10.06.2013 Views

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

A<br />

θAP<br />

A<br />

θAB<br />

ϕ<br />

β<br />

r<br />

α1<br />

P<br />

a<br />

ω1<br />

a'<br />

α2<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

<strong>LE</strong> <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

<strong>Dispense</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>di</strong> <strong>TOPOGRAFIA</strong><br />

M<br />

B<br />

ω<br />

Punto <strong>di</strong><br />

Collins<br />

B<br />

β1<br />

O<br />

θBA<br />

c'<br />

ω2<br />

β2<br />

Q<br />

α<br />

b<br />

s<br />

β<br />

α<br />

P<br />

stazione<br />

ψ<br />

θCQ<br />

C<br />

θCB<br />

C<br />

A<br />

1<br />

A'<br />

A<br />

θAB<br />

ϕ<br />

α<br />

θAB<br />

100°<br />

ϕ<br />

a<br />

a'<br />

a<br />

α<br />

α<br />

α1<br />

α b'<br />

P=P'<br />

λ<br />

P1<br />

b<br />

d1<br />

λ<br />

B'<br />

B<br />

O1<br />

Q'<br />

B<br />

β1<br />

β<br />

α<br />

θAB<br />

Q<br />

b<br />

d2<br />

β<br />

P<br />

β<br />

O2<br />

β<br />

A' ϕ<br />

100°<br />

β<br />

P'<br />

α<br />

P2<br />

figura fittizia<br />

simile<br />

a'<br />

θCB<br />

C<br />

λ<br />

β1<br />

α1 β<br />

b'<br />

B'<br />

Q'


PREMESSE<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

<strong>INTERSEZIONI</strong><br />

La determinazione planimetrica <strong>di</strong> una rete <strong>di</strong> appoggio può essere eseguita applicando il proce<strong>di</strong>mento della<br />

triangolazione, della trilaterazione oppure il metodo misto derivante dalla contemporanea misura <strong>di</strong> angoli e lati.<br />

Si può naturalmente procedere anche me<strong>di</strong>ante poligonali geo<strong>di</strong>metriche.<br />

Spesso è necessario ricorrere alle intersezioni per:<br />

1. ORIENTARE UN RILIEVO, CHE PUÒ ESSERE UNA NUOVA RETE D’INQUADRAMENTO, IN UNA RETE<br />

ESISTENTE;<br />

2. INSERIRE I PUNTI DI DETTAGLIO NEL SISTEMA D’INQUADRAMENTO, RAPPRESENTATO DA<br />

TRIANGOLAZIONI, TRILATERAZIONI E POLIGONALI.<br />

La scelta della tipologia dell’intersezione <strong>di</strong>pende dalle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> accessibilià e visibilità dei punti del rilievo,<br />

sia <strong>di</strong> dettaglio che d’inquadramento.<br />

I punti trigonometrici del 4° or<strong>di</strong>ne dell’ IGM ed i punti <strong>di</strong> dettaglio del Catasto sono stati ottenuti per intersezioni,<br />

appoggiandoli ad altri punti trigonometrici <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore e <strong>di</strong> posizione nota.<br />

Dal punto <strong>di</strong> vista operativo si usa classificare le intersezioni in DIRETTE ED INDIRETTE O INVERSE.<br />

NEL<strong>LE</strong> <strong>INTERSEZIONI</strong> DIRETTE le misure angolari necessarie per la definizione dei punti isolati sono<br />

effettuate facendo stazione col teodolite su almeno uno dei punti <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note.<br />

NEL<strong>LE</strong> <strong>INTERSEZIONI</strong> INDIRETTE le misure angolari sono effettuate facendo stazione sul punto incognito<br />

isolato.<br />

Come già premesso, la scelta <strong>di</strong> un metodo d’intersezione piuttosto che un altro <strong>di</strong>penderà dalle configurazioni<br />

morfologiche del terreno, dalla <strong>di</strong>sponibilità e dalla visibilità dei vertici <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note, nonché dalle precisioni<br />

che occorre rispettare.<br />

Poiché le intersezioni <strong>di</strong>rette richiedono lo stazionamento nei punti <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note ( per esempio vertici della<br />

rete geodetica) ed essendo questi ultimi perlopiù in posizioni inaccessibili ( ma collimabili per una intersezione<br />

inversa), <strong>di</strong>viene spesso necessario eseguire LA STAZIONE FUORI CENTRO, che costituisce una<br />

complicazione non in<strong>di</strong>fferente nella procedura.<br />

Al contrario, le intersezioni inverse richiedono lo stazionamento del teodolite sui punti incogniti, spesso definite<br />

dal topografo nelle posizioni meno <strong>di</strong>fficoltose, perciò, in definitiva, esse risultano più convenienti rispetto le<br />

intersezioni <strong>di</strong>rette, anche se lo sviluppo numerico appare più complesso.<br />

In relazione al NUMERO delle misure angolari effettuate le intersezioni si possono ulteriormente sud<strong>di</strong>videre in :<br />

SEMPLICI, se le misure angolari sono quelle strettamente necessarie (isostatiche);<br />

MULTIP<strong>LE</strong>, se le misure sono sovrabbondanti, permettendo <strong>di</strong> eseguire compensazioni empiriche o rigorose<br />

(iperstatiche).<br />

Le intersezioni tra<strong>di</strong>zionali prevedono unicamente misure angolari (<strong>LE</strong>TTURE AZIMUTALI), mentre oggigiorno si<br />

va estendendo la misura lineare <strong>di</strong> alcune <strong>di</strong>stanze che intervengono nello schema operativo.<br />

<strong>INTERSEZIONI</strong><br />

DIRETTE<br />

INVERSE<br />

Intersezione in avanti semplice Grafo-analitica<br />

Intersezione in avanti multipla Grafo-analitica<br />

Doppia intersezione in avanti<br />

Grafo-analitica<br />

(problema della <strong>di</strong>stanza inaccessibile)<br />

Intersezione laterale semplice Grafo-analitica<br />

Intersezione laterale multipla Grafo-analitica<br />

Intersezione ra<strong>di</strong>ale Grafo-analitica<br />

La stazione fuori centro nelle intersezioni <strong>di</strong>rette<br />

Il problema <strong>di</strong> Snellius-Pothenot<br />

(intersezione inversa o all’in<strong>di</strong>etro)<br />

2<br />

SOLUZIONI<br />

Risoluzione grafica<br />

Il metodo dell’angolo ausiliario.<br />

Il metodo grafico-analitico <strong>di</strong> Cassini<br />

Risoluzione grafica <strong>di</strong> Collins<br />

Intersezione multipla all’in<strong>di</strong>etro Grafo-analitica<br />

Il problema <strong>di</strong> Snellius-Pothenot ampliato a Risoluzione grafica<br />

2 punti<br />

Il metodo dell’angolo ausiliario.<br />

Il problema <strong>di</strong> Hansen<br />

Il metodo della base fittizia<br />

(doppia intersezione inversa)<br />

Il metodo dell’angolo ausiliario.


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

INTERSEZIONE IN AVANTI SEMPLICE<br />

SCHEMA<br />

Lo schema dell’intersezione in avanti semplice viene usato per determinare le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un punto P<br />

isolato ma visibile da due punti A e B <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note e che a loro volta devono essere visibili<br />

reciprocamente. L’intersezione in avanti viene usata in genere quando il punto P da determinare è<br />

inaccessibile.<br />

A<br />

stazione<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI INCOGNITE<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

α, β P(XP;YP)<br />

θΑP<br />

α<br />

O<br />

θΑΒ<br />

P<br />

Coor<strong>di</strong>nate polari <strong>di</strong> B rispetto ad A:<br />

ϑ<br />

AB<br />

x<br />

= arctg<br />

y<br />

B<br />

B<br />

− x<br />

− y<br />

punto collimato<br />

inaccessibile<br />

θBP β B<br />

A<br />

A<br />

ϑ<br />

θBA<br />

BA<br />

= ϑ<br />

Applicando il teorema dei seni:<br />

AP AB<br />

= g<br />

senβ<br />

sen[<br />

200 − ( α + β )]<br />

BP AB<br />

= g<br />

senα<br />

sen[<br />

200 − ( α + β )]<br />

stazione<br />

AB<br />

± 200<br />

3<br />

g<br />

xB<br />

− x<br />

AB =<br />

senϑ<br />

senβ<br />

AP = AB ⋅<br />

sen(<br />

α + β )<br />

senα<br />

BP = AB ⋅<br />

sen(<br />

α + β )<br />

Angoli <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione: ϑAP = ϑAB<br />

−α<br />

ϑ BP = ϑBA<br />

+ β Si noti che gli angoli <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione cambiano al cambiare<br />

delle posizioni reciproche <strong>di</strong> A, B e P; per cui è necessario ogni volta eseguire un <strong>di</strong>segno orientativo dal quale<br />

risulterà chiara la relazione fra gli angoli <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione con α e β.<br />

x )<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane del vertice P<br />

Passando dalla stazione A: Passando dalla stazione B:<br />

P = xA<br />

+ ( x p A xP = xA<br />

+ AP ⋅ senϑAP<br />

y )<br />

P = y A + ( y p A yP = y A + AP ⋅cosϑAP<br />

x = x + ( x )<br />

P<br />

P<br />

Si ricorda che, se non fosse possibile far<br />

stazione su A e su B, occorrerebbe far<br />

stazione fuori centro.<br />

Inoltre, per eliminare l’ambiguità connessa<br />

alla posizione del punto P rispetto al lato<br />

AB, occorre stabilire da che parte si colloca<br />

P, se alla sinistra o alla destra <strong>di</strong> un<br />

osservatore posto in A che osserva B.<br />

I punti A e B <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note possono<br />

appartenere alla rete d’inquadramento IGM<br />

o catastale, oppure possono essere stati<br />

definiti in operazioni d’inquadramento<br />

precedenti.<br />

Questa intersezione presenta limitate<br />

possibilità <strong>di</strong> controllo sulle operazioni <strong>di</strong><br />

misura ( per questo è detta semplice) che<br />

sono in numero strettamente in<strong>di</strong>spensabili.<br />

B<br />

y = y + ( y )<br />

B<br />

p<br />

p<br />

B<br />

B<br />

A<br />

AB<br />

x = x + BP ⋅ senϑ<br />

P<br />

P<br />

B<br />

y = y + BP ⋅cosϑ<br />

B<br />

RICORDA:<br />

N D<br />

+ + no<br />

+ - +200 g<br />

- - +200 g<br />

- + +400 g<br />

BP<br />

BP


E )<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

Coor<strong>di</strong>nate del vertice P nel sistema <strong>di</strong> Gauss Boaga<br />

Passando dalla stazione A: Passando dalla stazione B:<br />

P = EA<br />

+ ( E p A EP = EA<br />

+ AP ⋅ senϑAP<br />

N = N + ( N ) N P = N A + AP ⋅cosϑAP<br />

P<br />

A<br />

p<br />

A<br />

4<br />

E )<br />

P = EB<br />

+ ( E p B EP = EB<br />

+ BP ⋅ senϑBP<br />

N )<br />

P = N B + ( N p B N P = N B + BP ⋅cosϑBP<br />

Le intersezioni sono un problema essenzialmente planimetrico, tuttavia, conoscendo la quota <strong>di</strong> almeno <strong>di</strong> uno<br />

dei due punti A e B, è possibile determinare anche la quota del punto incognito P.<br />

Di solito la <strong>di</strong>stanza tra i punti noti e quello incognito sono elevate, per cui spesso si richiede una livellazione<br />

trigonometrica da un estremo.<br />

1−<br />

k 2<br />

QP = QA<br />

+ ∆ AP = QA<br />

+ [ AP ⋅cot<br />

gϕ<br />

AB + hA<br />

− lP<br />

+ ⋅ AP ]<br />

2⋅<br />

R<br />

CONFIGURAZIONE CONVENIENTE<br />

Si noti che la misura degli angoli α e β deve essere eseguita con molta cura, perché la precisione che si<br />

ottiene nella determinazione delle coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P <strong>di</strong>pende strettamente dalla precisione con la quale<br />

sono stati misurati questi due angoli.<br />

Si potrebbe <strong>di</strong>mostrare che la precisione nella determinazione delle coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P <strong>di</strong>pende anche dalla<br />

configurazione geometrica del triangolo ABP e precisamente dall’ampiezza dell’angolo<br />

ˆ g<br />

B PA<br />

= 200 − ( α + β ) Le con<strong>di</strong>zioni migliori sono quelle in cui l’ampiezza <strong>di</strong> questo angolo è<br />

compresa tra 110 g e 130 g .<br />

INTERSEZIONE IN AVANTI MULTIPLA<br />

SCHEMA<br />

L’intersezione in avanti semplice non consente <strong>di</strong> eseguire un controllo delle misure fatte, essendo<br />

queste in numero strettamente in<strong>di</strong>spensabile perché il punto da rilevare sia univocamente definito.<br />

Spesso perciò si ricorre all’intersezione multipla in avanti che consiste nel determinare la posizione <strong>di</strong> un<br />

punto facendo stazione in n vertici A1, A2, A3, An-1, An.<br />

Questo schema offre anzitutto la possibilità <strong>di</strong> un controllo sulla vali<strong>di</strong>tà delle misure stesse. Una volta<br />

esclusa la presenza <strong>di</strong> errori inaccettabili nelle misure, occorre procedere alla compensazione, onde<br />

giungere all’in<strong>di</strong>viduazione univoca della coppia dei valori che rappresentano le coor<strong>di</strong>nate del punto P.<br />

N<br />

O<br />

A1<br />

stazione<br />

α<br />

β1 β2<br />

A2<br />

stazione<br />

P<br />

punto collimato<br />

inaccessibile<br />

γ1<br />

E<br />

γ2<br />

A3<br />

stazione<br />

δ1<br />

λ<br />

δ2<br />

An-1<br />

stazione<br />

An<br />

stazione<br />

Nella pratica operativa è bene far stazione in tre punti A, B, C secondo lo schema seguente:


O<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI INCOGNITE<br />

C<br />

stazione<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

C(XC;YC)<br />

γ2<br />

γ1<br />

P<br />

β2<br />

punto collimato<br />

inaccessibile<br />

β1<br />

B<br />

stazione<br />

α1, α2<br />

β1, β2<br />

γ1, γ2<br />

α2<br />

α1<br />

5<br />

A<br />

stazione<br />

P(XP;YP)<br />

Per la misura degli angoli α, β, γ (come <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> letture azimutali) occorre<br />

fare per ogni angolo almeno tre strati <strong>di</strong> misura.<br />

Note le <strong>di</strong>stanze PC, PB, PA si sceglie quella maggiore ( PB nell’esempio).<br />

Se si vuole che le coor<strong>di</strong>nate abbiano una precisione <strong>di</strong> 2 cm, l’errore angolare dovrà essere dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong>:<br />

0,<br />

02<br />

= arctg<br />

d<br />

ε dove dmax è la <strong>di</strong>stanza maggiore tra PC, PB e PA.<br />

max<br />

Se dmax= 5 km si ha:<br />

ε =<br />

0,<br />

02<br />

arctg = 0,<br />

000255<br />

5000<br />

g<br />

Stabilita la precisione necessaria per il tipo <strong>di</strong> operazione, si può determinare il numero <strong>di</strong> REITERAZIONI<br />

richieste per le misure angolari. Quando si usa un teodolite con la sensibilità <strong>di</strong> 0,0001 gon (decimillesimo <strong>di</strong><br />

gon) non significa che una misura angolare effettuata me<strong>di</strong>ante l’applicazione della regola <strong>di</strong> Bessel permetta <strong>di</strong><br />

raggiungere questa precisione. Di solito, sia per l’imperfezione delle rettifiche nella messa in stazione dello<br />

strumento, sia per le con<strong>di</strong>zioni atmosferiche, sia per i limiti dell’operatore nell’eseguire le letture, si può<br />

raggiungere una precisione <strong>di</strong> circa 0,0005 gon, cioè cinque volte maggiore della sensibilità nominale del<br />

teodolite.<br />

Volendo ottenere nella misura degli angoli una precisione <strong>di</strong> 0,000255 gon, ricordando dalla teoria degli errori<br />

che l’errore quadratico me<strong>di</strong>o della me<strong>di</strong>a è dato da:<br />

singola misura.<br />

In questo caso il numero delle REITERAZIONI sono:<br />

µ ±<br />

m<br />

µ<br />

= dove µ è l’approssimazione teorica <strong>di</strong> ogni<br />

n<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2 µ µ 0,<br />

0005<br />

µ m = n = = ≅ 4strati<br />

2<br />

2<br />

n µ 0,<br />

000255<br />

m<br />

Sono note le coor<strong>di</strong>nate<br />

cartesiane delle stazioni<br />

A,B,C. e vengono misurate<br />

gli angoli α, β, γ come<br />

<strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> letture azimutali.<br />

Si hanno così tre schemi<br />

d’intersezione in avanti<br />

semplice: ABP, BCP, ACP.<br />

Risolti i tre schemi si<br />

otterranno tre valori delle<br />

coor<strong>di</strong>nate del punto collimato<br />

P: x1, x2, x3 e y1, y2, y3 .<br />

Se tali valori sono <strong>di</strong> poco<br />

<strong>di</strong>versi uno dall’altro (poche<br />

decine <strong>di</strong> cm) , si assumono<br />

come coor<strong>di</strong>nate definitive <strong>di</strong><br />

P le me<strong>di</strong>e aritmetiche.<br />

x1<br />

+ x2<br />

+ x3<br />

xP =<br />

3<br />

y1<br />

+ y2<br />

+ y3<br />

yP =<br />

3


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

DOPPIA INTERSEZIONE IN AVANTI<br />

(problema della <strong>di</strong>stanza tra due punti visibili ma non accessibili)<br />

Il metodo <strong>di</strong> rilievo della <strong>di</strong>stanza<br />

inaccessibile, detta anche doppia<br />

intersezione in avanti, permette <strong>di</strong><br />

determinare la <strong>di</strong>stanza fra due<br />

punti inaccessibili, facendo<br />

stazione con il goniometro in due<br />

punti ausiliari accessibili, dai quali<br />

siano visibili gli estremi della<br />

<strong>di</strong>stanza incognita.<br />

Il problema è riconducibile a<br />

quello dell’intersezione in avanti,<br />

che può essere applicato<br />

separatamente per i punti <strong>di</strong><br />

stazione C e D.<br />

O<br />

punto collimato<br />

inaccessibile<br />

6<br />

A<br />

C<br />

stazione<br />

γ1<br />

δ1<br />

punto collimato<br />

inaccessibile B<br />

δ2<br />

γ2<br />

D<br />

stazione<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI INCOGNITE<br />

Se non si può misurare la <strong>di</strong>stanza<br />

topografica CD, occorre conoscere<br />

le coor<strong>di</strong>nate dei punti <strong>di</strong> stazione:<br />

A(XA;YA) ; B(XB;YB)<br />

γ1, γ2<br />

δ1, δ2<br />

Distanza topografica CD<br />

Teorema dei seni al triangolo ACD:<br />

AC<br />

CD<br />

= g<br />

senγ<br />

2 sen[<br />

200 − ( γ 1 + γ 2 )]<br />

Teorema dei seni al triangolo BCD:<br />

CB<br />

CD<br />

= g<br />

senδ<br />

2 sen[<br />

200 − ( δ1<br />

+ δ 2)]<br />

Teorema <strong>di</strong> Carnot (o del coseno) al triangolo ABC:<br />

A<br />

lCA lCB<br />

C<br />

lCD<br />

lDA<br />

lDC<br />

2<br />

2<br />

CD ⋅ senγ<br />

2<br />

AC =<br />

sen γ + γ )<br />

( 1 2<br />

CD ⋅ senδ<br />

2<br />

CB =<br />

sen δ + δ )<br />

( 1 2<br />

AB = AC + BC − ⋅ AC ⋅ BC ⋅cos(<br />

γ −δ<br />

)<br />

lDB<br />

D<br />

B<br />

2 1 1<br />

Distanza topografica AB<br />

Ovviamente gli angoli γ1, γ2, δ1, δ2 sono ottenuti<br />

da <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> letture azimutali:<br />

γ1 = lCD - lCA<br />

γ2 = lDA - lDC<br />

δ1 = lCD - lCB<br />

δ2 = lDB - lDC


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

INTERSEZIONE LATERA<strong>LE</strong> SEMPLICE<br />

SCHEMA<br />

Questo metodo d’intersezione viene impiegato nella determinazione <strong>di</strong> un punto P che deve essere<br />

accessibile, avendo a <strong>di</strong>sposizione due punti A e B <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note, reciprocamente visibili e, da<br />

almeno uno dei due, sia visibile P<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI INCOGNITE<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

ε, β (o in alternativa a β si misura α) P(XP;YP): punto <strong>di</strong> stazione<br />

A<br />

θΑP<br />

α<br />

punto<br />

collimato<br />

O<br />

θΑΒ<br />

P<br />

ε<br />

stazione<br />

θBP β B<br />

θBA<br />

stazione<br />

In effetti nell’intersezione laterale semplice occorre eseguire la stazione su un sol punto <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate<br />

note e quin<strong>di</strong>, la probabilità <strong>di</strong> dover ricorrere alla stazione fuori centro si riduce rispetto all’intersezione<br />

in avanti.<br />

Su questa intersezione non si possono effettuare né controlli né compensazioni.<br />

Coor<strong>di</strong>nate polari <strong>di</strong> B rispetto ad A:<br />

ϑ<br />

AB<br />

Applicando il teorema dei seni:<br />

x<br />

= arctg<br />

y<br />

B<br />

B<br />

− x<br />

− y<br />

A<br />

A<br />

ϑ<br />

AP AB<br />

=<br />

senβ<br />

senε<br />

BA<br />

= ϑ<br />

BP AB<br />

=<br />

g<br />

sen[<br />

200 − ( ε + β )] senε<br />

g<br />

Angoli <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione: ϑ = ϑ −[<br />

200 − ( ε + β )]<br />

P<br />

P<br />

A<br />

A<br />

p<br />

p<br />

A<br />

A<br />

7<br />

AB<br />

± 200<br />

senβ<br />

AP = AB ⋅<br />

senε<br />

AP AB<br />

ϑ BP = ϑBA<br />

+ β<br />

y = y + ( y ) yP = y A + AP ⋅cosϑ<br />

AP<br />

g<br />

xB<br />

− x<br />

AB =<br />

senϑ<br />

sen(<br />

ε + β )<br />

BP = AB ⋅<br />

senε<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane del vertice P<br />

Passando dalla stazione A: Passando dalla stazione B:<br />

x = x + ( x ) xP = xA<br />

+ AP ⋅ senϑAP<br />

x P = xB<br />

+ ( x p ) B xP = xB<br />

+ BP ⋅ senϑ<br />

y = y + ( y )<br />

P<br />

B<br />

p<br />

B<br />

Occorre fare stazione su P<br />

per misurare l’angolo ε<br />

(attraverso la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />

letture azimutali) e su uno dei<br />

due punti <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note,<br />

nel nostro caso B, per<br />

misurare l’angolo β .<br />

Conseguentemente:<br />

α = 200 g – (ε+β)<br />

A questo punto lo sviluppo<br />

<strong>di</strong>venta identico a quello<br />

dell’intersezione in avanti<br />

semplice con la facile<br />

determinazione delle<br />

coor<strong>di</strong>nate cartesiane del<br />

punto <strong>di</strong> stazione P.<br />

La vera <strong>di</strong>fferenza con<br />

l’intersezione in avanti è nel<br />

lavoro <strong>di</strong> campagna.<br />

P<br />

A<br />

AB<br />

y = y + BP ⋅cosϑ<br />

B<br />

BP<br />

BP


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

Si potrebbe <strong>di</strong>mostrare che, nella determinazione delle coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un punto P, è più conveniente, in<br />

termini <strong>di</strong> precisione, l’intersezione in avanti per i punti vicini e quella laterale per i punti lontani.<br />

Per definire meglio tale affermazione, pensiamo <strong>di</strong> tracciare una circonferenza con centro in A e raggio = AB. Si<br />

<strong>di</strong>mostra che i punti che sono dentro alla circonferenza si determinano meglio con l’intersezione in avanti,<br />

mentre, per quelli esterni alla stessa circonferenza, risulta più conveniente l’intersezione laterale.<br />

Tale affermazione definisce unicamente un criterio <strong>di</strong> convenienza in termini <strong>di</strong> precisione, in realtà la scelta<br />

dell’uno o dell’altro tipo d’intersezione sarà fortemente con<strong>di</strong>zionata dalle situazioni logistiche e morfologiche dei<br />

punti sui quali occorrerà eseguire le stazioni. Con ciò si ricorda che, nelle or<strong>di</strong>narie operazioni topografiche,<br />

verrà adottato quel metodo d’intersezione con il quale sia possibile misurare gli angoli senza ricorrere a<br />

procedure particolari, come le stazioni fuori centro, che comunque sono quasi sempre necessarie quando<br />

si debbano misurare gli angoli dai vertici trigonometrici.<br />

A<br />

stazione<br />

"IN AVANTI"<br />

α<br />

punto<br />

collimato<br />

P<br />

β<br />

B<br />

stazione<br />

8<br />

A<br />

stazione<br />

α<br />

"LATERA<strong>LE</strong>"<br />

INTERSEZIONE LATERA<strong>LE</strong> MULTIPLA<br />

stazione<br />

P<br />

ε<br />

punto<br />

collimato<br />

SCHEMA<br />

Questo metodo d’intersezione viene impiegato nella determinazione <strong>di</strong> un punto P che deve essere<br />

accessibile, avendo a <strong>di</strong>sposizione tre punti A, B e C <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note, reciprocamente visibili.<br />

Infatti, per poter rendere la struttura geometrica controllabile, occorre avere a <strong>di</strong>sposizione almeno un<br />

terzo punto <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note (punto C) collimabile da P. Si fa quin<strong>di</strong> stazione in P, dove si misurano gli<br />

angoli orizzontali ε e δ, e nel punto B, dove si misurano gli angoli β1 e β2 .<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI INCOGNITE<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

C(XB;YB)<br />

β1, β2<br />

δ1, δ2<br />

B<br />

P(XP;YP):<br />

secondo punto <strong>di</strong> stazione


O<br />

θAP<br />

A<br />

punto<br />

collimato<br />

θAB<br />

δ1<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

stazione<br />

P<br />

β1<br />

θBP<br />

δ2<br />

β2<br />

B<br />

stazione<br />

punto<br />

collimato<br />

θBC<br />

9<br />

θCP<br />

C<br />

θCB<br />

INTERSEZIONE RADIA<strong>LE</strong><br />

SCHEMA<br />

L’impiego dei <strong>di</strong>stanziometri ad onde modulate o delle stazioni totali permette la determinazione rapida e<br />

molto precisa <strong>di</strong> un punto P misurando le <strong>di</strong>stanze <strong>di</strong> esso dai due punti A e B dei quali siano note le<br />

coor<strong>di</strong>nate cartesiane. Inoltre non è necessario che i punti A e B siano visibili tra loro, basta che lo<br />

siano da P.<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI E<strong>LE</strong>MENTI CALCOLATI INCOGNITE<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

θΑP<br />

α<br />

A<br />

punto<br />

collimato<br />

O<br />

b<br />

θΑΒ<br />

Distanze topografiche<br />

a e b.<br />

stazione<br />

P<br />

c<br />

a<br />

θBP β B<br />

θBA<br />

punto<br />

collimato<br />

Angoli orizzontali α e β<br />

La risoluzione <strong>di</strong> ciascun<br />

triangolo fornirà una coppia<br />

<strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate (nevitabilmente<br />

<strong>di</strong>verse per gli errori <strong>di</strong><br />

misura degli angoli β1, δ1 nel<br />

primo triangolo e β2, δ2 nel<br />

secondo triangolo: la loro<br />

me<strong>di</strong>a aritmetica fornirà il<br />

valore definitivo delle<br />

coor<strong>di</strong>nate del punto P.<br />

P(XP;YP):<br />

Dalla conoscenza delle coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> A e B si ricavavano, come nell’intersezione semplice, le<br />

coor<strong>di</strong>nate polari <strong>di</strong> B rispetto ad A:<br />

RICORDA:<br />

xB<br />

− xA<br />

ϑ AB = arctg<br />

yB<br />

− y A<br />

ϑ BA = ϑAB<br />

g<br />

± 200<br />

xB<br />

− xA<br />

AB =<br />

senϑAB<br />

N<br />

+<br />

+<br />

D<br />

+<br />

-<br />

no<br />

+200 g<br />

- - +200 g<br />

- + +400 g<br />

Facendo stazione in P si misurano le <strong>di</strong>stanze<br />

topografiche a & b.<br />

Con le formule <strong>di</strong> Briggs si ricavano gli angoli α & β.<br />

α =<br />

β =<br />

2⋅<br />

arctg<br />

2⋅<br />

arctg<br />

( p − b)<br />

⋅(<br />

p − c)<br />

p ⋅(<br />

p − a)<br />

( p − a)<br />

⋅(<br />

p − c)<br />

p ⋅(<br />

p − b)<br />

dove p è il semiperimetro.<br />

In alternativa alle formule <strong>di</strong> Briggs si può applicare<br />

la relazione inversa del teorema <strong>di</strong> Carnot.


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

2 2<br />

2 2<br />

b + c<br />

2<br />

a = b + c − 2⋅<br />

b ⋅c<br />

⋅cosα<br />

α = arccos<br />

− a<br />

2⋅<br />

b⋅<br />

c<br />

2<br />

b<br />

2 2<br />

= a + c − 2⋅<br />

a ⋅c<br />

⋅cos<br />

β<br />

2 2<br />

a + c − b<br />

β = arccos<br />

2⋅<br />

a ⋅c<br />

Noto α o β si ricava l’azimut θAP oppure θBP. ϑAP = ϑAB<br />

−α<br />

ϑ BP = ϑBA<br />

+ β<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane del punto <strong>di</strong> stazione P<br />

Passando dalla stazione A: Passando dalla stazione B:<br />

x P = x A + ( x p ) A xP = xA<br />

+ b⋅<br />

senϑAP<br />

x P = xB<br />

+ ( x p ) B<br />

P = xB<br />

+ a ⋅<br />

y = y + ( y ) yP = yA<br />

+ b⋅<br />

cosϑAP<br />

y P = yB<br />

+ ( y p ) B = y + a ⋅<br />

P<br />

A<br />

p<br />

A<br />

10<br />

2<br />

2<br />

x senϑ<br />

y cosϑ<br />

LA STAZIONE FUORI CENTRO NEL<strong>LE</strong> <strong>INTERSEZIONI</strong> DIRETTE<br />

Le intersezioni <strong>di</strong>rette (in avanti e laterale) sono più affidabili, in termini <strong>di</strong> pura precisione, rispetto alle<br />

intersezioni inverse. Tuttavia, le intersezioni <strong>di</strong>rette sono spesso, nelle operazioni <strong>di</strong> campagna, più<br />

complicate da eseguire, perché talvolta richiedono l’esecuzione <strong>di</strong> STAZIONI FUORI CENTRO, allo scopo<br />

<strong>di</strong> misurare gli angoli in corrispondenza dei punti noti.<br />

Supponiamo <strong>di</strong> dover determinare le coor<strong>di</strong>nate cartesiane del punto inaccessibile P con una intersezione in<br />

avanti semplice dai due vertici trigonometrici A e B <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note, sui quali tuttavia non è possibile<br />

far stazione con il teodolite. Si faranno perciò due stazioni fuori centro, la prima sul punto A’ prossimo ad A<br />

(eccentricità e1) e la seconda sul punto B’ prossimo a B (eccentricità e2).<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI E<strong>LE</strong>MENTI CALCOLATI INCOGNITE<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

Dalla stazione A’: lA’P - lA’B - lA’A<br />

Dalla stazione B’: lB’P - lB’B - lB’A<br />

Eccentricità: e1 - e2<br />

Distanze A’P e B’P<br />

Angoli: α’ β’<br />

Correzioni angolari: ∆1 ∆2 ∆3 ∆4<br />

P<br />

B<br />

BP<br />

P(XP;YP):<br />

Dalla stazione A’ si collimano i punti P, B ed A e si fanno le corrispondenti letture al C.O.<br />

Dalla stazione B’ si collimano i punti P, B ed A e si fanno le corrispondenti letture al C.O.<br />

Bisogna conoscere le <strong>di</strong>stanze AP e BP che generalmente non sono note. Per determinarle bisognerebbe<br />

conoscere gli angoli α e β. Si suppone, in un primo momento, che le letture fatte in A’ e B’ siano poco<br />

<strong>di</strong>fferenti da quelle fatte in A e B. Si ricavano perciò i seguenti valori:<br />

α ≅ α'<br />

= lA'B − lA'P<br />

β ≅ β '= lB'P − lB'<br />

A<br />

Servendoci <strong>di</strong> questi valori approssimati <strong>di</strong> α e β, si calcolano con il teorema dei seni le <strong>di</strong>stanze AP e BP,<br />

per le quali si otterranno valori approssimati, ma molto vicini a quelli reali.<br />

xB<br />

− xA<br />

ϑ AB = arctg<br />

yB<br />

− y A<br />

Applicando il teorema dei seni:<br />

ϑ BA = ϑAB<br />

g<br />

± 200<br />

xB<br />

− xA<br />

AB =<br />

senϑAB<br />

AP<br />

=<br />

AB<br />

g<br />

senβ<br />

AP = AB ⋅<br />

sen(<br />

α + β )<br />

Riduzione al centro delle stazioni:<br />

lAP = lA’P - ∆1<br />

lAB = lA’B - ∆2<br />

senβ<br />

sen[<br />

200 − ( α + β )]<br />

BP AB<br />

= g<br />

senα<br />

sen[<br />

200 − ( α + β )]<br />

senα<br />

BP = AB ⋅<br />

sen(<br />

α + β )<br />

lBA = lB’A + ∆3<br />

lBP = lB’P + ∆4<br />

BP


stazione<br />

fuori centro<br />

A' α'<br />

A'<br />

A'<br />

α<br />

A<br />

A<br />

e1<br />

A<br />

noto<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

∆1<br />

P<br />

e1 ∆2<br />

noto<br />

∆2<br />

∆1<br />

P<br />

punto collimato<br />

inaccessibile<br />

β<br />

A<br />

B<br />

11<br />

B<br />

β'<br />

stazione<br />

fuori centro<br />

P<br />

B'<br />

∆3<br />

∆4<br />

∆4<br />

Una volta determinate le<br />

correzioni angolari<br />

applicando quattro volte il<br />

teorema dei seni ai triangoli<br />

dei fuori centro e ponendo<br />

g rad<br />

g<br />

g<br />

sen 200<br />

200<br />

∆ = ∆ ≈ ∆<br />

noto<br />

∆3<br />

noto<br />

e2<br />

B<br />

π<br />

B'<br />

e2<br />

B<br />

B'<br />

π<br />

, si ottengono le letture al<br />

C.O. che si sarebbero avute<br />

se si avesse potuto far<br />

stazione in A e B.<br />

Si calcolano i valori veri degli<br />

angoli α e β.<br />

Con questi ultimi risultati si<br />

possono poi ricalcolare<br />

nuovamente le <strong>di</strong>stanze AP e<br />

BP.<br />

Segue il calcolo delle<br />

coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P come<br />

nell’intersezione in avanti<br />

semplice.


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

IL PROB<strong>LE</strong>MA DI SNELLIUS-POTHENOT<br />

(intersezione inversa o all’in<strong>di</strong>etro)<br />

Nelle intersezioni <strong>di</strong>rette si è visto che i meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> riattacco, pur richiedendo un semplice lavoro <strong>di</strong> tavolino,<br />

risultano assai scomo<strong>di</strong> nel lavoro <strong>di</strong> campagna. Infatti occorre fare stazione su almeno uno dei punti ai quali si<br />

riattacca e tali punti <strong>di</strong> solito coincidono con vertici trigonometrici in<strong>di</strong>viduati da campanili o da parti <strong>di</strong> fabbricati<br />

per i quali risulta <strong>di</strong>fficile la realizzazione della stazione. Ragion per cui risulterebbe ben più comodo determinare<br />

la posizione del punto incognito senza aver la necessità <strong>di</strong> far stazione sui vertici trigonometrici, ma facendo<br />

una sola stazione sul punto P da determinare e collimando tre punti noti.<br />

Questo proce<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> rilievo, conosciuto sotto molte denominazioni, è stato storicamente proposto dal fisico e<br />

geodeta olandese Willebrord Snell van Royen meglio conosciuto con il nome umanistico <strong>di</strong> Snellius (1581 ? –<br />

1626) che fu anche l’ideatore della triangolazione. Snellius fu il primo che applicò il metodo della triangolazione<br />

in occasione della misura <strong>di</strong> un arco <strong>di</strong> meri<strong>di</strong>ano vicino a Leida.<br />

Snellius in<strong>di</strong>cò una soluzione dell’intersezione inversa <strong>di</strong> tipo grafico verso il 1600:<br />

“Trium locorum intervallis inter se datis, quarti <strong>di</strong>stantiam ab omnibus unica stazione definire.”<br />

Fra i principali stu<strong>di</strong> su questo problema, si ricordano quelli <strong>di</strong> Collins (1680), <strong>di</strong> Pothenot (1692) e <strong>di</strong> Jacques<br />

Cassini ( Parigi, 1677 – 1756 )<br />

Collins propose ancora una soluzione grafica.<br />

Fu poi Pothenot che sviluppò una procedura analitica congeniale al calcolo logaritmico.<br />

L’astronomo e cartografo francese <strong>di</strong> origine italiana Jacques Cassini sviluppò una soluzione grafica che, solo<br />

recentemente, è stata ripresa come base <strong>di</strong> un calcolo analitico facilmente gestibile dalle moderne calcolatrici.<br />

SCHEMA<br />

Date le posizioni <strong>di</strong> tre punti, determinare la posizione <strong>di</strong> un quarto punto, me<strong>di</strong>ante la misura degli<br />

angoli che formano tra <strong>di</strong> loro le tre visuali condotte da questo ai tre punti dati.<br />

Alla semplificazione delle misure rispetto alle intersezioni <strong>di</strong>rette, corrisponde, nelle intersezioni inverse,<br />

una maggior complessità dello schema geometrico e dei relativi calcoli, che tuttavia è preferibile rispetto<br />

alle più semplici operazioni <strong>di</strong> campagna.<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI INCOGNITE<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

C(XC;YC)<br />

α, β P(XP;YP): punto <strong>di</strong> stazione<br />

SOLUZIONE GRAFICA DI COLLINS<br />

Fra le soluzioni grafiche del problema <strong>di</strong> Snellius – Pothenot, particolarmente brillante, per rapi<strong>di</strong>tà ed efficacia,<br />

appare quella proposta da Collins.<br />

Siano A, B e C i punti noti. Si congiunge A con C e, su AC si riporta in A l’angolo β ed in C l’angolo α,<br />

tracciando le semirette r ed s .<br />

L’intersezione M delle rette r ed s viene detta PUNTO DI COLLINS.<br />

Si tracciano gli assi dei segmenti MA ed MC che si intersecano nel punto O: centro della circonferenza<br />

circoscritta al triangolo ACM.<br />

La congiungente M con B (o il suo prolungamento) incontra la circonferenza nel punto P, che è quello<br />

cercato.<br />

Infatti APˆ<br />

B = ACˆ<br />

M = α perché insistono sullo stesso arco AM e analogamente MPˆ<br />

C = MAˆ<br />

C = β<br />

perché insistono sullo stesso arco MC .<br />

Poiché P vede AB e BC sotto gli angoli α e β, esso è il punto che s’intendeva determinare la posizione.<br />

12


A<br />

β<br />

r<br />

M<br />

Punto <strong>di</strong><br />

Collins<br />

B<br />

O<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

α<br />

s<br />

β<br />

α<br />

P<br />

stazione<br />

C<br />

A<br />

100°<br />

13<br />

α<br />

t<br />

P<br />

α<br />

β<br />

α<br />

α<br />

O1<br />

SOLUZIONE GRAFICA DI CASSINI<br />

Cassini propose la soluzione grafica detta anche delle due circonferenze. Questa geometria servirà poi per<br />

impostare una soluzione numerica che si presta al calcolo con la calcolatrice tascabile.<br />

Dal punti A straccia la retta t che forma un angolo α con la <strong>di</strong>stanza AB .<br />

Si traccia l’asse del segmento AB ed in A la perpen<strong>di</strong>colare a t.<br />

Il punto d’incontro O1 è il centro <strong>di</strong> una circonferenza che passa per A e per B e risulta tangente alla retta t.<br />

Tutti i punti <strong>di</strong> questa circonferenza compresi nell’arco AB dalla parte <strong>di</strong> P fanno vedere il segmento AB<br />

sotto angoli uguali <strong>di</strong> ampiezza α.<br />

Con proce<strong>di</strong>mento del tutto analogo si traccia la seconda circonferenza <strong>di</strong> centro O2 passante per i punti B e<br />

C. I punti <strong>di</strong> questa seconda circonferenza, compresi nell’arco BC dalla parte <strong>di</strong> P, fanno vedere la corda<br />

BC sotto l’angolo β, pertanto il punto P dovrà trovarsi anche su questa seconda circonferenza.<br />

L’INTERSEZIONE DEI DUE CERCHI INDIVIDUA LA POSIZIONE DI P.<br />

Le due circonferenze passano entrambe per B e s’incontrano in un secondo punto che è il punto P<br />

cercato. Esso gode infatti della proprietà <strong>di</strong> far vedere simultaneamente il segmento AB sotto l’angolo α<br />

e quello BC sotto l’angolo β.<br />

SOLUZIONE ANALITICA DALLO SCHEMA DI CASSINI<br />

In passato il calcolo numerico era con<strong>di</strong>zionato dalla ricerca <strong>di</strong> espressioni in forma logaritmica. Oggi, con l’uso<br />

delle calcolatici tascabili, viene a mancare il con<strong>di</strong>zionamento <strong>di</strong> arrivare ad una espressione logaritmica, dando<br />

spazio a soluzioni più lineari sotto l’aspetto geometrico e semplici da memorizzare.<br />

⇒ Calcolo dei lati AB = a e BC = b e dei relativi azimut θAB e θCB:<br />

xB<br />

− xA<br />

g<br />

xB<br />

− xA<br />

yB<br />

− y A<br />

ϑ AB = arctg<br />

ϑ BA = ϑAB<br />

± 200 AB = a = oppure AB = a =<br />

y − y<br />

senϑ<br />

cosϑ<br />

ϑ<br />

CB<br />

B<br />

x<br />

= arctg<br />

y<br />

B<br />

B<br />

A<br />

− x<br />

− y<br />

C<br />

C<br />

ϑ<br />

BC<br />

= ϑ<br />

CB<br />

± 200<br />

g<br />

BC<br />

x − x<br />

senϑ<br />

r1<br />

AB<br />

CB<br />

B<br />

β<br />

O2<br />

B C<br />

= = oppure<br />

b<br />

β<br />

r2<br />

s<br />

β<br />

100°<br />

AB<br />

yB<br />

− y<br />

BC =<br />

b =<br />

cosϑ<br />

CB<br />

C<br />

C


A<br />

α<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

θAB<br />

100°<br />

a<br />

α<br />

α<br />

P1<br />

d1<br />

B<br />

O1<br />

⇒ Con riferimento alla soluzione grafica delle due circonferenze, si prolunga il raggio BO1 fino ad intersecare in<br />

P1 la prima circonferenza dove BP1 è il <strong>di</strong>ametro.<br />

⇒ Similmente si prolunga il raggio BO2 fino ad intersecare in P2 la seconda circonferenza dove BP2 è il<br />

<strong>di</strong>ametro.<br />

⇒ Calcolo delle coor<strong>di</strong>nate polari <strong>di</strong> P1 rispetto ad A e quelle <strong>di</strong> P2 rispetto a C.<br />

Si osserva che i triangoli ABP1 e CBP2 sono rettangoli, perché inscritti in una circonferenza con l’ipotenusa<br />

uguale al <strong>di</strong>ametro e sono risolvibili.<br />

AP1 = a ⋅cot<br />

gα<br />

CP 2 = b⋅<br />

cot gβ<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P1:<br />

ϑ<br />

AP1<br />

= ϑ<br />

AB<br />

+ 100<br />

g<br />

14<br />

α<br />

ϑ<br />

CP2<br />

X = X + AP ⋅senϑ<br />

= X + a ⋅cot<br />

gα<br />

⋅ sen(<br />

ϑ + 100<br />

1<br />

A<br />

1<br />

AP1<br />

A<br />

Y = Y + AP ⋅ ϑ = Y + a ⋅cot<br />

gα<br />

⋅cos(<br />

ϑ + 100<br />

1<br />

A<br />

1<br />

cos AP1<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P2:<br />

A<br />

X = X + CP ⋅senϑ<br />

= X + b⋅<br />

cot gβ<br />

⋅ sen(<br />

ϑ −100<br />

2<br />

C<br />

2<br />

CP2<br />

C<br />

Y = Y + CP ⋅ ϑ = Y + b ⋅ cot gβ<br />

⋅ cos( ϑ −100<br />

2<br />

C<br />

2<br />

cos CP2<br />

C<br />

AB<br />

AB<br />

CB<br />

CB<br />

b<br />

d2<br />

β<br />

P<br />

g<br />

g<br />

β<br />

O2<br />

= ϑ<br />

)<br />

g<br />

)<br />

)<br />

g<br />

CB<br />

)<br />

β<br />

100°<br />

β<br />

P2<br />

−100<br />

⇒ Ricordando le funzioni trigonometriche tra i vari quadranti e che i lati a e b possono essere espressi come<br />

B A<br />

AB<br />

Y Y −<br />

YB<br />

−YC<br />

AB = a =<br />

e BC = b = , le coor<strong>di</strong>nate cartesiane dei punti ausiliari P1 e P2 si<br />

cosϑ<br />

cosϑCB<br />

trasformano secondo le successive espressioni.<br />

g<br />

θCB<br />

C<br />

Ricordando le funzioni<br />

trigonometriche tra i vari<br />

quadranti:<br />

sen(θAB + 100 g ) = cosθAB<br />

cos(θAB+ 100 g ) = - sen θAB<br />

sen(θCB- 100 g )= - cos θCB<br />

cos(θCB- 100 g )= sen θCB


Coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P1:<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

Y −Y<br />

YB<br />

− YA<br />

= Y1 = YA<br />

+ ⋅ cot gα<br />

⋅ ( −senϑAB<br />

)<br />

cosθ<br />

B A<br />

X 1 X A + ⋅cot<br />

gα<br />

⋅cosϑAB<br />

cosθ<br />

AB<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P2:<br />

YB<br />

−Y<br />

Y<br />

C<br />

B − YC<br />

X 2 = X C + ⋅cot<br />

gβ<br />

⋅(<br />

−cosϑCB<br />

) Y2 = YC<br />

+ ⋅ cot gβ<br />

⋅ ( senϑCB<br />

)<br />

cosϑ<br />

cosϑ<br />

⇒ Semplificando si ottiene quanto segue.<br />

CB<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P1:<br />

= X + ( Y −Y<br />

) ⋅cot<br />

gα<br />

Y1 = YA<br />

− ( YB<br />

− YA)<br />

⋅ cot gα<br />

⋅ tgϑAB<br />

X1 A B A<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P2:<br />

⇒ Poiché<br />

tg<br />

= X − ( Y −Y<br />

) ⋅cot<br />

gβ<br />

Y2 = YC<br />

+ ( YB<br />

− YC<br />

) ⋅ cot gβ<br />

⋅ tgϑCB<br />

X 2 C B C<br />

=<br />

X<br />

− X<br />

B A<br />

ϑ AB<br />

e<br />

YB<br />

−Y<br />

A<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P1:<br />

tg<br />

X<br />

− X<br />

B C<br />

ϑ CB =<br />

si ottengono le relazioni finali <strong>di</strong> Y1 e Y2.<br />

YB<br />

−YC<br />

= X + ( Y −Y<br />

) ⋅cot<br />

gα<br />

= Y − ( X − X ) ⋅ cot gα<br />

X1 A B A<br />

Coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P2:<br />

15<br />

AB<br />

CB<br />

Y1 A B A<br />

= X − ( Y −Y<br />

) ⋅cot<br />

gβ<br />

= Y + ( X − X ) ⋅ cot gβ<br />

X 2 C B C<br />

Y2 C B C<br />

⇒ Osservando la figura si nota che i triangoli BPP1 e BPP2 sono rettangoli in P, perché inscritti in una<br />

circonferenza con l’ipotenusa uguale al <strong>di</strong>ametro.<br />

Dunque i punti P1, P e P2 sono allineati ed il segmento BP risulta perpen<strong>di</strong>colare alla retta che passa<br />

per P1 e P2 nel punto P.<br />

Per calcolare le coor<strong>di</strong>nate del punto P si tratta <strong>di</strong> risolvere il problema del calcolo delle coor<strong>di</strong>nate del<br />

piede delle perpen<strong>di</strong>colare (punto P).<br />

( 2 − X 1)<br />

⋅(<br />

Y1<br />

−YB<br />

) + ( Y2<br />

−Y1<br />

) ⋅(<br />

X<br />

COEFFICIENTE INTERMEDIO: Ω =<br />

2<br />

2<br />

( X − X ) + ( Y −Y<br />

)<br />

COORDINATE DEL PUNTO DI STAZIONE P:<br />

X B<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

− X<br />

= − ( 2 − 1)<br />

⋅Ω<br />

Y Y X P = + ( 2 − 1)<br />

⋅Ω<br />

X X Y YP B<br />

X B<br />

1<br />

)


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

METODO DEL<strong>LE</strong> PERPENDICOLARI<br />

(Soluzione analitica dallo schema <strong>di</strong> Cassini proposta da Selvini)<br />

A<br />

θAB<br />

ϕ<br />

a<br />

α<br />

P1<br />

100°−α<br />

d1<br />

B<br />

O1<br />

ω<br />

γ<br />

16<br />

100°−β<br />

α<br />

b<br />

d2<br />

β<br />

P<br />

O2<br />

ψ C<br />

Mentre il metodo precedente proponeva una soluzione analitica adatta per le calcolatrici tascabili programmabili,<br />

questo metodo proposto dal Prof. Selvini del Politecnico <strong>di</strong> Milano permette <strong>di</strong> calcolare le coor<strong>di</strong>nate del punto<br />

<strong>di</strong> stazione P in modo ragionato, percorrendo passo per passo un semplice percorso. Si basa sempre<br />

sull’intuizione grafica <strong>di</strong> Cassini ed è detto METODO DEL<strong>LE</strong> PERPENDICOLARI.<br />

⇒ Calcolo dei <strong>di</strong>ametri:<br />

⇒ Angolo P B = γ<br />

2 1<br />

ˆP = 1<br />

a d ⋅ senα<br />

a<br />

d =<br />

senα<br />

1 b = d 2 ⋅ senβ<br />

β<br />

P2<br />

θCB<br />

b<br />

d 2 =<br />

senβ<br />

γ = ω −<br />

ω<br />

⇒ Per il teorema <strong>di</strong> Carnot: P P = d + d − ⋅ d ⋅ d ⋅cosγ<br />

⇒ Area del triangolo P1P2B:<br />

1<br />

2<br />

S P1P2<br />

B<br />

g<br />

g<br />

g<br />

g<br />

( 100 −α<br />

) − ( 100 − β ) = ω −100<br />

+ α −100<br />

+ β = α + β + −<br />

2<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2 1 2<br />

d1<br />

⋅d<br />

2 ⋅ senγ<br />

= 2 ⋅ S P1P2<br />

B = d1<br />

⋅ d 2 ⋅ senγ<br />

2<br />

⇒ L’area del triangolo P1P2B si può anche esprimere in forma semplice come:<br />

S P1P2<br />

B<br />

P1<br />

P2<br />

⋅ BP<br />

2<br />

= e ricavare<br />

⇒ Passando da A si applica il teorema dei seni al triangolo ABP:<br />

BP a<br />

= BP ⋅ senα<br />

= a ⋅ senϕ<br />

senϕ<br />

senα<br />

2⋅<br />

S<br />

BP =<br />

P P<br />

P1P2<br />

B<br />

1<br />

2<br />

BP ⋅ senα<br />

ϕ =<br />

arcsen<br />

a<br />

200<br />

g


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

AP<br />

a<br />

=<br />

g<br />

sen[<br />

200 − ( ϕ + α)]<br />

senα<br />

⇒ Passando sempre da A si calcolano le coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P:<br />

17<br />

a ⋅ sen(<br />

ϕ + α)<br />

AP =<br />

senα<br />

X P = X A + AP ⋅ sen(<br />

ϑ AB + ϕ)<br />

Y P = YA<br />

+ AP ⋅cos(<br />

ϑ AB + ϕ)<br />

⇒ Passando da C si applica il teorema dei seni al triangolo BCP:<br />

BP b<br />

= BP ⋅ senβ<br />

= b⋅<br />

senψ<br />

senψ<br />

senβ<br />

CP<br />

b<br />

=<br />

g<br />

sen[<br />

200 − ( ψ + β )] senβ<br />

⇒ Passando sempre da C si calcolano le coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> P:<br />

BP ⋅ senβ<br />

ψ = arcsen<br />

b<br />

b⋅<br />

sen(<br />

ψ + β )<br />

CP =<br />

senβ<br />

X P = X C + CP ⋅ sen(<br />

ϑCB −ψ<br />

) Y P = YC<br />

+ CP ⋅cos(<br />

ϑCB −ψ<br />

)<br />

⇒ Le coor<strong>di</strong>nate definitive del punto <strong>di</strong> stazione P si ottengono, se poco <strong>di</strong>fferenti come dovrebbe essere,<br />

facendo la me<strong>di</strong>a aritmetica tra quelle passando da A e le corrispondenti passando da C.<br />

θAB<br />

A ϕ<br />

a<br />

θAP<br />

B<br />

θBA<br />

ω<br />

θBC<br />

α β<br />

SOLUZIONE DI POTHENOT<br />

(Metodo dell’angolo ausiliario)<br />

b<br />

P<br />

θCB<br />

ψ C<br />

θCP<br />

SEMISOMMA:<br />

ϕ + ψ g α + β + ω<br />

= 200 −<br />

2<br />

2<br />

ANGOLO AUSILIARIO:<br />

SEMIDIFFERENZA:<br />

a ⋅ senβ<br />

λ = arctg<br />

b⋅<br />

senα<br />

ϕ −ψ ϕ + ψ<br />

g<br />

= arctg [ tg ⋅tg(<br />

50 − λ)]<br />

2<br />

2<br />

Sommando e sottraendo si ha:<br />

ϕ + ψ ϕ −ψ<br />

ϕ = +<br />

2 2<br />

ϕ + ψ ϕ −ψ<br />

ψ =<br />

−<br />

2 2


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

OSSERVAZIONI SUL PROB<strong>LE</strong>MA DI Snellius-Pothenot<br />

CASO DI INDETERMINAZIONE: SITUAZIONE CRITICA<br />

Per il problema <strong>di</strong> Snellius – Pothenot esiste un caso <strong>di</strong> INDETERMINAZIONE in corrispondenza del<br />

quale tutte le soluzioni, sia grafiche che analitiche, non sono in grado <strong>di</strong> definire il punto incognito P.<br />

Se la somma dei tre angoli noti α, β (misurati) e ω ( dato come <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> angoli azimutali) è uguale<br />

g<br />

ad un angolo piatto ( α + β + ω = 200 ) SIGNIFICA CHE IL QUADRILATERO “ABCP” E’ INSCRITTO<br />

IN UN’ UNICA CIRCONFERENZA; IL QUADRILATERO “ABCP” RISULTA CICLICO. Oltre al punto P,<br />

anche tutti gli infiniti punti situati sulla circonferenza vedono gli archi AB e BC sotto i medesimi angoli<br />

α e β, poiché gli angoli alla circonferenza sottesi da uno stesso arco sono uguali.<br />

Dal punto <strong>di</strong> vista pratico questo caso non permette <strong>di</strong> risolvere il problema perché, viste le infinite<br />

soluzioni, non è possibile risalire al punto dal quale si sono misurati gli angoli α e β.<br />

Poiché il problema sia determinato deve essere:<br />

g<br />

α + β + ω ≠ 200<br />

g<br />

+ β + ω = 200<br />

Naturalmente la probabilità che si realizzi α è assai remota . Tuttavia è molto temibile<br />

e critica la seguente situazione: se la somma dei tre angoli α + β + ω non si <strong>di</strong>scosta decisamente<br />

(almeno <strong>di</strong> 15 g – 20 g ) da 200 g , il problema, anche se non più indeterminato, fornisce però soluzioni<br />

imprecise, perché piccoli errori nella misura degli angoli α e β causano gran<strong>di</strong>ssimi errori nelle<br />

coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P. Pertanto, quando è possibile, la scelta dei punti noti A, B e C deve essere effettuata in<br />

modo da rimanere ben lontani dalla situazione critica.<br />

Risulta evidente che la precisione ottenibile<br />

per le coor<strong>di</strong>nate planimetriche del punto P<br />

<strong>di</strong>pende unicamente dalla bontà della<br />

misura degli angoli α e β.<br />

Volendo avere un controllo per tali angoli<br />

misurati in campagna, occorre avere a<br />

<strong>di</strong>sposizione, oltre ai punti A, B, C, anche<br />

un quarto punto D.<br />

Questo schema geometrico risulta<br />

IPERDETERMINATO e viene chiamato<br />

INTERSEZIONE INVERSA MULTIPLA.<br />

INTERSEZIONE INVERSA MULTIPLA<br />

(Intersezione multipla all’in<strong>di</strong>etro)<br />

18<br />

A<br />

α<br />

P<br />

β<br />

B<br />

α<br />

P<br />

β<br />

α β<br />

L’intersezione inversa multipla o intersezione multipla all’in<strong>di</strong>etro permette <strong>di</strong> definire le coor<strong>di</strong>nate del punto P in<br />

quattro mo<strong>di</strong> <strong>di</strong>versi.<br />

Si risolvono le quattro intersezioni <strong>di</strong> Snellius usando preferibilmente IL METODO DELL’ANGOLO AUSILIARIO.<br />

Naturalmente queste quattro soluzioni <strong>di</strong> P saranno <strong>di</strong>verse. Una volta controllata e verificata l’accettabilità <strong>di</strong><br />

questi valori, si assumeranno come coor<strong>di</strong>nate del punto P la me<strong>di</strong>a aritmetica dei quattro risultati.<br />

X<br />

P<br />

=<br />

X<br />

+ X<br />

+ X<br />

4<br />

+ X<br />

P1<br />

P2<br />

P3<br />

P4<br />

Y<br />

P<br />

Y<br />

=<br />

+ Y<br />

+ Y<br />

4<br />

+ Y<br />

P1<br />

P2<br />

P3<br />

P4<br />

P<br />

C


A<br />

SNELLIUS n. 2<br />

B<br />

ϕ 2<br />

β<br />

P<br />

b<br />

a<br />

γ<br />

A<br />

ϕ 4<br />

e<br />

B<br />

C<br />

ω 2<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

α β γ<br />

P<br />

c<br />

b<br />

e<br />

ψ 2<br />

SNELLIUS n. 1<br />

SEMISOMMA:<br />

ϕ 1 + ψ 1 g α + β + ω1<br />

= 200 −<br />

2<br />

2<br />

ANGOLO AUSILIARIO:<br />

a ⋅ senβ<br />

λ1<br />

= arctg<br />

b ⋅ senα<br />

SEMIDIFFERENZA:<br />

ϕ −ψ 1 ϕ1<br />

+ ψ 1<br />

g<br />

= arctg [ tg ⋅tg(<br />

50<br />

2<br />

2<br />

d<br />

D<br />

α + β γ<br />

1 − λ1<br />

SNELLIUS n. 3<br />

SEMISOMMA:<br />

3 + ψ 3 g α + β +<br />

= 200 −<br />

2<br />

2<br />

ANGOLO AUSILIARIO:<br />

ϕ γ + ω<br />

a ⋅ sen(<br />

β + γ )<br />

λ3<br />

= arctg<br />

d ⋅ senα<br />

SEMIDIFFERENZA:<br />

ϕ −ψ 3 ϕ3<br />

+ ψ 3<br />

g<br />

= arctg [ tg ⋅tg(<br />

50 −<br />

2<br />

2<br />

3 λ3<br />

3<br />

P<br />

C<br />

)]<br />

SNELLIUS n. 3<br />

A<br />

)]<br />

c<br />

ϕ 3<br />

C<br />

ω 4<br />

19<br />

a<br />

D<br />

c<br />

A<br />

B<br />

ψ 4<br />

α<br />

SNELLIUS n. 4<br />

SNELLIUS n. 1<br />

a<br />

ϕ 1<br />

ω 3<br />

β + γ<br />

D<br />

P<br />

d<br />

B<br />

ω 1<br />

α β<br />

b ψ 1<br />

P<br />

ψ 3<br />

SNELLIUS n. 2<br />

SEMISOMMA:<br />

ϕ 2 + ψ 2 g β + γ + ω2<br />

= 200 −<br />

2<br />

2<br />

ANGOLO AUSILIARIO:<br />

b ⋅ senγ<br />

λ2<br />

= arctg<br />

c ⋅ senβ<br />

SEMIDIFFERENZA:<br />

ϕ −ψ 2 ϕ 2 + ψ 2<br />

g<br />

= arctg [ tg ⋅ tg(<br />

50<br />

2<br />

2<br />

2<br />

− λ2<br />

SEMISOMMA:<br />

SNELLIUS n. 4<br />

ϕ 4 + ψ 4 g α + β + γ + ω4<br />

= 200 −<br />

2<br />

2<br />

ANGOLO AUSILIARIO:<br />

SEMIDIFFERENZA:<br />

e⋅<br />

senγ<br />

λ4<br />

= arctg<br />

c ⋅ sen(<br />

α + β )<br />

ϕ4<br />

−ψ 4 ϕ4<br />

+ ψ 4 g<br />

= arctg<br />

[ tg ⋅tg(<br />

50 − λ4)]<br />

2<br />

2<br />

C<br />

D<br />

)]


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

IL PROB<strong>LE</strong>MA DI SNELLIUS-POTHENOT AMPLIATO A 2 PUNTI<br />

(risolto con il metodo dell’angolo ausiliario)<br />

SCHEMA<br />

Il problema <strong>di</strong> Snellius – Pothenot ampliato A DUE PUNTI può essere così sintetizzato: si conoscono le<br />

coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> tre punti A,B,C e si vogliono determinare le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> due punti P e Q,<br />

RECIPROCAMENTE VISIBILI, nei quali si fa stazione per misurare i seguenti angoli:<br />

A<br />

θAP<br />

ˆ α<br />

ˆ α<br />

A PB<br />

= 1 B PQ<br />

= 2 P QB<br />

= 1 B QC<br />

= 2<br />

20<br />

ˆ β<br />

ˆ β<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI INCOGNITE<br />

ϕ<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

C(XB;YB)<br />

θAB<br />

α1<br />

P<br />

a<br />

ω1<br />

a'<br />

α2<br />

B<br />

Calcolo degli angoli ϕ e ψ :<br />

ω<br />

β1<br />

Dal triangolo APB si ricava AP :<br />

Dal triangolo BCQ si ricava CQ :<br />

θBA<br />

c'<br />

ω2<br />

β2<br />

Q<br />

b<br />

ψ<br />

θCQ<br />

ϕ + ψ ϕ −ψ<br />

ϕ = +<br />

2 2<br />

1<br />

1<br />

α1, α2<br />

β1, β2<br />

C<br />

θCB<br />

SEMIDIFFERENZA:<br />

ϕ + ψ ϕ −ψ<br />

ψ = −<br />

2 2<br />

AP a<br />

g<br />

= dove: ω 1 = 200 − ( ϕ + α1)<br />

senω<br />

senα<br />

CQ b<br />

g<br />

= dove: ω 2 = 200 − ( ψ + β 2 )<br />

senω<br />

senβ<br />

Segue il calcolo delle coor<strong>di</strong>nate dei punti <strong>di</strong> stazione P e Q:<br />

2<br />

2<br />

P(XP;YP): 1°stazione<br />

Q(XQ;YQ): 1°stazione<br />

Dal punto P si devono vedere A, B e Q;<br />

dal punto Q si devono vedere B, C e P.<br />

Come nel problema <strong>di</strong> Pothenot<br />

“storico” risolto con il metodo<br />

dell’ANGOLO AUSILIARIO, tutta la<br />

risoluzione del problema è basata sulla<br />

ricerca degli angoli ϕ e ψ.<br />

SEMISOMMA:<br />

ϕ + ψ + α1+ α2 + β1 + β2 + ω = 600 g<br />

ϕ + ψ g α1<br />

+ α 2 + β1<br />

+ β 2 + ω<br />

= 300 −<br />

2<br />

2<br />

ANGOLO AUSILIARIO:<br />

a ⋅ senα<br />

2 ⋅ senβ<br />

2<br />

λ =<br />

arctg<br />

b⋅<br />

senα<br />

⋅ senβ<br />

ϕ −ψ ϕ + ψ<br />

g<br />

= arctg [ tg ⋅tg(<br />

50 − λ)]<br />

2<br />

2<br />

1<br />

1


A<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

X P = X A + AP ⋅ sen(<br />

ϑ AB + ϕ)<br />

Y P = YA<br />

+ AP ⋅cos(<br />

ϑ AB + ϕ)<br />

X Q = X C + CQ ⋅ sen(<br />

ϑCB −ψ<br />

) Y Q = YC<br />

+ CQ ⋅cos(<br />

ϑCB −ψ<br />

)<br />

RISOLUZIONE GRAFICA DEL POTHENOT AMPLIATO<br />

α1<br />

α2<br />

α1<br />

P<br />

(stazione)<br />

α2<br />

α1<br />

O1<br />

α1<br />

P'<br />

B<br />

21<br />

Q'<br />

β2<br />

O2<br />

β1<br />

β2<br />

β2<br />

Q<br />

β1<br />

(stazione)<br />

Siano A, B, C i tre punti noti e supponiamo da quale parte si trova P e Q rispetto ai punti noti predetti.<br />

.<br />

⇒ Si traccia con la solita costruzione la circonferenza con centro O1 e la circonferenza con centro O2<br />

⇒ Da A si traccia la semiretta AP ' che forma un angolo α2 con la <strong>di</strong>rezione AB .<br />

⇒ Da C si traccia la semiretta CQ ' che forma un angolo β1 con la <strong>di</strong>rezione BC .<br />

⇒ Restano così in<strong>di</strong>viduati i PUNTI AUSILIARI P’ e Q’.<br />

⇒ Congiungendo P’ con Q’ e prolungando, da una parte e dall’altra, sino ad intersecare le due circonferenze,<br />

restano determinati i punti <strong>di</strong> stazione P e Q.<br />

β2<br />

C


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

PROB<strong>LE</strong>MA DI HANSEN<br />

(doppia intersezione inversa)<br />

SCHEMA<br />

Se i tre punti <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate note non sono tutti <strong>di</strong>sponibili, si rintracciano almeno due punti A e B <strong>di</strong><br />

coor<strong>di</strong>nate note, inaccessibili ma visibili e collimabili dal punto <strong>di</strong> stazione P. Per supplire alla mancanza<br />

<strong>di</strong> un punto noto si in<strong>di</strong>vidua un punto Q generalmente ausiliario, scelto arbitrariamente, del quale non è<br />

necessario conoscere la posizione, ma che deve essere visibile da P e dal quale, dopo aver fatto<br />

stazione, devono essere collimabili i punti noti A e B.<br />

Il punto <strong>di</strong> stazione Q può essere anche non ausiliario ed avere una posizione predefinita, purchè da<br />

esso siano sempre collimabili il punto <strong>di</strong> stazione P ed i due punti noti A e B. ( ad es.: caso in cui i punti<br />

P e Q sono i vertici del primo lato <strong>di</strong> una poligonale) .<br />

METODO DELLA BASE FITTIZIA<br />

E<strong>LE</strong>MENTI NOTI E<strong>LE</strong>MENTI MISURATI INCOGNITE<br />

A(XA;YA)<br />

B(XB;YB)<br />

A<br />

A'<br />

θAB<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

a<br />

a'<br />

α1<br />

α b'<br />

P=P'<br />

λ<br />

b<br />

λ<br />

B'<br />

α1, α2<br />

β1, β2<br />

Q'<br />

B<br />

β1<br />

β<br />

22<br />

θAB<br />

Q<br />

A' ϕ<br />

figura fittizia<br />

simile<br />

P'<br />

a'<br />

α<br />

P(XP;YP): 1°stazione<br />

Q(XQ;YQ): 1°stazione<br />

λ<br />

β1<br />

α1 β<br />

⇒ Conoscendo le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> A e B si possono calcolare gli azimut θAB e θBA, oltre alla lunghezza della<br />

<strong>di</strong>stanza topografica AB = a .<br />

RICORDA:<br />

xB<br />

− xA<br />

ϑ AB = arctg<br />

yB<br />

− y A<br />

ϑ BA = ϑAB<br />

g<br />

± 200<br />

xB<br />

− xA<br />

AB = a =<br />

senϑAB<br />

N<br />

+<br />

+<br />

D<br />

+<br />

-<br />

no<br />

+200 g<br />

- - +200 g<br />

- + +400 g<br />

b'<br />

B'<br />

Q'


Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

⇒ COSTRUZIONE DI UNA FIGURA FITTIZIA SIMI<strong>LE</strong> A QUELLA REA<strong>LE</strong><br />

Pensiamo ora <strong>di</strong> assegnare alla <strong>di</strong>stanza PQ (non misurata e pertanto incognita) un valore arbitrario a<br />

piacere in<strong>di</strong>cato con b’, solitamente più piccolo <strong>di</strong> quello vero.<br />

In base a questo valore fittizio <strong>di</strong> PQ si costruisce il quadrilatero A’B’Q’P’ del tutto simile al quadrilatero<br />

reale ABPQ, in quanto ne risulteranno tutti gli angoli uguali.<br />

Si osserva infine che il quadrilatero fittizio simile a quello reale riproduce esattamente lo schema geometrico<br />

del problema della <strong>di</strong>stanza inaccessibile.<br />

⇒ LA SOLUZIONE DEL PROB<strong>LE</strong>MA DI HANSEN E QUINDI RICONDUCIBI<strong>LE</strong> A QUELLO DELLA DISTANZA<br />

INACCESSIBI<strong>LE</strong> A MENO DELLA SCALA, CHE DOVRA’ ESSERE ALLA FINE RIPRISTINATA.<br />

⇒ Teorema dei seni dal triangolo A’P’Q’:<br />

b'<br />

g<br />

sen[<br />

200 − ( +<br />

⇒ Teorema dei seni dal triangolo B’P’Q’:<br />

sen[<br />

200<br />

⇒ Carnot al triangolo A’P’B’:<br />

g<br />

A'P'<br />

=<br />

α β )] senβ<br />

b'<br />

B'P'<br />

=<br />

− ( α + β )] senβ<br />

1<br />

1<br />

1<br />

23<br />

senβ<br />

A 'P'<br />

= b'⋅<br />

sen(<br />

α + β )<br />

senβ1<br />

B 'P'<br />

= b'⋅<br />

sen(<br />

α + β )<br />

A 'B' = a'=<br />

⇒ Dal triangolo A’P’B’ si calcola ϕ:<br />

A'P'<br />

+ B'P'<br />

− 2⋅<br />

A'P'<br />

⋅ B'P'<br />

⋅cos(<br />

α −α<br />

1)<br />

B 'P'<br />

2<br />

⇒ Dal triangolo A’P’B’ si calcola λ:<br />

A 'P'<br />

2<br />

2<br />

2<br />

= A'B'<br />

+ A'P'<br />

− 2⋅<br />

A'B'<br />

⋅ A'P'<br />

⋅cosϕ<br />

2<br />

2<br />

= A'B'<br />

+ B'P'<br />

− 2⋅<br />

A'B'<br />

⋅ B'P'<br />

⋅cosλ<br />

2<br />

2<br />

ϕ =<br />

λ =<br />

1<br />

2<br />

A'B'<br />

+ A'P'<br />

− B'P'<br />

arccos<br />

2⋅<br />

A'B'<br />

⋅ A'P'<br />

2<br />

A'B'<br />

+ B'P'<br />

− A'P'<br />

arccos<br />

2⋅<br />

A'B'<br />

⋅ B'P'<br />

⇒ POICHE’ LA FIGURA FITTIZIA E’ SIMI<strong>LE</strong> ALLA CORRISPONDENTE FIGURA REA<strong>LE</strong>, I RAPPORTI<br />

DEGLI E<strong>LE</strong>MENTI LINEARI OMOLOGHI TRA <strong>LE</strong> DUE FIGURE SONO UGUALI.<br />

Si determina perciò il rapporto <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne tra le due figure (scala) e quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>stanza PQ = b nella<br />

figura reale:<br />

a b<br />

a<br />

a<br />

= da cui: b = b'⋅<br />

dove: è IL FATTORE DI SCALA<br />

a'<br />

b'<br />

a'<br />

a'<br />

Similmente:<br />

a<br />

a<br />

AP = A'P'<br />

⋅ BP = B'P'<br />

⋅<br />

a'<br />

a'<br />

⇒ Coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P passando da A:<br />

X p = X A + AP ⋅ sen(<br />

ϑ AB + ϕ)<br />

Y p = YA<br />

+ AP ⋅cos(<br />

ϑ AB + ϕ)<br />

⇒ Coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P passando da B:<br />

X p = X B + BP ⋅ sen(<br />

ϑBA − λ)<br />

Y p = YB<br />

+ BP ⋅cos(<br />

ϑBA − λ)<br />

⇒ Se necessario, ragionando sui triangoli ormai noti, si possono calcolare le coor<strong>di</strong>nate del punto ausiliario Q<br />

passando sia da A che da B.<br />

1−<br />

K 2<br />

⇒ QUOTE: ∆ PA = QA − QP<br />

QP = QA<br />

− ∆ PA = QA<br />

− ( PA⋅<br />

cot gϕ<br />

PA + hP<br />

− l A + ⋅ PA )<br />

2⋅<br />

R<br />

dove R= 6378400 m ( per la latitu<strong>di</strong>ne ϕ = 45°)<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2


SEMISOMMA:<br />

ϕ + ψ g 1<br />

= 100 − ⋅(<br />

α −α<br />

1)<br />

2 2<br />

ANGOLO AUSILIARIO:<br />

senβ<br />

⋅ sen(<br />

α1<br />

+ β1)<br />

Ω = arctg<br />

senβ<br />

⋅ sen(<br />

α + β )<br />

1<br />

Classe quarta – Docente: Ing. Natta<br />

MODULO I: IL RILIEVO TOPOGRAFICO<br />

UD I1: L’INQUADRAMENTO CON <strong>LE</strong> RETI - <strong>INTERSEZIONI</strong><br />

--------------------------------------------------------------------------<br />

METODO DELL’ANGOLO AUSILIARIO<br />

24<br />

SEMIDIFFERENZA:<br />

ϕ −ψ ϕ + ψ<br />

g<br />

= arctg[<br />

tg ⋅tg(<br />

50 − Ω)]<br />

2<br />

2<br />

Sommando e sottraendo si ha:<br />

ϕ + ψ ϕ −ψ<br />

ϕ + ψ ϕ −<br />

ϕ = +<br />

ψ = −<br />

2 2<br />

2 2<br />

Questo metodo è <strong>di</strong> carattere più generale possibile, per cui può essere applicato a tutti i casi della pratica<br />

operativa.<br />

A<br />

P staz.<br />

θAB<br />

α<br />

ϕ<br />

α1<br />

α<br />

P<br />

staz.<br />

a λ<br />

α1<br />

ϕ<br />

b<br />

b<br />

B<br />

λ<br />

a<br />

A<br />

B<br />

β1<br />

β<br />

staz.<br />

P<br />

staz.<br />

Q<br />

β1<br />

β<br />

α1<br />

α<br />

A<br />

A<br />

ϕ<br />

ϕ<br />

b<br />

Q staz.<br />

a<br />

λ<br />

Q<br />

staz.<br />

β<br />

α<br />

a<br />

b<br />

β<br />

B<br />

β1<br />

P<br />

staz.<br />

α1<br />

β1<br />

Q<br />

staz.<br />

λ<br />

ψ<br />

B

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!