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Proposizione 5 . Se ◦ ha elemento neutro sinistro ed è semi-associativo,
allora è anche commutativo e associativo.
Dimostrazione - Sia e l’elemento neutro sinistro:
(a ◦ b) = ((e ◦ a) ◦ b) = ((e ◦ b) ◦ a) = (b ◦ a) . Quindi ◦ è commutativo, ed è
associativo per la 4. ♦
A questo punto possiamo definire rigorosamente come passare da un
vincolo su di un insieme U ad un vincolo sulla sua potenza.
Definizione 19 . Dato un insieme U e un vincolo V : U → {0, 1} ,
chiamiamo quantificatore Q ogni coppia (b, ◦), con b ∈ {0, 1}, e ◦ un
operatore semi-associativo.
Si definisce poi vincolo quantificato sulla potenza finita, rispetto
a ◦, il vincolo su Pf(U):
QPf(b,◦) V (A) = b ◦ a∈A
○ V (a) . ♦
L’elemento b all’inizio dell’espressione (che sarà 0 o 1) serve ad affrontare
l’insieme vuoto.
La proposizione 2 permette di considerare ininfluente l’ordine con cui gli elementi
di A verranno sottoposti all’operatore.
A questo punto vediamo quali sono gli operatori semi-associativi fra tutti i
sedici possibili.
Con la pazienza di effettuare qualche conto se ne scoprono dieci, vediamoli
uno per uno, commentando anche il risultato della loro applicazione alla
derivazione di vincoli, a seconda che si inizi con 1 o con 0.
D’ora in poi daremo per scontata l’applicazione di un vincolo V ad un insieme
finito A, chiameremo ”1” o ”0” gli elementi di A a seconda dell’esito del
vincolo su di loro.
Un’osservazione: adotteremo nuovi simboli per indicare i possibili quantificatori,
useremo lo stesso simbolo per quantificatori diversi che diano però
lo stesso risultato per qualsiasi insieme finito e qualsiasi vincolo.
Vediamo, uno per uno, tutti gli operatori semi-associativi ed i possibili quantificatori
su di essi.
I
◦ =
0 1
0 0 0
1 0 0
Iniziando con 0 l’operatore è banale, lo indicheremo con Q0.
Cominciando invece con un ”1”, il quantificatore è equivalente alla domanda:
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