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Proposizione 5 . Se ◦ ha elemento neutro sinistro ed è semi-associativo, allora è anche commutativo e associativo. Dimostrazione - Sia e l’elemento neutro sinistro: (a ◦ b) = ((e ◦ a) ◦ b) = ((e ◦ b) ◦ a) = (b ◦ a) . Quindi ◦ è commutativo, ed è associativo per la 4. ♦ A questo punto possiamo definire rigorosamente come passare da un vincolo su di un insieme U ad un vincolo sulla sua potenza. Definizione 19 . Dato un insieme U e un vincolo V : U → {0, 1} , chiamiamo quantificatore Q ogni coppia (b, ◦), con b ∈ {0, 1}, e ◦ un operatore semi-associativo. Si definisce poi vincolo quantificato sulla potenza finita, rispetto a ◦, il vincolo su Pf(U): QPf(b,◦) V (A) = b ◦ a∈A ○ V (a) . ♦ L’elemento b all’inizio dell’espressione (che sarà 0 o 1) serve ad affrontare l’insieme vuoto. La proposizione 2 permette di considerare ininfluente l’ordine con cui gli elementi di A verranno sottoposti all’operatore. A questo punto vediamo quali sono gli operatori semi-associativi fra tutti i sedici possibili. Con la pazienza di effettuare qualche conto se ne scoprono dieci, vediamoli uno per uno, commentando anche il risultato della loro applicazione alla derivazione di vincoli, a seconda che si inizi con 1 o con 0. D’ora in poi daremo per scontata l’applicazione di un vincolo V ad un insieme finito A, chiameremo ”1” o ”0” gli elementi di A a seconda dell’esito del vincolo su di loro. Un’osservazione: adotteremo nuovi simboli per indicare i possibili quantificatori, useremo lo stesso simbolo per quantificatori diversi che diano però lo stesso risultato per qualsiasi insieme finito e qualsiasi vincolo. Vediamo, uno per uno, tutti gli operatori semi-associativi ed i possibili quantificatori su di essi. I ◦ = 0 1 0 0 0 1 0 0 Iniziando con 0 l’operatore è banale, lo indicheremo con Q0. Cominciando invece con un ”1”, il quantificatore è equivalente alla domanda: 28
A è vuoto? Scriveremo: Q∅ per Q Pf(1 I ◦) . II ◦ = 0 1 0 0 0 1 0 1 Si tratta della normale moltiplicazione aritmetica. Inizializzato con ”1” equivale al quantificatore logico ∀: Q∀ per Q Pf(1 II ◦ ) . Se inizializzato con ”0” è il già noto e banale Q0. III ◦ = 0 1 0 0 0 1 1 0 Partendo con ”0” è Q0. Iniziando con ”1” equivale a ∃: Q∃ per Q Pf(1 III ◦ ) . IV ◦ = 0 1 0 0 0 1 1 1 Questo operatore equivale all’identità del primo operando. Il quantificatore derivato sarà sempre uguale all’elemento scelto come inizializzatore: Q0 per Q Pf(0 IV ◦ ) e Q1 per Q Pf(1 IV ◦ ) . V II ◦ = 0 1 0 0 1 1 1 0 Questo operatore è la somma modulo 2. Cominciando con ”1” risponde alla richiesta: gli ”1” sono in numero pari? Q1 per Q V II Pf(1 ◦ ) . Cominciando con ”0”: gli ”1” sono in numero dispari? Q|1 per Q V II Pf(0 ◦ ) . V III ◦ = 0 1 0 0 1 1 1 1 Ci troviamo di fronte al classico quantificatore logico ∃, se inizializzato con ”0”: Q∃ per Q V III Pf(0 ◦ ) . Cominciando con ”1” abbiamo il quantificatore banale Q1 . 29
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