Rette e piani

2. SOLUZIONI 15
Per ricavare l’equazione cartesiana basta eliminare i parametri s e t:
⎧ ⎧
⎪⎨ t = 1−z ⎪⎨ t = 1−z
x = −2+2z +s ⇒ s = x+2−2z ⇒ x−y −z +1 = 0
⎪⎩ ⎪⎩
y = −1+z +s y = −1+z +x+2−2z
b) Un vettore perpendicolare al piano π ha componenti proporzionali ai cofficienti della x,y e z
dell’equazione cartesiana di π, ovvero (1,−1,−1) (o un suo multiplo). Di conseguenza l’equazione
della retta cercata è
⎧
⎪⎨ x = t
y = −t ∀t ∈ R
⎪⎩
z = −t
Esercizio 2.11.
a) Determinare equazioni parametriche ed equazioni cartesiane della retta r dello spazio passante per
i punti A = (2,−1,3) e B = (3,5,4).
b) Stabilire se la retta r interseca il piano di equazione cartesiana 2x−y +z = 0.
Soluzione:
a) Il vettore direzione −→ −→
AB é dato da AB = (−1,−6,−1), di conseguenza l’equazione parametrica di
r é:
⎧
⎪⎨ x = 2−t
r : y = −1−6t ∀t ∈ R
⎪⎩
z = 3−t
Perdeterminarel’equazionecartesianaricaviamoilparametrotperesempiodallaprimaequazione
e lo sostituiamo nelle altre due ottenendo
6x−y −13 = 0
r :
x−z +1 = 0
b) Per calcolare l’eventuale intersezione tra r e il piano assegnato possiamo mettere a sistema
l’equazione cartesiana di r con quella del piano:
⎧
⎪⎨ 6x−y −13 = 0
x−z +1 = 0
⎪⎩
2x−y +z = 0
In questo caso risulta forse più semplice mettere a sistema l’equazione parametrica di r con quella
del piano:
⎧⎪
⎧
x = 2−t x = 2−t
⎨ ⎪⎨
y = −1−6t y = −1−6t
⇒
⇒
⎪⎩
z = 3−t
⎪⎩
z = 3−t
2x−y +z = 0 2(2−t)−(−1−6t)+(3−t) = 0
⎧
x = 2−t
⎪⎨ y = −1−6t
z = 3−t
⎪⎩ t = − 8
⎧
x =
⎪⎨
⇒
⎪⎩
3
14
3
y = 15
z = 17
3
t = − 8
3
14 17
Di conseguenza la retta r interseca il piano nel punto P , 15, .
3 3
Esercizio 2.12. Sia r la retta nello spazio di equazioni cartesiane x+z +1 = 2x+2y −z −3 = 0 e
sia l la retta di equazioni parametriche x = 2t, y = −t, z = 0.