università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...

I casi possibili sono quattro: l’identità, i due operatori fissi che vanno a
0 e ad 1, e la negazione. In simboli: id ◦, 0 ◦, 1 ◦ e ¬ ◦ .
Definizione 14 Per ogni vincolo V : U −→ {0, 1}, chiameremo ¬ ◦ (V ) il
vincolo opposto di V . ♦
Sarà possibile scrivere ¬V per ¬ ◦ (V ).
Gli operatori binarî saranno oggetto del prossimo paragrafo, per ora limitiamoci
a vedere con un esempio quella composizione di vincoli che corrisponde
alla composizione di selezioni.
Esempio 15 . Abbiamo definito la composizione di selezioni come la normale
composizione di funzioni.
Consideriamo i vincoli, la composizione di vincoli più ovvia è quella che
mantiene la corrispondenza con le selezioni.
É chiaro come ad ogni selezioni si associ un vincolo. Il risultato di una
sovrapposizione di selezioni è dato da quegli elementi che soddisfano tutti i
vincoli, per i quali cioè ogni vincolo ha per risultato 1.
Il vincolo composto è uguale a 1 se e solo se tutti i vincoli considerati danno
1, abbiamo a che fare con il normale quantificatore logico universale: ∀.
L’operatore binario corrispondente (commutativo e associativo) è il normale
prodotto aritmetico: il risultato è 1 se e solo se nessun fattore è uguale a 0.
Vedremo in seguito come questo non sia comunque l’unico operatore possibile,
nè l’unico utile. ♦
Continuiamo la nostra analisi dei vincoli, nel tentativo di applicarli con
la maggiore accuratezza possibile agli elementi algebrici che abbiamo definito
(records e istanze).
Per cominciare cercheremo di vedere come sia possibile derivare un vincolo
dal codominio di una funzione al suo dominio.
Definizione 15 . Siano X e Y due insiemi, V : X −→ {0, 1} un vincolo
e f : Y −→ X una funzione. Chiameremo vincolo derivato di V tramite
f il vincolo (in questo caso ◦ è la classica composizione di funzioni):
δf(V ) = V ◦ f : Y −→ {0, 1} . ♦
Naturalmente il vincolo derivato è esso stesso un vincolo.
La definizione 15 ci interessa soprattutto per la sua applicazione all’unico
operatore che abbiamo citato da dominî a insiemi di records: la funzione
inversa della proiezione (pagina 14).
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