test chi quadro.pdf

Scelta del test statistico
La scelta del test statistico dipende dai seguenti criteri:
1. Scala di misura
2. Disegno sperimentale
3. Ripetizione dei soggetti
4. Parametri noti della popolazione
1. Scala di misura
Scala nominale frequenze test del χ 2 , r φ
Scala ordinale ranghi test non parametrici (Mann
Witney, Wilcoxon, Friedman,
r di Speraman, ecc...)
Scale quantitative z test, t test, F test, r di
(intervalli o rapporti) Pearson

2. Disegno sperimentale
Disegno con un gruppo z test, t test
Disegno con due gruppi z test, t test, F test
Disegno fattoriale (almeno 2 F test
var. indipendenti)
Disegno correlazionale r di Pearson
3. Ripetizione dei soggetti
Due gruppi t test per gruppi indipendenti
t test per gruppi ripetuti
> 2 gruppi F test per gruppi indipendenti (fattori between)
F test per gruppi ripetuti (fattori within)

4. Parametri noti della popolazione e dimensione dei campioni
Se n > 30 si usa lo z test
(varianza normale)
Per n < 30
1. se σ è noto allora si usa
lo z test
2. se σ è ignoto allora si
usa un valore stimato (
)
e si applica il t test

Procedura sperimentale
Ipotesi sperimentale (var. indip. e dip.)
disegno sperimentale (campioni indipendenti o ripetuti, scala di
misura, ecc...)
ipotesi statistica (H 0 e H 1 )
analisi descrittiva (frequenze osservate, moda, media, varianza, ecc...
analisi inferenziale (statistica χ 2 , t o F, livello errore α)
verifica ipotesi statistica
verifica ipotesi sperimentale

TEST DEL CHI-QUADRO
Disegno con due o più gruppi e dati su scala nominale
Problema: quale terapia è più efficace nel combattere l'alcolismo?
Ipotesi: 1. la terapia A riduce la dipendenza dall'alcolismo
2. la terapia B riduce la dipendenza dall'alcolismo
3. la terapia C riduce la dipendenza dall'alcolismo
Variabile indipendente: tipo di terapia
Variabile dipendente: frequenze di ricoveri dopo la terapia
Come manipolare la variabile indipendente? Si creano tre gruppi, a ciascuno dei quali viene
somministrata una terapia diversa. I tre gruppi sono definiti A, B e C.
Come misurare la variabile dipendente? Si contano le frequenze di ricoveri dopo la terapia

TEST DEL CHI-QUADRO
Come si controllano le variabili estranee? Può darsi che la diminuzione di ricoveri sia dovuta
ad altri fattori, diversi dal tipo di terapia. Si crea un gruppo di controllo, a cui non si applica
una terapia specifica. Tale gruppo è detto gruppo D e dev'essere omogeneo, prima degli
esperimenti, agli altri tre gruppi.
Che test statistico si deve usare? Le misure sono frequenze, quindi il test è il chi-quadro con
tabella di contingenza.
Rappresentazione dei dati: Tabella di contingenza a una entrata. Nelle celle si riportano
le frequenze di ricoveri (osservate e attese).
gruppi A B C D
Frequenze
osservate 31 65 73 87
Frequenze
attese 64 64 64 64

Formula del chi-quadro:
2 = 31−642
64
65−642
64
TEST DEL CHI-QUADRO
73−642
64
87−642
64
1089
=
64
O: frequenza osservata
E: frequenza attesa
1
64 81
64 529
64
= 1682
64 =26,563
Il valore di χ 2 = 26,563, in relazione ad una distribuzione per k -1 = 4- 1= 3 gdl (k indica il numero
di gruppi) corrisponde ad n il valore di probabilità di p = 0,0000073, ben al di sotto del valore di p
= 0,05 dell'errore di I° tipo. Se si usano le tavole, allora il valore della statistica chi viene
confrontato con il valore critico di chi, ossia il valore di chi corrispondente alla probabilità
dell'errore di I° tipo, p = 0,05. il valore critico risulta χcrit 2 = 7,815.
Conclusione: c'è una differenza significativa tra i gruppi A, B, C e D

Tavole del chi
quadro.
Il valore critico di
χ 2 è evidenziato dal
rettangolo rosso.
TEST DEL CHI-QUADRO
0,95
χ 2 = 7,815
Rifiuto H 0
α = 0,05

TEST DEL CHI-QUADRO
Disegno fattoriale e dati su scala nominale
Problema: quale terapia è più efficace nel combattere l'alcolismo e la dipendenza da anfetamine?
Ipotesi: 1. la terapia A riduce la dipendenza dall'alcolismo
2. la terapia B riduce la dipendenza dall'alcolismo
3. la terapia C riduce la dipendenza dall'alcolismo
4. la terapia A riduce la dipendenza da anfetamine
5. la terapia B riduce la dipendenza da anfetamine
6. la terapia C riduce la dipendenza da anfetamine
Variabile indipendente: tipo di terapia
Variabile dipendente: frequenze di ricoveri dopo la terapia

TEST DEL CHI-QUADRO
Come manipolare la variabile indipendente? Si creano tre gruppi di soggetti con dipendenza alcolica,
a ciascuno dei quali viene somministrata una terapia diversa. Si creano altri tre gruppi di soggetti con
dipendenza da anfetamine, a ciascuno dei quali viene somministrata una terapia diversa
Come misurare la variabile dipendente? Si contano le frequenze di ricoveri dopo la terapia
Come si controllano le variabili estranee? Può darsi che la diminuzione di ricoveri sia dovuta ad altri
fattori, diversi dal tipo di terapia. Si crea un gruppo di controllo, a cui non si applica una terapia
specifica. Tale gruppo è detto gruppo D e dev'essere omogeneo, prima degli esperimenti, agli altri tre
gruppi.
Che test statistico si deve usare? Le misure sono frequenze, quindi il test è il chi-quadro con tabella di
contingenza a due entrate, essendo il disegno un disegno fattoriale.

Rappresentazione dei dati: Tabella di contingenza a due entrate. Nelle celle si riportano
le frequenze di ricoveri.
Variabile B
Variabile A
gruppi A B C D tot
alcool 31 65 73 87 256
anfetamine 78 41 98 105 322
totali 109 106 171 192
A: tipo di terapia anti-dipendenza
B: tipo di dipendenza

TEST DEL CHI-QUADRO
Formula per calcolare le frequenze attese (E rc ) per cella:
R r = totale per riga; C c = totale per colonna; N = somma totale di tutte le frequenze
gruppi A B C D tot
alcool 31 (48,277) 65 (46,948) 73 (75,737) 87 (85,038) 256
anfetamine 78 (60,723) 41 (59,052) 98 (95,263) 105 (106,962) 322
totali 109 106 171 192

2 =∑ O−E2
E
... 41−59,0522
59,052
= 31−48,2772
48,277
98−95,2632
95,263
La probabilità è p = 0,000027
TEST DEL CHI-QUADRO
65−46,9482
46,948
73−75,7372
75,737
105−106,9622 =23,817
106,962
Il valore critico di χ2 2 per 3 gdl e p = 0,05 è χ = 7,815.
crit
87−85,0382
85,038
78−60,7232
60,723
...

Il rapporto di verosimiglianza.
Possiamo calcolare la probabilità dei punteggi ponendo H 0 come vera e la probabilità
degli stessi punteggi ponendo H 1 come vera. Teoricamente, se la probabilità dei punteggi
in base alla H 1 è superiore a quella dei punteggi in base alla H 0 allora possiamo rifiutare
H 0 , altrimenti dobbiamo tenere H 0 .
In altri termini se P(x|H 1 ) > P(x|H 0 ), allora rifiutiamo H 0 .
se P(x|H 1 ) < P(x|H 0 ), allora accettiamo H 0 .
Per decidere quale ipotesi accettare si deve ricorrere al test del chi quadro.
La formula per il χ 2 unidimensionale è:
TEST DEL CHI-QUADRO
La formula per il χ 2 per tabelle di contingenza è:
2
c−1=2∑ O iln O i i
E
r −1 c−1
2
=2∑ O ij ln O ij
E ij

Riprendiamo l'esempio della terapia applicata all'alcolismo
Applicando la formula:
gruppi A B C D
Frequenze
osservate 31 65 73 87
Frequenze
attese 64 64 64 64
2 31 65 73 87
3=2[ 31 ln
65
64
ln 6473ln 87
64
ln 64] =29,7045
Come si vede, usando i rapporti di massima verosimiglianza si ottiene un
valore di χ 2 leggermente diverso.

I modelli log-lineari
I modelli log-lineari possono essere considerati l'equivalente dei modelli
lineari generali dell'analisi di varianza per i dati sua scala nominale.
Questi modelli possono essere usati per stabilire quale variabile
indipendente spiega la ripartizione delle frequenze per cella e se esiste o
no indipendenza tra le variabili.
Se abbiamo una tabella di contingenza, indicando con A il primo vettore
e con B il secondo fattore allora possiamo elaborare la seguente tabella
di modelli.
1. Ln (F ij ) = λ Modello di equiprobabilità
2. Ln (F ij ) = λ + λ Α Modello di equiprob. condizionale per A
3. Ln (F ij ) = λ + λ Β Modello di equiprob. condizionale per B
4. Ln (F ij ) = λ + λ Α + λ Β Modello di mutua indipendenza
5. Ln (F ij ) = λ + λ Α + λ Β + λ ΑΒ Modello saturo

Il modello di equiprobabilità stabilisce che la ripartizione delle
frequenze per cella è dovuta solo al caso.
Il modello di equiprob. condizionale stabilisce che la ripartizione della
frequenze per cella è dovuta o al fattore A o al fattore B.
Il modello di mutua indipendenza stabilisce che la ripartizione del
frequenze è dovuta sia ad A che a B, ma gli effetti dei due fattori sono
indipendenti tra loro.
Il modello saturo stabilisce non solo che A e B determinano la
ripartizione del frequenze per cella, ma, anche, che esista
un'interazione tra i due fattori.

Riprendendo l'esempio della tabella di contingenza:
gruppi A B C D tot
alcool (A) 31 65 73 87 256
anfetamine (B) 78 41 98 105 322
Modello di equiprobabilità:
Freq. Oss.
Freq. Att.
[
totali 109 106 171 192 578
31 65 73 87 78 41 98 105
72.25 72.25 72.25 72.25 72.25 72.25 72.25 72.25
2
7=2 31ln 31
65
73
87
72,2565ln 72,2573ln 72,2587ln 72,25 78 ln 78
41
98
105
41
72,25
ln
98
72,25
ln
105
72,25
ln 72,25 =71,36
[

Modello di equiprob. condizionale per A (gruppi A, B, C e D):
[
gruppi A B C D
alcool 31 (54,5) 65 (53) 73 (85,5) 87 (96)
anfetamine 78 (54,5) 41 (53) 98 (85,5) 105 (96)
totali 109 106 171 192
2
4=2 31 ln 31 65 73 87
65
54,5
ln
73
53
ln
87
85,5
ln 96 78 ln 78 41 98 105
41
54,5
ln
98
53
ln
105
85,5
ln 96 =31,79
I gdl sono 8 – 4 = 4, in quanto imponiamo due restrizioni al modello:
le frequenze delle celle di ciascuna colonna devono dare come somma
la frequenza attesa per quella colonna.
[

Modello di equiprob. condizionale per B (alcool vs. anfetamine):
[
gruppi A B C D tot
alcool (A) 31 (64) 65 (64) 73 (64) 87 (64) 256
anfetamine (B) 78 (80,5) 41 (80,5) 98 (80,5) 105 (80,5) 322
2
6=2 31ln 31 65 73 87
6465ln 6473ln 87
64
ln 64 78 ln 78 41 98 105
80,541ln 98
80,5
ln
105
80,5
ln 80,5 =63,81
I gdl sono 8 – 2 = 6, in quanto imponiamo quattro restrizioni al
modello:
le frequenze delle celle di ciascuna riga devono dare come somma la
frequenza attesa per quella riga.
[

Modello di mutua indipendenza:
2
3=2 31ln
78 ln
[
gruppi A B C D tot
alcool 31 (48,277) 65 (46,948) 73 (75,737) 87 (85,038) 256
anfetamine 78 (60,723) 41 (59,052) 98 (95,263) 105 (106,962) 322
totali 109 106 171 192
78
41
60,723
ln
31
48,27765ln Gdl = (r – 1)(c – 1 ) = 3(1) = 3
65
46,94873ln 41
98
98
59,052
ln
105
95,263
ln
73
87
75,73787ln 85,038 105
106,962 =24,23
[

Il modello saturo prevede anche l'interazione tra i fattori. Il modello
saturo non viene testato direttamente, diversamente da ciò che si fa
nell'analisi di varianza. Per il modello saturo si pone sempre χ 2 = 0, dato
che l'interazione è ciò che rimane non spiegato (errore residuo) quando
dalle frequenze osservate togliamo le frequenze previste dal modello di di
mutua indipendenza. Il modello saturo riesce a spiegare tutte le
frequenze osservate, per cui non c'è differenza tra modello e dati empirici.
Andiamo a vedere quale dei 5 modelli spiega meglio i dati empirici:
1. Ln (F ij ) = λ χ 2 = 71,36 7 < 0,001
2. Ln (F ij ) = λ + λ Β χ 2 = 63,81 6 < 0,001
3. Ln (F ij ) = λ + λ Α χ 2 = 31,79 4 < 0,001
4. Ln (F ij ) = λ + λ Α + λ Β χ 2 = 24,23 3 < 0,001
5. Ln (F ij ) = λ + λ Α + λ Β + λ ΑΒ χ 2 = 0 0
Tutti i primi 4 modelli risultano significativamente diversi dai dati
empirici. Per cui alla fine rimane il modello saturo e dobbiamo
concludere che la distribuzione delle frequenze per cella dipende dai
due fattori principali e dall'interazione tra i fattori.

110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
gruppi A B C D tot
alcool 31 (48,277) 65 (46,948) 73 (75,737) 87 (85,038) 256
anfetamine 78 (60,723) 41 (59,052) 98 (95,263) 105 (106,962) 322
totali 109 106 171 192
istrogramma di frequenze
alcool anfetamine
gruppo A
gruppo B
gruppo C
gruppo D
Dall'istogramma vediamo che le frequenze variano per gruppo (i
gruppi sottoposti a terapia hanno frequenze più basse); che coloro che
fanno uso di anfetamine risentono meno della terapia; tuttavia per il
gruppo B c'è un'inversione di tendenza (interazione). Per chi è
alcolista, funziona meglio la terapia A; per chi abusa di anfetamine,
funziona meglio la terapia B.

Chi-quadro unidimensionale con R
script di R: Y

Output di R:
Grafico di R:
[1] "tabella di contingenza"
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 31 65 73 87
[1] "Esito del chi quadro"
Chi-squared test for given probabilities
data: tab.fin
X-squared = 26.5625, df = 3, p-value = 7.271e-06
Var. dipendente
80
60
40
20
0
1 2 3 4
Var. indipendente

Chi quadro con tabella di contingenza con R
Script di R: Y

Output di R:
[1] "tabella di contingenza"
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 31 65 73 87
[2,] 78 41 98 105
[1] "Esito del chi quadro"
Pearson's Chi-squared test
data: tab.fin
X-squared = 23.8167, df = 3, p-value = 2.728e-05

Grafico di R:
Var. dipendente
100
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Var. indipendente

Modelli log lineare con R
1° modello: Ln (F ij ) = λ + λ Β χ 2 = 63,81 gdl = 6 < 0,001
Script:
A

2° modello: Ln (F ij ) = λ + λ Α χ 2 = 31,79 gdl = 4 < 0,001
Script:
A

3° modello: Ln (F ij ) = λ + λ Α + λ Β χ 2 = 24,23 gdl = 3 < 0,001
Script: Output:
A