Rette e piani

2. SOLUZIONI 17
Ricavando i parametri s e t e sostituendo si ottiene una equazione cartesiana:
y +z = 2
In alternativa si può osservare che un piano pependicolare a π e π ′ è anche perpendicolare
alla retta loro intersezione. Di conseguenza il piano cercato è perpendicolare al vettore (0,1,1)
(direzionedellarettaintersezione), ovverohaequazionedeltipoy+z = k. Imponendoilpassaggio
per P si ottiene direttamente l’equazione cartesiana:
y +z = 2
Esercizio 2.14.
a) Determinare equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per i punti A = (2,1,3) e
B = (1,2,1).
b) Trovare un’equazione cartesiana del piano π parallelo alla retta r e all’asse z e passante per
l’origine.
Soluzione:
a) −→
AB = (−1,1,−2), quindi
⎧
⎪⎨ x = 2−t
x+y = 3
r : y = 1+t ⇒
⎪⎩ 2x−z = 1
z = 3−2t
b) L’asse delle z ha equazione
⎧
⎪⎨ x = 0
az : y = 0
⎪⎩
z = t
quindi il piano π cercato ha come direzioni (−1,1,−2), (0,0,1):
⎧
⎪⎨ x = −t
π : y = t ⇒ x+y = 0
⎪⎩
z = −2t+s
Esercizio 2.15.
a) Determinare equazioni parametriche e cartesiane del piano π passante per i punti A = (−1,1,1)
e B = (2,0,1) e perpendicolare alla retta r di equazioni cartesiane x = y −1 = 0.
b) Trovare un’equazione cartesiana del piano π ′ parallelo al piano π e passante per il punto C =
(0,1,2).
Soluzione:
a) La retta r ha equazione parametrica
⎧
⎪⎨ x = 0
r : y = 1 ∀t ∈ R
⎪⎩
z = t
Quindi r ha direzione (0,0,1) e un piano ad essa perpendicolare ha equazione del tipo z = k.
Imponendo il passaggio per A (o per B) si ottiene k = 1. Infine il piano π cercato ha equazione
cartesiana z = 1. Una equazione parametrica di π è
⎧
⎪⎨ x = t
π : y = s ∀s,t ∈ R
⎪⎩
z = 1
b) Un piano parallelo al piano π ha equazione del tipo z = k. Imponendo il passaggio per C si
ottiene k = 2. Infine il piano π ′ cercato ha equazione z = 2.