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Indice Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 . Un esempio introduttivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 . Una presentazione algebrica delle basi di dati . . . . . . . . . . 9 3 . Operatori sulle istanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 . Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 . Operatori binarî su {0, 1} e quantificatori . . . . . . . . . . . . . 23 6 . Vincoli sulle istanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7 . L’algebra relazionale classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2
Presentazione L’algebra relazionale è una materia abbastanza recente nella storia della matematica. É nata e trova applicazione nello studio teorico di come organizzare e interrogare le informazioni immagazzinate nelle memorie elettroniche dei calcolatori elettronici. Il presente studio nasce da alcune considerazioni su questa materia, che qui viene affrontata da un punto di vista prettamente matematico. La nostra attenzione si è focalizzata su quelle particolari funzioni che in algebra relazionale sono chiamate vincoli, dalle quali derivano operatori altrettanto comuni in questa teoria: le selezioni. Abbiamo definito i vincoli come funzioni da un qualsiasi insieme nella coppia {0, 1} . É intuitivo come un vincolo su di un insieme possa determinare una cernita dei suoi elementi, una selezione appunto. L’organizzazione dei dati all’interno dei databases (letteralmente: basi di dati) dei computers viene di solito rappresentata con matrici, nelle quali è considerato irrilevante l’ordine delle righe. Cosí essi si trasformano in insiemi finiti e non ordinati (istanze) di ennuple (records) su di un qualsiasi prodotto cartesiano composto da un numero finito di insiemi (domini). In tal modo abbiamo semplificato, in modo algebrico, l’architettura di questo modello, altrimenti assai articolata. Dal nostro punto di vista, quindi, le istanze di basi di dati diventano sottoinsiemi finiti di un prodotto cartesiano D1 × D2 × . . . × Dn , dove i singoli Di sono semplicemente insiemi qualsiasi. Calcolare un vincolo su una istanza è un procedimento la cui complessità (ed anche il costo computazionale) dipende dalla natura del vincolo stesso, oltre che dall’estensione dell’istanza cui è applicato. Per definire una scala di complessità dei vincoli ci siamo rifatti alla matrice che identifica l’istanza. Se pensiamo a tale rappresentazione, un oggetto bidimensionale, è possibile classificare i vincoli come: - dimensione 0: vincoli che dipendono dall’esame, record per record, di una sola casella; - dimensione 1: vincoli che comportano un confronto fra varie caselle dello stesso record; - dimensione 2: tutti gli altri vincoli. Abbiamo riprodotto in modo matematico questa struttura, ricorrendo allo studio degli operatori sul codominio della funzione vincolo: {0, 1} . La ridotta cardinalità di questo insieme ha permesso di analizzare in maniera 3
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