università degli studi di siena facoltà di scienze matematiche, fisiche ...
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Qui possiamo identificare il dominio ”Tempi” con l’insieme Q dei numeri razionali, cui va aggiunto l’elemento ”null” che rappresenta l’assenza di rilevamento. Naturalmente il numero di riferimenti cronometrici può essere variato senza modificare il modello. Avevamo posto inoltre la regola per cui i tempi fossero progressivi. Questa è una limitazione sui records, in seguito vedremo come formalizzarla. A ben vedere esistono altre limitazioni, questa volta sulle istanze, se vogliamo ottenere la corretta rappresentazione di un Palio: la stessa contrada non potrà correre due volte lo stesso Palio (a questo si potrebbe ovviare inserendo il dominio con le date delle carriere), le contrade devono essere al massimo dieci. Anche queste ultime sono limitazioni, ma non sui singoli records, bensí sull’istanza considerata nel suo insieme. Anche di queste ci occuperemo in seguito. ♦ Riproponiamo anche il concetto di potenza di un insieme U: P(U). La potenza di un dominio D è l’insieme di tutti i suoi possibili sottoinsiemi, potrà essere applicata anche al loro prodotto cartesiano: P(D1 × D2 × . . . × Dn). Le istanze su D1 × D2 × . . . × Dn rappresentano un sottoinsieme di P(D1 × D2 ×. . .×Dn), questo sottoinsieme coinciderà con la potenza solo nel caso in cui tutti i dominî abbiano cardinalità finita. Altrimenti sarà utile una nuova definizione. Definizione 4 . Dato un insieme U, chiameremo potenza finita di U l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi finiti di U : Pf(U) . ♦ La definizione data è molto utile ai nostri scopi: quale che sia la cardinalità dei dominî, Pf(D1 × D2 × . . . × Dn) rappresenta sempre l’insieme di tutte le possibili istanze su D1 × D2 × . . . × Dn . Definizione 5 . Schema su D1 × D2 × . . . × Dn: un insieme, non necessariamente finito, di istanze su D1 ×D2 ×... ×Dn. ♦ Anche per gli schemi il numero n dei dominî sarà detto grado. Vista la differenza fra le istanze e i sottoinsiemi di D1 × D2 × . . . × Dn c’è differenza anche fra gli schemi e i sottoinsiemi di P(D1 × D2 × . . . × Dn). In entrambi i casi, istanze e schemi, siamo di fronte a sottoinsiemi del caso generale. Esempio 6 . Prendiamo un esempio simile al 6: 12
Nomi × Numeri di telefono. I due dominî hanno potenzialmente cardinalità infinita, ma a ben vedere potremmo imporre un limite al numero di caratteri e cifre per nomi e numeri. Con questa limitazione i due dominî, sebbene enormi, resteranno confinati in ambito finito. Cosí, a rigor di logica, anche il numero di tutte le possibili ennuple sarà finito, ed anche la cardinalità di qualsiasi elemento dell’insieme potenza P(Nomi × Numeri di telefono). Con le suddette restrizioni l’insieme potenza è uno schema. ♦ Naturalmente l’esempio proposto è pretestuoso, viste le sue dimensioni, e nella pratica sarà buona regola assimilare insiemi di cardinalità finita, ma molto alta, ad insiemi infiniti. Questo è in effetti quanto avviene considerando i ”numeri di macchina” come se fossero numeri reali. 3 . Operatori sulle istanze. Una volta introdotti tutti gli elementi che caratterizzano la nostra teoria, dominî, records ed istanze, cerchiamo di costruire con essi e su di essi un’algebra. Cerchiamo cioè di definire alcuni operatori che abbiano come operandi e risultato questi stessi elementi. Più specificatamente ci preoccuperemo quasi esclusivamente delle istanze, e proprio su di esse andremo a costruire le nostre prime operazioni. Chiaramente le istanze sono insiemi finiti di records, varranno per esse i più comuni operatori insiemistici, fino a che ci si mantenga nell’ambito del finito. Potremo quindi parlare tranquillamente di unione, intersezione, differenza e, se i dominî sono tutti finiti, di complementare. Esempio 7 . Siano definiti i dominî: A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3}, C = {c1, c2} e D = {d1, d2}. Vediamo il risultato degli operatori ∪, ∩, − (differenza) e ¬ (complementare), applicati alle seguenti istanze (la rappresentazione delle istanze è quella proposta nell’esempio 3 di pagina 11): 13
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Nomi × Numeri <strong>di</strong> telefono.<br />
I due dominî hanno potenzialmente car<strong>di</strong>nalità infinita, ma a ben vedere<br />
potremmo imporre un limite al numero <strong>di</strong> caratteri e cifre per nomi e numeri.<br />
Con questa limitazione i due dominî, sebbene enormi, resteranno confinati<br />
in ambito finito. Cosí, a rigor <strong>di</strong> logica, anche il numero <strong>di</strong> tutte le possibili<br />
ennuple sarà finito, ed anche la car<strong>di</strong>nalità <strong>di</strong> qualsiasi elemento dell’insieme<br />
potenza P(Nomi × Numeri <strong>di</strong> telefono). Con le suddette restrizioni l’insieme<br />
potenza è uno schema. ♦<br />
Naturalmente l’esempio proposto è pretestuoso, viste le sue <strong>di</strong>mensioni,<br />
e nella pratica sarà buona regola assimilare insiemi <strong>di</strong> car<strong>di</strong>nalità finita, ma<br />
molto alta, ad insiemi infiniti. Questo è in effetti quanto avviene considerando<br />
i ”numeri <strong>di</strong> macchina” come se fossero numeri reali.<br />
3 . Operatori sulle istanze.<br />
Una volta introdotti tutti gli elementi che caratterizzano la nostra teoria,<br />
dominî, records ed istanze, cerchiamo <strong>di</strong> costruire con essi e su <strong>di</strong> essi un’algebra.<br />
Cerchiamo cioè <strong>di</strong> definire alcuni operatori che abbiano come operan<strong>di</strong> e risultato<br />
questi stessi elementi.<br />
Più specificatamente ci preoccuperemo quasi esclusivamente delle istanze, e<br />
proprio su <strong>di</strong> esse andremo a costruire le nostre prime operazioni.<br />
Chiaramente le istanze sono insiemi finiti <strong>di</strong> records, varranno per esse i più<br />
comuni operatori insiemistici, fino a che ci si mantenga nell’ambito del finito.<br />
Potremo quin<strong>di</strong> parlare tranquillamente <strong>di</strong> unione, intersezione, <strong>di</strong>fferenza e,<br />
se i dominî sono tutti finiti, <strong>di</strong> complementare.<br />
Esempio 7 . Siano definiti i dominî: A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3},<br />
C = {c1, c2} e D = {d1, d2}.<br />
Ve<strong>di</strong>amo il risultato <strong>degli</strong> operatori ∪, ∩, − (<strong>di</strong>fferenza) e ¬ (complementare),<br />
applicati alle seguenti istanze (la rappresentazione delle istanze è quella proposta<br />
nell’esempio 3 <strong>di</strong> pagina 11):<br />
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