università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

V ◦ =
IX ◦ =
XIII
◦ =
♦
0 1
0 0 1
1 0 0
0 1
0 1 0
1 0 0
0 1
0 1 1
1 0 0
V I
◦ =
X ◦ =
XIV
◦ =
0 1
0 0 1
1 0 1
0 1
0 1 0
1 0 1
0 1
0 1 1
1 0 1
V II
◦ =
XI
◦ =
XV
◦ =
0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
0 1 0
1 1 0
0 1
0 1 1
1 1 0
V III
◦ =
XII
◦ =
XV I
◦ =
0 1
0 0 1
1 1 1
0 1
0 1 0
1 1 1
0 1
0 1 1
1 1 1
A questo punto, una volta scritta la sfilza di tutte le possibilità, cerchiamo
di applicare a questi operatori le normali regole algebriche, e di introdurne
una nuova, che sarà utile ai nostri scopi.
Perché sia rispettata la proprietà commutativa (a ◦b = b ◦a) è necessario che
0 ◦ 1 sia uguale a 1 ◦ 0, si vede subito che questo è il caso solo della metà dei
nostri 16 operatori: quelli relativi a matrici simmetriche.
Un’altra proprietà abbastanza facile da verificare è l’esistenza o meno di un
elemento neutro (∃ e t.c. a ◦ e = a, e ◦ a = a). Questo corrisponde a matrici
simmetriche che abbiano una riga uguale a (0, 1): due operatori ( II
◦ e X ◦)
hanno 1 come elemento neutro, e due (
V II
◦ e
V III
◦ ) hanno 0.
L’elemento neutro può essere anche solo sinistro o destro (sinistro: ∃ e t.c.
e ◦ a = a; destro: ∃ e t.c. a ◦ e = a).
Per i nostri scopi successivi saranno importanti soprattutto gli elementi neu-
tri sinistri, riconoscibili nella matrice per una riga uguale a (0, 1).
Hanno questo particolare elemento altri tre operatori: V ◦ (0), XIV
◦ (1), e
che ne ha addirittura due.
É più difficile invece verificare la proprietà associativa ((a◦b)◦c = a◦(b◦c)),
ma con un po’ di pazienza si può vedere che sono solo sei operatori a non
soddisfare questa proprietà: III
◦ , V ◦, IX ◦ , XII
◦ , XIV
◦ e XV
◦ .
Per come avevamo presentato, informalmente, la sequenza di operazioni
da effettuare su tutti gli elementi di un insieme, si può pensare che siano
accettabili solo le operazioni commutative ed associative (sono solo sei): I ◦,
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V I
◦ ,