Vettori e coordinate cartesiane - Etas

1
2
Vettori e coordinate cartesiane
Vettori nel piano cartesiano
Abbiamo già incontrato i vettori e li abbiamo usati per indicare
uno spostamento: se un punto si muove nel piano dalla posizione
A alla posizione B, lo spostamento AB può essere indicato con
il vettore v, caratterizzato da direzione, verso e modulo v.
Ricordiamo che se due vettori hanno uguale direzione, verso e
modulo, sono detti equipollenti.
Abbiamo visto poi che si può moltiplicare un vettore per uno
scalare, ottenere un vettore v dalla somma di altri due vettori e
scomporre un vettore lungo due direzioni qualsiasi.
Se si scompone un vettore nelle direzioni degli assi cartesiani
(fig. 1), si ottengono i vettori componenti v e v . x y
I numeri v e v sono le componenti cartesiane del vettore v:
x y
scriviamo v(v ; v ). x y
C’è una relazione tra il fatto che un vettore nel piano cartesiano sia
individuato da una coppia di numeri, le componenti cartesiane, e
che anche un punto P(x ; y ) nel piano cartesiano è determinato da
P P
una coppia di numeri, le sue coordinate cartesiane (fig. 2)?
Se a ogni punto P del piano associamo il vettore OP, che ha coda
nell’origine O e punta in P, vediamo che le coordinate cartesiane
coincidono con le componenti del vettore e il modulo del vet-
2 2 tore v, v = v + v , esprime la distanza di P dall’origine O,
x y
2 2 OP = x + y .
P P
Dunque, una coppia di numeri reali individua nel piano
cartesiano un unico punto P, a cui associamo il vettore OP avente
coda nell’origine e punta in P.
Tuttavia, tutti i vettori tra loro equipollenti hanno le stesse componenti
cartesiane: perciò, dati due numeri reali, si individua una
intera classe di vettori, uno solo dei quali ha coda nell’origine O
e individua il punto P (fig. 3).
Definizione Si dice versore di una retta orientata il vettore che ha modulo
1 ed è diretto e orientato come la retta: in figura 4 il vettore v è il versore
della retta r.
Dipendenza o indipendenza lineare
In un piano cartesiano xOy indichiamo con i e j i versori rispettivamente
dell’asse x e dell’asse y: essi hanno componenti cartesiane
i(1; 0) e j(0; 1) (fig. 5).
Un vettore v è la somma vettoriale dei suoi componenti v , v : x y
v = v + v x y
Figura 5
Strumenti per la fisica
1
© 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
y
y
O
v y
y
1
O
y P
v @y
v @ (3; 2)
1
Figura 4
y
v y
j @
O
i @
v @
v x
v @
v @x
OP
v x
x
Figura 1
x P
x
P(x P; y P)
Figura 2
P(3; 2)
u @ (3; 2)
x
Figura 3
r
¥
v
¥ v = 1
x

Poiché v = v ⋅ i e v = v ⋅ j il vettore v può essere scritto nella forma:
x x y y
v = v ⋅ i + v ⋅ j (5)
x x y
Questa scrittura è associabile per analogia alla combinazione lineare di due equazioni o di
due variabili. Se si moltiplica ciascuna variabile x e y per un coefficiente numerico, e si sommano
i prodotti ottenuti, si ottiene una combinazione lineare di x e y. Per esempio, se i coefficienti
sono 2 e −5, la combinazione lineare a cui danno luogo è espressa da 2x − 5y.
In modo analogo si definisce la combinazione lineare di due vettori.
Definizione Dati i vettori u e v e due coefficienti numerici h e k, il vettore w che si ottiene
nell’espressione w = h ⋅ u + k ⋅ v è detto combinazione lineare di u e v.
Nella (5) vediamo che qualunque vettore può essere scritto come combinazione lineare dei
versori degli assi, e i coefficienti sono le sue stesse componenti.
Come risultato di una combinazione lineare di vettori si può anche ottenere il vettore nullo.
La seguente definizione introduce un criterio di confronto tra i vettori.
Definizione Due vettori si dicono:
linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare, fatta con coefficienti
h e k, non contemporaneamente nulli, che dà il vettore nullo;
linearmente indipendenti se ogni combinazione lineare con coefficienti non nulli è
diversa dal vettore nullo.
ESEMPI
1. Date le componenti cartesiane (2; 4) del vettore a e
(−3; 1) del vettore b (fig. 6), calcoliamo le componenti
del vettore v, somma di a e b.
Possiamo disegnare i vettori a partire da un qualsiasi
y
punto del piano, ma per comodità li trasportiamo in
modo che abbiano la coda nell’origine degli assi.
Sappiamo tracciare graficamente il vettore somma
v
con la regola del parallelogrammo o con il metodo
punto-coda.
b
Per calcolare le componenti cartesiane del vettore
somma scriviamo i vettori a e b come combinazione
lineare dei versori degli assi cartesiani:
1
a = 2i + 4j e b = −3i + 1j
La somma dei due vettori
a + b = (2i + 4j ) + (−3i + j ) = per la proprietà commutativa e distributiva
= (2 − 3) ⋅ i + (4 + 1) ⋅ j = −1⋅ i + 5j
Nell’ultima scrittura vediamo le componenti (−1; 5) del vettore somma v.
2. Dati nel piano i punti A(2; −3) e B(−2; 2) (fig. 7), i vettori OA e OB sono linearmente
dipendenti o indipendenti?
Per rispondere scriviamo ciascuno dei vettori OA, OB come combinazione lineare dei
versori degli assi:
OA = 2 ⋅ i − 3 ⋅ j OB = −2 ⋅ i + 2 ⋅ j
2
© 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
a
x
Figura 6

Facciamo una generica combinazione lineare dei due
vettori:
h ⋅ OA + k ⋅ OB = h(2 ⋅ i − 3 ⋅ j ) + k(−2 ⋅ i + 2 ⋅ j )
e riscriviamola come un nuovo vettore:
h ⋅ OA + k ⋅ OB = (2h − 2k)i + (−3h + 2k)j
che ha componenti v = (2h − 2k) e v = (−3h + 2k)
x y
Cerchiamo i valori di h e k che rendono uguali a zero le
A
componenti del vettore combinazione lineare; li ottenia-
2h − 2k = 0
mo risolvendo il sistema: {
Figura 7
− 3h + 2k = 0
Poiché l’unica coppia di valori che soddisfa il sistema è la coppia (0; 0), possiamo concludere
che OA e OB sono linearmente indipendenti.
3. Sono dati nel piano cartesiano i vettori a(− 2; 3) e
b(1; −1,5) (fig. 8). Verifichiamo che sono linearmente
dipendenti.
Come nell’esercizio precedente scriviamo una combinazione
lineare dei due vettori:
h(−2 ⋅ i + 3 ⋅ j ) + k(1 ⋅ i − 1,5 ⋅ j ) Æ
Æ (−2h + k)i + (3h − 1,5k ⋅ j
− + =
Il sistema corrispondente è: { − =
Il sistema è indeterminato e le sue soluzioni sono infinite: tutte le coppie del tipo (h; 2h).
Esiste quindi una combinazione lineare dei due vettori con i coefficienti non nulli che
dà il vettore nullo, per esempio, prendendo h = 1 e k = 2, si ottiene:
a + 2b = (−2 + 2)i + (3 − 3)j = 0
I coefficienti non sono nulli, ma la combinazione lineare è nulla. I vettori sono quindi
linearmente dipendenti; come si vede nella figura 19, essi hanno la stessa direzione.
2 0
a
0,5
b
h k
3h 1, 5k 0
1
x
Figura 8
I risultati ottenuti nell’ultimo esempio suggeriscono una relazione tra dipendenza lineare e
parallelismo delle direzioni dei vettori. Indaghiamo tale relazione, generalizzando.
Esprimiamo innanzitutto la relazione tra le componenti che caratterizza due vettori di uguale
direzione.
Per le rette, abbiamo visto che la condizione perché due rette siano parallele è che abbiano
i coefficienti angolari uguali, cioè, se sono in forma implicita, che i coefficienti di x e y
siano in proporzione.
In simboli, le rette r: ax + by = c e s: a ′x + b′y + c′ risultano parallele se
a b
, cioè se:
a′
b
ab′ =a ′b Æ ab′ −a ′b = 0
L’ultima espressione prende il nome di determinante dei quattro coefficienti a, a ′, b, b′,
che si scrivono abitualmente nella forma di tabella 2 × 2, come appaiono nel sistema delle
due rette:
a b
a′ b′
= ′
3
© 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
B
b
y
y
1
O
1
a
x

Con i simboli che abbiamo introdotto nel metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi,
possiamo scrivere la condizione di parallelismo tra rette facendo riferimento all’annullamento
del determinante dei coefficienti delle rette:
Allo stesso modo, due vettori a(a x ; a y ) e b(b x ; b y ) hanno la stessa direzione se formiamo con
le loro componenti cartesiane una analoga tabella 2 × 2, di cui si annulla il determinante:
Si può dimostrare che:
due vettori di ugual direzione sono sempre linearmente dipendenti e viceversa, se due vettori
sono linearmente dipendenti, hanno uguale direzione.
ESEMPI
a b
a′ b′
a a
x y
b b
x y
1. Verifichiamo che i vettori a(3; 2) e b(− 6; − 4) sono linearmente dipendenti.
Scriviamo il determinante delle loro componenti:
3 2
−6 −4
= ab′ − a′ b = 0
= ab − ab = 0
x y y x
= −12 −( − 12) = 0
Dal momento che il determinante risulta nullo, allora i vettori hanno la stessa direzione,
perciò sono linearmente dipendenti. Se, infatti, scriviamo una loro combinazione lineare:
c = (3i + 2j ) + k(−6i − 4j )
vediamo che risulta c = 0 per k = . Osservando le componenti dei due vettori, vediamo
che quelle del vettore b sono ottenute da quelle di a moltiplicandole per il fattore –2.
3
2
2. Generalizziamo e consideriamo due vettori aventi la stessa direzione, per esempio:
a = a ⋅ i − 2a ⋅ j e b = −2a ⋅ i + 4a ⋅ j
x y x y
Una loro combinazione lineare con i coefficienti non nulli è: 2 ⋅ a + b. Calcolando la
somma otteniamo: (2a ⋅ i − 4a ⋅ j ) + (2a ⋅ i + 4a ⋅ j ) = (2 − 2)a ⋅ i + (−4 + 4)a ⋅ j = 0
x y x y x y
Abbiamo quindi una combinazione lineare nulla, con i coefficienti diversi da zero: i due
vettori sono quindi linearmente dipendenti, per qualsiasi valore di a e a . x y
3. Verifichiamo se le rette r: −2x + y = 1 e s: x − 5y = 4
sono parallele.
I coefficienti −2, 1, 1, −5, non sono in proporzione:
perciò le rette non sono parallele. Il sistema
delle loro equazioni:
− + =
{ − =
ha soluzione P(−1; −1), come si vede in figura 9.
2 1
−2 ≠
1
1 −5
x y
x 5y 4
,
4 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
P
y
1
1
-2x + y = 1
x - 5y = 4
x
Figura 9

3
Prodotto scalare e prodotto vettoriale
Definiamo ora due nuove operazioni con i vettori, relative
al prodotto di due vettori.
1. Il prodotto scalare di due vettori a e b è un numero,
dato dal prodotto dei moduli dei due vettori, moltiplicati
per il coseno dell’angolo α compreso tra di essi.
In simboli, si indica con ×:
ESEMPIO
1. Sapendo che i vettori a e b hanno modulo a = 10 e b = 8, e che l’angolo tra essi compreso
misura 30°, calcoliamo il prodotto scalare a × b.
Il prodotto scalare è a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos 30° = 10 ⋅ 8
Osservazioni
a × b = a ⋅ b ◊ cos a
1. Il prodotto scalare di due vettori risulta uguale a zero, a × b = 0:
se almeno uno dei vettori è il vettore nullo;
se cos α =0, cioè se α =90°: questo accade se i due vettori sono tra loro perpendicolari.
In particolare, nel piano cartesiano vale i × j = 0 perché i versori degli assi sono perpendicolari.
2. Il prodotto scalare è semplicemente il prodotto dei moduli, a × b = a ⋅ b, quando
cos α =1, cioè se α =0°, e i vettori sono paralleli.
In particolare i × i = j × j = 1.
Calcoliamo ora il prodotto scalare a partire dalle componenti cartesiane dei vettori a(a ; a ) x y
e b(b ; b ) . Scriviamo:
x y
a × b = (a ⋅ i + a ⋅ j ) × (b ⋅ i + b ⋅ j )
x y x y
Applichiamo la proprietà distributiva:
(a x ⋅ i + a y ⋅ j ) × (b x ⋅ i + b y ⋅ j ) = a x b x i × i + a x b x i × j + a x b x i × j + a x b x j × j
Poiché i × j = 0 e i × i = j × j = 1, abbiamo infine:
a × b = a x b x + a y b y
A parole: il prodotto scalare di due vettori è un numero, dato dalla somma dei prodotti delle
componenti lungo lo stesso asse dei due vettori.
5 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
3
2
= 40 3.
b
a
b cosa
a
Figura 10
(6)

ESEMPI
1. Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori a(3; 2) e b(1; 5)
sapendo che l’angolo formato dalle direzioni dei due vettori
è di 45° in figura 11.
Se applichiamo la (6), è: a × b = 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 = 13.
Se applichiamo la definizione di prodotto scalare abbiamo:
2 2 2 2
ab cos 45∞ = 3 + 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ cos 45∞ = 13 ⋅ 26 ⋅
2
= 13
2
2. Calcoliamo il prodotto scalare tra i vettori a(3; 0) e
b(−3; 3) (fig. 12).
Usando le componenti dei vettori cioè la (1), si ottiene:
a × b = 3 ⋅ (−3) + 0 ⋅ 3 = −9
Questo prodotto risulta negativo, vediamo perché. Dal
b
1 135°
1 a x
momento che il prodotto scalare si ottiene anche moltiplicando
i moduli di a e b per il coseno dell’angolo compreso
tra i due vettori, possiamo scrivere a ⋅ b ⋅ cos α = −9.
Figura 12
Dal risultato negativo, poiché i moduli sono sempre numeri non negativi, deduciamo che
è cos α 0 f. a ↔ b = a
In ciascuno dei casi, cosa puoi dedurre?
2. Dimostra in base alla definizione che il prodotto scalare è un’operazione commutativa, ma
non è associativa.
6 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
2
2
Figura 13
⎞
9
⎠
⎟ = −
b
y
b
y
1
y
1
O
a
x
Figura 11
1
a
x

2. Il prodotto vettoriale di due vettori v e w è invece un vettore t, e si indica con ∧:
t = v ∧ w
Esso però non è nello stesso piano dei due vettori v e w.
Per comprendere come è fatto, dobbiamo darne modulo, direzione e verso:
il modulo di t è dato da t = vw ⋅ sen α;
la direzione è perpendicolare al piano che contiene i vettori v e w;
il verso è indicato dall’avanzamento di una vite destrorsa, se si ruota dal primo al secondo
vettore: è verso l’alto se la rotazione avviene in senso antiorario, è verso il
basso se avviene in senso orario (regola della mano destra) (fig. 14.a, b).
ESEMPIO
v Ÿ w
v
Figura 14.a
Dalla definizione di prodotto vettoriale deduciamo che esso non è commutativo: infatti, il
vettore v ∧ w ha la stessa direzione e modulo del vettore w ∧ v, ma ha verso opposto:
v ∧ w = −w ∧ v
1. Sapendo che i vettori v e w in figura 15 hanno modulo v = 8
e w = 10, e che l’angolo tra essi compreso misura 30°, descrivere
il prodotto vettoriale v ∧ w.
Il prodotto vettoriale è un vettore t, avente modulo:
t = 10 ⋅8⋅ 30 = 10 ⋅8⋅ =
1
sen ∞
40
2
direzione perpendicolare al piano di v e w, verso determinato
dalla regola della mano destra.
w
La trattazione generale dell’operazione di prodotto vettoriale sarà ripresa nel secondo biennio
liceale; ora esaminiamone un caso particolare, considerando due vettori che appartengono al
piano xOy, di componenti cartesiane v e v per il vettore v, e w , w per il vettore w.
x y x y
Il modulo del vettore t = v ∧ w è dato dal valore assoluto del determinante delle componenti:
v v
x y
t = = ⏐vw − vw ⏐
x y y x
w w
x y
Figura 14.b
Dalla definizione possiamo dedurre che per due vettori che appartengono al piano xOy:
il prodotto vettoriale è un vettore che ha solo la componente verticale lungo l’asse z;
se i vettori v e w sono perpendicolari, il modulo del prodotto vettoriale è il prodotto dei
moduli dei due vettori;
se v e w sono linearmente dipendenti, il loro prodotto vettoriale è nullo.
7 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
w Ÿ v
v
30°
w
b
a
Figura 15

Osservazione
Se il prodotto vettoriale di due vettori non nulli è nullo, allora i vettori da cui proviene il
prodotto vettoriale hanno la stessa direzione. Questo discende dal calcolo del modulo del
prodotto vettoriale: se il determinante delle componenti è nullo, vale la condizione di parallelismo
tra i vettori.
ESEMPI
1. Calcoliamo il prodotto vettoriale di v = −2i e w = 2 3 j.
I due vettori sono perpendicolari, il primo orizzontale e il secondo verticale: il loro prodotto
vettoriale v ∧ w è un vettore perpendicolare al piano xOy, con modulo uguale a
4 3, orientato verso il basso.
2. Mostriamo geometricamente che il modulo del prodotto
vettoriale è uguale all’area del parallelogrammo
che ha per lati i due vettori (fig. 16).
w wsena
Disegniamo due vettori qualsiasi v e w e consideriamo
il modulo del prodotto vettoriale v ⋅ w sen α
a
come prodotto di v per w sen α. Se disegniamo il
v
parallelogrammo, vediamo che v è la base e il prodotto
w sen α è l’altezza del parallelogrammo: il
Figura 16
modulo del prodotto vettoriale coincide quindi con
l’area del parallelogrammo.
Se i vettori sono paralleli, α vale 0° o 180°: il parallelogrammo è degenere e l’area è
nulla.
8 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

ESERCIZI
Vettori e coordinate cartesiane
1
2
3
4
5
6
7
8
Vero o falso?
a. Il prodotto scalare tra due vettori a e b
che formano tra loro un angolo α
è un vettore avente modulo uguale
a a ⋅ b ⋅ cos α.
V
b. Se due vettori a e b hanno verso
opposto, il loro prodotto scalare
è uguale a –a ⋅ b.
V
c. Il prodotto scalare tra due vettori
a e b è nullo solo se uno dei due
vettori è nullo.
V
d. Il prodotto di due vettori equipollenti
è uno scalare uguale al prodotto
dei moduli dei due vettori.
Calcolare il modulo dei vettori: a(−3; 4) e
b(5; −12). [5; 13]
Calcolare il prodotto scalare dei vettori:
a(−2; −1) e b(6; 3). [–15]
Determinare il valore di k in modo che i vettori
a(5; −4) e b(2; k − 1) abbiano prodotto
scalare nullo. [3,5]
Disegnare tre vettori linearmente indipendenti
di modulo 5.
Dati i vettori a, b e c in figura, indicare quali
sono linearmente dipendenti.
y
a
1
b
1
[S]
Calcolare il prodotto scalare dei vettori a e b
sapendo che a = 2 3, b = 3, α = 120∞.
⎡⎣ −3
3 ⎤⎦ Sapendo che il prodotto scalare
a × b = 10, a = 3 2 e α = 45∞
calcolare il modulo del vettore b.
⎡10
⎤
⎣⎢ 3 ⎦⎥
c
x
V
F
F
F
F
Calcolare il prodotto scalare dei vettori a e b
in figura.
y
1
x
Indicare se le seguenti affermazioni sono vere
o false:
a. a × b = −8
V F
b. a × b = b × a
c. I due vettori sono perpendicolari:
V F
il loro prodotto scalare è nullo.
d. I vettori in figura sono linearmente
V F
dipendenti.
V F
Sapendo che il lavoro L, misurato in joule
(J), compiuto da una forza F applicata a un
corpo che subisce uno spostamento s è il
prodotto scalare tra F e s, rispondere alle
seguenti domande:
a. qual è il lavoro compiuto da una forza che
ha modulo F = 20 N, per trascinare di 10 m
una valigia dotata di ruote, parallelamente
al suolo?
b. qual è il lavoro compiuto da una forza di
10 N per sollevare un oggetto da terra fino
a 2 m? [a. 200 J; b. 0]
Il prodotto vettoriale è un prodotto tra:
a due vettori con risultato uguale a un vettore
b un vettore e uno scalare con risultato uguale
a un vettore
c due vettori con risultato uguale a uno scalare
d un vettore e uno scalare con risultato uguale
a uno scalare
Vero o falso?
a. Il prodotto vettoriale gode della
proprietà commutativa.
b. Il prodotto vettoriale di due vettori
perpendicolari è nullo.
c. Il modulo del vettore prodotto
vettoriale può essere negativo.
d. Il prodotto di due vettori
equipollenti è nullo.
Nel piano cartesiano sono dati due vettori
v(3; –2) e w(2; –1). Calcolare il modulo del
prodotto vettoriale di v e w. [1]
9 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
9
10
11
12
13
1
a b
V
V
V
V
F
F
F
F

14 Nel piano cartesiano sono dati i vettori 18
Sono dati due vettori v 2; 1 e w(2; k).
v(–5; 0) e w(0; 4) . Descrivere il vettore Determinare il valore di k in modo che il
t = w ∧ v. prodotto vettoriale tra v e w abbia modu-
[t = 20; direzione perpendicolare
lo 10.
al piano di v e w; verso il basso]
⎡
⎣6
2, −4
2 ⎤
⎦
15
16
17
Dati i vettori v e w in figura, descrivere il
vettore t = w ∧ v.
y
v
1
w
1 x
[t = 6; direzione perpendicolare
al piano di v e w; verso l’alto]
Dati i vettori v e w in figura, siano t e u i vettori
t = w ∧ v e u = w ∧ v. Indicare se è vero
o falso che:
a. il modulo di t vale –8 e quello
di u vale +8.
V F
b. t e u hanno lo stesso modulo. V F
c. t e u hanno la stessa direzione. V F
d. t e u hanno lo stesso verso.
y
V F
1
v
1
w
x
L’angolo compreso tra v e w è di 45° e il
modulo di v è v = 4. Qual è il valore di w se
il modulo di t = w ∧ v, vale 8?
w =
⎡⎣
⎤ ⎦
2 2
I due vettori v e w hanno modulo v = 12 e
3
w = e il prodotto vettoriale di v e w ha
6
modulo 3: qual è l’ampiezza dell’angolo
compreso tra i due vettori? [60°, 120°]
Il momento M di una forza F applicata a un
corpo in un punto P che dista r da un punto
vincolato O, è il prodotto vettoriale tra F e
r. Possiamo dire allora che M ha direzione
parallela a F?
[S]
Per entrare in un negozio si
deve passare in un tornello,
costituito da un’asta di metallo
orizzontale vincolata in
un estremo, che permette il
passaggio di una sola persona per volta. Se
si applica sull’estremo libero una forza di
3 N in orizzontale, in un punto che dista
80 cm dal centro di rotazione del tornello,
quanto vale il momento della forza?
[2,4 N ⋅ m]
Per far ruotare una girandola di carta che ha
raggio 12 cm, si applica una forza di 0,5 N
a un estremo, perpendicolarmente al raggio:
quanto vale il momento della forza?
[0,06 N ⋅ m]
10 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce
19
20
21
22
( )