università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

Presentazione
L’algebra relazionale è una materia abbastanza recente nella storia della
matematica. É nata e trova applicazione nello studio teorico di come organizzare
e interrogare le informazioni immagazzinate nelle memorie elettroniche
dei calcolatori elettronici.
Il presente studio nasce da alcune considerazioni su questa materia, che qui
viene affrontata da un punto di vista prettamente matematico.
La nostra attenzione si è focalizzata su quelle particolari funzioni che in
algebra relazionale sono chiamate vincoli, dalle quali derivano operatori altrettanto
comuni in questa teoria: le selezioni.
Abbiamo definito i vincoli come funzioni da un qualsiasi insieme nella
coppia {0, 1} . É intuitivo come un vincolo su di un insieme possa determinare
una cernita dei suoi elementi, una selezione appunto.
L’organizzazione dei dati all’interno dei databases (letteralmente: basi di
dati) dei computers viene di solito rappresentata con matrici, nelle quali è
considerato irrilevante l’ordine delle righe. Cosí essi si trasformano in insiemi
finiti e non ordinati (istanze) di ennuple (records) su di un qualsiasi prodotto
cartesiano composto da un numero finito di insiemi (domini).
In tal modo abbiamo semplificato, in modo algebrico, l’architettura di questo
modello, altrimenti assai articolata.
Dal nostro punto di vista, quindi, le istanze di basi di dati diventano sottoinsiemi
finiti di un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn , dove i singoli Di
sono semplicemente insiemi qualsiasi.
Calcolare un vincolo su una istanza è un procedimento la cui complessità (ed
anche il costo computazionale) dipende dalla natura del vincolo stesso, oltre
che dall’estensione dell’istanza cui è applicato.
Per definire una scala di complessità dei vincoli ci siamo rifatti alla matrice
che identifica l’istanza. Se pensiamo a tale rappresentazione, un oggetto bidimensionale,
è possibile classificare i vincoli come:
- dimensione 0: vincoli che dipendono dall’esame, record per record, di una
sola casella;
- dimensione 1: vincoli che comportano un confronto fra varie caselle dello
stesso record;
- dimensione 2: tutti gli altri vincoli.
Abbiamo riprodotto in modo matematico questa struttura, ricorrendo allo
studio degli operatori sul codominio della funzione vincolo: {0, 1} . La
ridotta cardinalità di questo insieme ha permesso di analizzare in maniera
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