università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

tutti, in questo caso Vu(u) = 1 se e solo se u sa guidare un autobus. Il vincolo
che decide sulla possibilità del viaggio sarà:
V(U) = 1 se e solo se ∃ u ∈ U, Vu(u) = 1. ♦
É lecito preferire un tipo di derivazione del vincolo sulla potenza? Ce ne
sono altri oltre a quelli visti finora?
In realtà, a seconda delle necessità, potrebbero essere accettabili entrambe
quelli viste, e ne potremmo richiedere di nuove.
Esempio 19 . Riprendiamo gli amici dell’esempio 18, ammettiamo che
abbiano deciso di usare delle motociclette. In questo caso, per ogni persona
che non sa guidare la moto ne sarà necessaria un’altra che ne sia capace e
possa accogliere un passeggero. Il vincolo sui singoli è sempre Vu(u) = 1 se e
solo se u sa guidare la moto. Il vincolo esteso dovrebbe essere (il simbolo #
sta ad indicare la cardinalità di un insieme, il numero dei suoi elementi):
V (U) = 1 se e solo se #({u | Vu(u) = 1}) ≥ #({u | Vu(u) = 0}). ♦
Per rispondere a queste domande sarà necessario aprire un’ampia parentesi
ed analizzare più accuratamente le caratteristiche della funzione che
abbiamo chiamato ”vincolo”.
Per passare da una funzione su di un singolo elemento (il vincolo su U) ad
una funzione su insiemi finiti (il vincolo su Pf(U) ) si può definire un operatore
fra gli elementi del codominio della funzione (nel nostro caso l’insieme
{0, 1}).
Abbiamo scelto fin dall’inizio (pagina 16) di considerare solo vincoli binarî,
ma anche in questo caso non sono poche le operazioni binarie fra i due elementi
0 e 1.
Un operatore binario su di un insieme U è una funzione: U × U −→ U.
{0, 1} ha cardinalità 2 e, per definire un operatore, chiamiamolo genericamente
◦, basterà riempire con i dovuti risultati una tabella 2 × 2:
0 1
0 (0 ◦ 0) (0 ◦ 1)
1 (1 ◦ 0) (1 ◦ 1)
Una volta cosí definito l’operatore, la giusta scrittura (informale) di estensione
per un vincolo sarà:
∀A ∈ P(U), V (A) = a1 ◦ a2 ◦ . . . ; ∀ ai ∈ A .
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