università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

II V II V III
◦, ◦ ,
◦ , X ◦ e
XV I
◦ .
In realtà si può essere molto meno restrittivi, cominciando col definire una
nuova proprietà:
Definizione 18 . Un operatore binario ◦ su di un insieme A si definisce
semi-associativo se:
∀a, b, c ∈ A (a ◦ b) ◦ c = (a ◦ c) ◦ b . ♦
Vediamo l’utilità di questa proprietà.
Proposizione 2 . Sia dato un operatore binario semi-associativo ◦ su di
un insieme A, e una formula del tipo:
(a0 ◦ a1) ◦ a2) ◦ . . . ◦)an) , con a1, . . .an ∈ A.
Allora per ogni permutazione σ : {1, 2, . . ., n} −→ {σ(1), σ(2), . . ., σ(n)} :
(a0 ◦ a1) ◦ a2) ◦ . . . ◦)an) = (a0 ◦ aσ(1)) ◦ aσ(2)) ◦ . . . ◦)aσ(n))
Dimostrazione - Ogni permutazione deriva da permutazioni semplici,
è sufficiente verificare che, ∀i ∈ {1, 2, . . ., n − 1} :
(a0 ◦ a1) ◦ . . .) ◦ ai−1) ◦ ai) ◦ ai+1) ◦ . . .) ◦ an =
(a0 ◦ a1) ◦ . . .) ◦ ai−1) ◦ ai+1) ◦ ai) ◦ . . .) ◦ an .
E questo è vero proprio per la semi-associatività. ♦
Grazie a questo risultato, quindi, un operatore semi-associativo può essere
applicato ad un insieme disordinato (ma finito) di elementi, senza possibilità
di alterare il risultato a seconda di come gli sono proposti gli operandi, ad
eccezione del primo.
D’ora in poi scriveremo a0 ◦ (a1 ◦ a2 ◦ . . . ◦ an) , intendendo di poter svolgere
le operazioni fra parentesi in un ordine qualsiasi.
Proposizione 3 . Un operatore commutativo e associativo è anche semiassociativo.
♦
Dimostrazione - (a◦b)◦c ass.
= a◦(b◦c) comm.
= a◦(c◦b) ass.
= (a◦c)◦b .
Proposizione 4 . Un operatore commutativo e semi-associativo è anche
associativo.
♦
Dimostrazione - (a◦b)◦c comm.
= (b◦a)◦c semi
= (b◦c)◦a comm.
= a◦(b◦c) .
27