando con 1 si ha Q1, ma cominciando con ”0” ci dice se l’insieme è diverso dal vuoto. Scriveremo: Q¬∅ per Q XIV . P0 ◦ Cosí, grazie a questo elenco ed alla definizione 19, abbiamo trovato in tutto 14 modi algebrici per derivare un vincolo su di un insieme alla potenza di quello stesso insieme: Q∅ , Q∀ , Q∃ , Q1 , Q|1 , Q∃ , Q0 , Q|0 , Q∃¬∅ , Q , Q| e Q¬∅ , oltre ai banali Q0 e Q1 . 30
Esempio 22 . Diventa immediato applicare la definizione 19 di pagina 28 ad un qualsiasi sottoinsieme finito, e con uno qualsiasi dei nostri quantificatori. Immaginiamo di avere l’insieme A = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} ed il vincolo su A: V (a) = 1 se a è un numero primo, V (a) = 0 altrimenti. Vogliamo vedere se i numeri primi di A sono in numero pari. Adotteremo su V il quantificatore Q1: V (6) V II ◦ V (1) V II V II ◦ V (7) ◦ V (8) = Q1 V (A) = 1 = (1 = (1 = (0 = (1 = (0 V II ◦ V (2) V II ◦ V (3) V II V II V II V II V II V II V II V II ◦ 0) ◦ 1 ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 = V II V II V II V II V II V II V II ◦ 1) ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 = V II V II V II V II V II V II ◦ 1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 = V II ◦ V (4) V II ◦ V (5) V II V II V II V II V II V II V II V II V II ◦ 0) ◦ 1 ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 = (1 ◦ 1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ 0 = V II V II V II V II V II V II ◦ 0) ◦ 1 ◦ 0 = (0 ◦ 1) ◦ 0 = 1 ◦ 0 = 1 . I numeri primi di A sono in numero pari. L’ordine con cui abbiamo disposto gli elementi di A è ininfluente ai fini del risultato. ♦ Esempio 23 . Vediamo un caso in cui è preferibile il quantificatore Q∃¬∅ rispetto al più consueto Q∃ . Immaginiamo di avere un’istanza I che riassuma tutti i rigori concessi in un dato campionato di calcio. L’istanza è sul prodotto cartesiano: Giocatore × Squadra × Squadra × Minuto × Esito . Giocatore è l’insieme di tutti i calciatori di tutte le squadre. Squadra è l’insieme di tutte le squadre, alla seconda riassume tutte le possibili partite del campionato. Minuto è il minuto in cui la massima punizione è stata concessa. Esito comprende le varie possibilità: Goal, Parata, Palo, Fuori. Adesso vogliamo vedere se un dato calciatore è, o meno, un rigorista infallibile. Dovremo dapprima fare una selezione sull’istanza con il nome (X) del nostro uomo: σ (Giocatore=X) (I) . Poi a questa nuova istanza potremo derivare il semplice vincolo sui records: V (Esito=Goal)) . Salteranno fuori tutti coloro che non hanno mai sbagliato la massima punizione. 31 V II ◦
- Page 1 and 2: UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SIENA FA
- Page 3 and 4: Presentazione L’algebra relaziona
- Page 5 and 6: 1 . Un esempio introduttivo. Incomi
- Page 7 and 8: in riga (per quanto possa apparire
- Page 9 and 10: 2 . Una presentazione algebrica del
- Page 11 and 12: Chiameremo i records con le lettere
- Page 13 and 14: Nomi × Numeri di telefono. I due d
- Page 15 and 16: π{Di ,Di ,...,Dim 1 2 } (s[d1, d2,
- Page 17 and 18: Esempio 10 . Poniamo un problema ba
- Page 19 and 20: La selezione è cosí un operatore
- Page 21 and 22: I casi possibili sono quattro: l’
- Page 23 and 24: Nell’esempio 13 abbiamo composto
- Page 25 and 26: Per ora la definizione è solo intu
- Page 27 and 28: II V II V III ◦, ◦ , ◦ , X
- Page 29: A è vuoto? Scriveremo: Q∅ per Q
- Page 33 and 34: Esempio 25 . Riprendiamo la definiz
- Page 35 and 36: Proposizione 8 . Nell’esempio 19
- Page 37 and 38: Definizione 26 . Dato un prodotto c
- Page 39 and 40: come operatore binario, ma può ess
- Page 41 and 42: ( T 1 2 > T 2 2 ) ∧ ( T 1 3 < T 2
- Page 43 and 44: Q∀×VT , con VT = 1 se ( ti = nul
- Page 45 and 46: I è tale che, per ogni j, Q mj ∃
- Page 47 and 48: in copie diverse e gestite indipend
- Page 49 and 50: Abbiamo visto, anche a scapito dell
X ◦ =<br />
0 1<br />
0 1 0<br />
1 0 1<br />
V II<br />
Qui vale il <strong>di</strong>scorso fatto per ◦ in merito agli ”1”, solo che valuta parità<br />
o <strong>di</strong>sparità <strong>degli</strong> ”0”. Scriveremo: Q0 per Q<br />
Pf(1 X ◦) e Q|0 per Q V II<br />
Pf(0 ◦ ) .<br />
XII<br />
◦ =<br />
0 1<br />
0 1 0<br />
1 1 1<br />
É simile a III<br />
◦ , inizializzato con ”1” è banale ed è Q1 .<br />
Cominciando con ”0” invece <strong>di</strong>venta: ( ∃ ∧ = ∅). Q∃¬∅ per Q Pf(0 XII<br />
◦ ) .<br />
Quest’ultimo quantificatore è utile per evitare alcuni paradossi logici (ve<strong>di</strong><br />
l’esempio 23 nella prossima pagina).<br />
XIII<br />
◦ =<br />
0 1<br />
0 1 1<br />
1 0 0<br />
Questo operatore è equivalente alla negazione ( ¬ ) del primo operando.<br />
V II<br />
In realtà può avere la stessa utilità <strong>di</strong> ◦ e X ◦, che contavano la parità o la<br />
<strong>di</strong>sparità <strong>di</strong> ”1” e ”0”, solo che qui il conteggio avviene su tutti gli elementi<br />
dell’insieme.<br />
Inizializzato a ”1” risponde alla domanda: A ha car<strong>di</strong>nalità pari? Q per<br />
Q<br />
Pf(1 XIII<br />
◦ ) .<br />
Inizializzato a ”0”: A ha car<strong>di</strong>nalità <strong>di</strong>spari? Q| per Q<br />
Pf(0 XIII<br />
◦ ) .<br />
XV I<br />
◦ =<br />
0 1<br />
0 1 1<br />
1 1 1<br />
Quest’ultimo caso si rifà al primo, può sembrare banale (iniziando con 1<br />
si ha Q1, ma cominciando con ”0” ci <strong>di</strong>ce se l’insieme è <strong>di</strong>verso dal vuoto.<br />
Scriveremo: Q¬∅ per Q XIV .<br />
P0 ◦<br />
Cosí, grazie a questo elenco ed alla definizione 19, abbiamo trovato in<br />
tutto 14 mo<strong>di</strong> algebrici per derivare un vincolo su <strong>di</strong> un insieme alla potenza<br />
<strong>di</strong> quello stesso insieme:<br />
Q∅ , Q∀ , Q∃ , Q1 , Q|1 , Q∃ , Q0 , Q|0 , Q∃¬∅ , Q , Q| e Q¬∅ , oltre ai<br />
banali Q0 e Q1 .<br />
30
Change language