università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...
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Esempio 9 . Riprendiamo le due istanze dell’esempio 7 per applicare loro anche quest’ultimo operatore: J × H = A B C A B C a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b2 c2 a1 b1 c2 a1 b1 c1 a1 b1 c2 a1 b2 c2 a2 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b1 c1 a1 b2 c2 a3 b1 c1 a1 b1 c1 a3 b1 c1 a1 b2 c2 Il fatto che gli stessi dominî siano ripetuti non crea problemi, l’ordinamento dei records elimina qualsiasi ambiguità. ♦ Concludiamo con un semplice risultato, che non necessita nemmeno una dimostrazione, ma si rileverà utile quando estenderemo il prodotto cartesiano ad un gran numero di istanze. Proposizione 1 . Il prodotto cartesiano è associativo. ♦ 4 . Vincoli. Tralasciamo per un po’ records ed istanze per tornare a parlare genericamente di insiemi. I risultati che otterremo saranno molto utili in seguito. Definizione 10 . Vincolo n-ario V, su un insieme U, è una qualsiasi funzione: V : U −→ {0, . . ., n − 1} . ♦ I vincoli saranno contrassegnati dalle lettere V, V1, V2 . . . 16
Esempio 10 . Poniamo un problema banale, un vincolo di arietà 220 potrebbe dare, per ogni individuo la sua statura in centimetri. Prendiamo un caso più attinente alla matematica, un vincolo n-ario può contare gli elementi di tutti gli insiemi che hanno fino a n − 2 elementi: V (U) = #(U) (cardinalità di U) se #(U) ≤ n − 2, n − 1 altrimenti. Il vincolo appena proposto, se binario, si limiterà a riconoscere l’insieme vuoto; se ternario distinguerà l’insieme vuoto e i singoletti. Facciamo un ultimo esempio applicabile all’insieme N dei numeri naturali: il resto modulo n è un vincolo n-ario. ♦ D’ora in poi, per tutto il seguito della trattazione, ad esclusione delle considerazioni finali, ammetteremo solo vincoli binarî, cioè vincoli del tipo: V : U −→ {0, 1} . Li chiameremo semplicemente vincoli senza bisogno di specificare altro. É chiaro come ogni vincolo V su U identifica il sottoinsieme di U: A = {a ∈ U|V (a) = 1} Allo stesso modo qualsiasi A ⊆ U identifica il vincolo: V (a) = 1 se a ∈ A; 0 se a ∈ A. Pertanto esiste una corrispondenza biunivoca fra i vincoli su di un insieme U ed i suoi sottoinsiemi: scriveremo V A per indicare il vincolo corrispondente al sottoinsieme A, ed AV per la corrispondenza inversa. Indicheremo sempre i vincoli con le lettere maiuscole V , V1, V2, ... Sarà possibile scrivere anche V[ϕ], laddove ϕ è la condizione che implica il risultato 1. Esempio 11 . In N, l’insieme dei numeri naturali, sono molte e note le proprietà che ne possono caratterizzare un sottoinsieme: essere divisibile per 2 è ad esempio un vincolo vero solo e soltanto per i numeri pari; essere divisibile solo per sé stesso ed 1 è il vincolo dell’insieme dei numeri primi; per finire con qualcosa di un po’ meno comune, essere la somma di tutti i propri divisori è la proprietà che condizione l’insieme dei numeri perfetti. Allo stesso modo, dato un sottoinsieme, esiste sempre un vincolo che lo identifica, se non altro per l’appartenenza o meno al sottoinsieme in questione: 17
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Esempio 10 . Poniamo un problema banale, un vincolo <strong>di</strong> arietà 220<br />
potrebbe dare, per ogni in<strong>di</strong>viduo la sua statura in centimetri.<br />
Pren<strong>di</strong>amo un caso più attinente alla matematica, un vincolo n-ario può<br />
contare gli elementi <strong>di</strong> tutti gli insiemi che hanno fino a n − 2 elementi:<br />
V (U) = #(U) (car<strong>di</strong>nalità <strong>di</strong> U) se #(U) ≤ n − 2, n − 1 altrimenti.<br />
Il vincolo appena proposto, se binario, si limiterà a riconoscere l’insieme<br />
vuoto; se ternario <strong>di</strong>stinguerà l’insieme vuoto e i singoletti.<br />
Facciamo un ultimo esempio applicabile all’insieme N dei numeri naturali:<br />
il resto modulo n è un vincolo n-ario. ♦<br />
D’ora in poi, per tutto il seguito della trattazione, ad esclusione delle<br />
considerazioni finali, ammetteremo solo vincoli binarî, cioè vincoli del tipo:<br />
V : U −→ {0, 1} .<br />
Li chiameremo semplicemente vincoli senza bisogno <strong>di</strong> specificare altro.<br />
É chiaro come ogni vincolo V su U identifica il sottoinsieme <strong>di</strong> U:<br />
A = {a ∈ U|V (a) = 1}<br />
Allo stesso modo qualsiasi A ⊆ U identifica il vincolo:<br />
V (a) =<br />
<br />
1 se a ∈ A;<br />
0 se a ∈ A.<br />
Pertanto esiste una corrispondenza biunivoca fra i vincoli su <strong>di</strong> un insieme<br />
U ed i suoi sottoinsiemi: scriveremo V A per in<strong>di</strong>care il vincolo corrispondente<br />
al sottoinsieme A, ed AV per la corrispondenza inversa.<br />
In<strong>di</strong>cheremo sempre i vincoli con le lettere maiuscole V , V1, V2, ...<br />
Sarà possibile scrivere anche V[ϕ], laddove ϕ è la con<strong>di</strong>zione che implica il<br />
risultato 1.<br />
Esempio 11 . In N, l’insieme dei numeri naturali, sono molte e note le<br />
proprietà che ne possono caratterizzare un sottoinsieme:<br />
essere <strong>di</strong>visibile per 2 è ad esempio un vincolo vero solo e soltanto per i numeri<br />
pari;<br />
essere <strong>di</strong>visibile solo per sé stesso ed 1 è il vincolo dell’insieme dei numeri<br />
primi;<br />
per finire con qualcosa <strong>di</strong> un po’ meno comune, essere la somma <strong>di</strong> tutti i<br />
propri <strong>di</strong>visori è la proprietà che con<strong>di</strong>zione l’insieme dei numeri perfetti.<br />
Allo stesso modo, dato un sottoinsieme, esiste sempre un vincolo che lo identifica,<br />
se non altro per l’appartenenza o meno al sottoinsieme in questione:<br />
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