le slides della lezione di lunedì 18 ottobre 2010

Il piano 

Equazioni cartesiane e parametriche 

Posizioni reciproche 

Equazione parametrica 

Descrive le coordinate dei 

punti sul piano in termini di 

due parametri 

⎧ 

⎨ x = 2 + α − β 

π : y = −1 + α − β 

⎩ 

z = 1 + α + β 

x, y, z dipendono linearmente 

dai parametri; 

π 0= 

@ 2 

1 00 

−1A 

+ span @@ 

1 

1 

1 0 

1A 

, @ 

1 

−1 

11 

−1AA 

1 

Sintesi 

Passaggio da parametriche a cartesiane 

Passaggio da cartesiane a parametriche



Sintesi 





Sintesi 





Sintesi 



Il piano 





punti sul piano in termini di 

due parametri 

⎧ 

⎨ x = 2 + α − β 

π : y = −1 + α − β 

⎩ 

z = 1 + α + β 


dai parametri; 

π 0= 

@ 2 

1 00 

−1A 

+ span @@ 

1 

1 

1 0 

1A 

, @ 

1 

−1 

11 

−1AA 

1 

Sintesi 


Passaggio da cartesiane a parametriche 

E quazione cartesiana 

Descrive il piano π come 

insieme di soluzione di 

un’equazione lineare 

x − y = 3 

0 1 

1 

Il vettore n = @−1A 

è normale 

0 

al piano.



Sintesi 



La retta 





punti sulla retta in termini di un 

parametro ⎧ reale 

⎨ x = 2 + α 

r : y = −1 + α 

⎩ 

z = 1 + α 


dal parametro; 0 1 0 1 

2 

1 

r = @−1A 

+ span @1A. 

1 

1 

Sintesi 





Sintesi 



La retta 





punti sulla retta in termini di un 

parametro ⎧ reale 

⎨ x = 2 + α 

r : y = −1 + α 

⎩ 

z = 1 + α 


dal parametro; 

0 1 0 1 

2 

1 

r = @−1A 

+ span @1A. 

1 

1 

Sintesi 



Equazione cartesiana 

Descrive la retta r = insieme di 

soluzioni di un sistema lineare 

di 2 eq. in 3 inc. 

x − y = 3 

x + y + z = 2 

La retta r è intersezione del 

piano di eq. x − y = 3 e del 

piano di eq. x + y + z = 2. 

0 1 0 1 

1 1 

I vettori @−1A 

e @1A 

sono 

0 1 

normali alla retta



Sintesi 



Problemi 



Sintesi 



1 Data un’equazione parametrica di un piano/retta 

determinarne un’equazione cartesiana. 

2 Data un’equazione cartesiana di un piano/retta 

determinarne un’equazione parametrica.



Sintesi 



Da parametriche a cartesiane per la retta 

Il 

⎧ 

metodo della cancellazione dei parametri 

⎨ x = 2 + 2α 

y = 1 + 2α 

⎩ 

z = −1 + 3α



Sintesi 




Il 

⎧ 

metodo della cancellazione 

⎧ 

dei parametri 

⎨ x = 2 + 2α ⎨ 2α = x − 2 

y = 1 + 2α 2α = y − 1 

⎩ 

⎩ 

z = −1 + 3α 3α = z + 1



Sintesi 




Il 

⎧ 


⎧ 

dei 

⎧ 

parametri 

⎨ x = 2 + 2α ⎨ 2α = x − 2 ⎨ α = 

y = 1 + 2α 2α = y − 1 

⎩ 

⎩ 

⎩ 

z = −1 + 3α 3α = z + 1 

x 

2 − 1 

α = y 1 

2 − 2 . 

α = z 

3 

+ 1 

3



Sintesi 




Il 

⎧ 


⎧ 

dei 

⎧ 

parametri 

⎨ x = 2 + 2α ⎨ 2α = x − 2 ⎨ α = 

y = 1 + 2α 2α = y − 1 

⎩ 

⎩ 

⎩ 

z = −1 + 3α 3α = z + 1 

x 

2 − 1 

α = y 1 

2 − 2 

α = z 

. 

1 

3 + 3 

Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano le 

equazioni 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x y 1 

2 − 1 = 2 − 2 

x z 1 

2 − 1 = 3 + 3 

y 

2 

− 1 

2 

= z 

3 

+ 1 

3



Sintesi 




Il 

⎧ 


⎧ 

dei parametri 

⎧ 

⎨ x = 2 + 2α ⎨ 2α = x − 2 ⎨ α = 

y = 1 + 2α 2α = y − 1 

⎩ 

⎩ 

⎩ 

z = −1 + 3α 3α = z + 1 

x 

2 − 1 

α = y 1 

2 − 2 

α = z 

. 

1 

3 + 3 


equazioni 

x y 1 

− 1 = − 

2 

x 

2 

2 

− 1 = z 

3 

2 

+ 1 

3



Sintesi 



Da parametriche a cartesiane: caso retta 

Il 

⎧ 

metodo di cancellazione 

⎧ 

dei parametri 

⎧ 

⎨ x = 2 + 2α ⎨ 2α = x − 2 ⎨ α = 

y = 1 + 2α 2α = y − 1 

⎩ 

⎩ 

⎩ 

z = −1 + 3α 3α = z + 1 

x 

2 − 1 

α = y 1 

2 − 2 

α = z 

. 

1 

3 + 3 


equazioni 

x y 1 

− 1 = − 

2 

x 

2 

2 

− 1 = z 

3 

2 

+ 1 

3



Sintesi 




Il 

⎧ 


⎧ 

dei parametri 

⎧ 

⎨ x = 2 + 2α ⎨ 2α = x − 2 ⎨ α = 

y = 1 + 2α 2α = y − 1 

⎩ 

⎩ 

⎩ 

z = −1 + 3α 3α = z + 1 

x 

2 − 1 

α = y 1 

2 − 2 

α = z 

. 

1 

3 + 3 


equazioni 

x y 1 x y 1 

− 1 = − − = 1 − 

2 

x 

2 

2 

− 1 = z 

3 

2 

+ 1 

3 

2 

x 

2 

2 

− z 

3 

2 

= 1 + 1 

3



Sintesi 




Il 

⎧ 


⎧ 

dei parametri 

⎧ 

⎨ x = 2 + 2α ⎨ 2α = x − 2 ⎨ α = 

y = 1 + 2α 2α = y − 1 

⎩ 

⎩ 

⎩ 

z = −1 + 3α 3α = z + 1 

x 

2 − 1 

α = y 1 

2 − 2 

α = z 

. 

1 

3 + 3 


equazioni 

x y 1 

2 − 1 = 2 − 2 

x y 1 

2 − 2 = 1 − 2 

x z 1 

2 − 3 = 1 + 3 

 

x − y = 1 

3x − 2z = 8 

x 

2 

− 1 = z 

3 

+ 1 

3



Sintesi 




Il 

⎧ 


⎧ 

dei parametri 

⎧ 

⎨ x = 2 + 2α ⎨ 2α = x − 2 ⎨ α = 

y = 1 + 2α 2α = y − 1 

⎩ 

⎩ 

⎩ 

z = −1 + 3α 3α = z + 1 

x 

2 − 1 

α = y 1 

2 − 2 

α = z 

. 

1 

3 + 3 


equazioni 

x y 1 

2 − 1 = 2 − 2 

x y 1 

2 − 2 = 1 − 2 

x z 1 

2 − 3 = 1 + 3 

 

x − y = 1 

3x − 2z = 8 

x 

2 

− 1 = z 

3 

+ 1 

3



Sintesi 



Da parametriche a cartesiane: caso piano 

Il 8metodo 

di cancellazione dei parametri 

< x = 2 + 2α + β 

y = 1 + α + β 

: 

z = 4 + α + 4β



Sintesi 




Il 8metodo 

di cancellazione 8 dei parametri 

< x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α 

: 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

: 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β



Sintesi 




Il 8metodo 

di cancellazione 8 dei parametri 8 

< x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α 

: 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

: 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

: 

y = 1 + α + (x − 2 − 2α) 

z = 4 + α + 4β



Sintesi 




Il 8metodo 


< x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α 

: 

8 

< 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

β = x − 2 − 2α 

: 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

: 

y = 1 + α + (x − 2 − 2α) 

z = 4 + α + 4β 

: 

y = x − 1 − α 

z = 4 + α + 4β



Sintesi 




Il 8metodo 


< x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α 

: 

8 

< 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

β = x − 2 − 2α 

: 

8 

< 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

α = x − y − 1 

: 

y = 1 + α + (x − 2 − 2α) 

z = 4 + α + 4β 

: 

y = x − 1 − α 

z = 4 + α + 4β 

: 

β = x − 2 − 2(x − y − 1) 

z = 4 + α + 4β



Sintesi 




Il 8metodo 


< x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α 

: 

8 

< 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

β = x − 2 − 2α 

: 

8 

< 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

α = x − y − 1 

: 

y = 1 + α + (x − 2 − 2α) 

z = 4 + α + 4β 

8 

< α = y − x + 1 

: 

y = x − 1 − α 

z = 4 + α + 4β 

: 

β = x − 2 − 2(x − y − 1) 

z = 4 + α + 4β 

: 

β = −x + 2y 

z = 4 + α + 4β



Sintesi 




Il 8metodo 


< x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α 

: 

8 

< 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

β = x − 2 − 2α 

: 

8 

< 

y = 1 + α + β 

z = 4 + α + 4β 

α = x − y − 1 

: 

y = 1 + α + (x − 2 − 2α) 

z = 4 + α + 4β 

8 

< α = y − x + 1 

: 

y = x − 1 − α 

z = 4 + α + 4β 

: 

β = x − 2 − 2(x − y − 1) 

z = 4 + α + 4β 

: 

β = −x + 2y 

z = 4 + α + 4β 

Deduciamo dunque che 

z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3 − 3x + 7y .



Alcuni casi particolari 

Sintesi 



⎧ 

⎨ x = 3 

1) y = 2 + 3α 

⎩ 

z = 1 − α 

Ricavo 

 

i parametri dalla seconda e terza equazione 

y 2 α = 3 − 3 

y 2 

e deduco 

α = 1 − z 3 − 3 = 1 − z ovvero y + 3z = 5. 

L’altra equazione?




Sintesi 



⎧ 

⎨ x = 3 

1) y = 2 + 3α 

⎩ 

z = 1 − α 

Ricavo 

 

i parametri dalla seconda e terza equazione 

y 2 α = 3 − 3 

y 2 

e deduco 

α = 1 − z 3 − 3 = 1 − z ovvero y + 3z = 5. 

L’altra equazione?x = 3. 

x = 3 

Equazione cartesiana: 

y + 3z = 5 .




⎧ 

⎨ x = 7 

2) y = 3 

⎩ 

z = 3 + 2α 


Sintesi 






⎧ 

⎨ x = 7 

2) y = 3 

⎩ 

z = 3 + 2α 

 

x = 7 


y = 3 

Sintesi 






⎧ 

⎨ x = 7 

2) y = 3 

⎩ 

z = 3 + 2α 

 

x = 7 


y = 3 

⎧ 

⎨ x = 12 

3) y = 2 + 3α + β 

⎩ 

z = 1 − α − 2β 


Sintesi 






⎧ 

⎨ x = 7 

2) y = 3 

⎩ 

z = 3 + 2α 

 

x = 7 


y = 3 

⎧ 

⎨ x = 12 

3) y = 2 + 3α + β 

⎩ 

z = 1 − α − 2β 

Equazione cartesiana: x = 12. 

Sintesi 






Sintesi 



⎧ 

⎨ x = 7 + 2α + β 

4) y = 3 + 4α + 2β 

⎩ 

z = 3 + 2α 

Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7 − 2α. 

Sostituendo nella seconda equazione: 

y = 3 + 4α + 2(x − 7 − 2α) 

Deduco che y = −11 + 2x.




Sintesi 



⎧ 

⎨ x = 7 + 2α + β 

4) y = 3 + 4α + 2β 

⎩ 

z = 3 + 2α 



y = 3 + 4α + 2(x − 7 − 2α) 

Deduco che y = −11 + 2x. Il parametro α è sparito!




Sintesi 



⎧ 

⎨ x = 7 + 2α + β 

4) y = 3 + 4α + 2β 

⎩ 

z = 3 + 2α 



y = 3 + 4α + 2(x − 7 − 2α) 

Deduco che y = −11 + 2x. Il parametro α è sparito! 

Equazione cartesiana: y=-11+2x.



Procedimento per il piano 

Sintesi 



Consideriamo il piano π di equazione 3x + 2y − z = 2.



Procedimento per il piano 

Sintesi 



Consideriamo il piano π di equazione 3x + 2y − z = 2. 

Possiamo riscrivere l’equazione nella forma seguente 

z = 3x + 2y − 2 

La soluzione generale di tale equazione è 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x = α 

y = β 

z = 3α + 2β − 2



Procedimento per la retta 

x + y + z = 1 

x + 2y − z = 2 

Sintesi 






x + y + z = 1 

x + 2y − z = 2 

x + y = 1 − z 

x + 2y = 2 + z 

Sintesi 






 

x + y + z = 1 

 

x + y = 1 − z 

x + 2y − z = 2 

 

x = (1 − z) − y 

x + 2y = 2 + z 

(1 − z) − y + 2y = 2 + z 

Sintesi 






Sintesi 



 

x + y + z = 1 x + y = 1 − z 

x + 2y − z = 2 x + 2y = 2 + z 

 

x = (1 − z) − y 

(1 − z) − y + 2y = 2 + z 

 

y = 2 + z − (1 − z) = 1 + 2z 

x = (1 − z) − y = (1 − z) − (1 + 2z) = −3z 

 

y = 1 + 2z 

Dunque in definitiva si ottiene il sistema 

x = −3z 

soluzione generale è 

⎧ 

⎨ x = −3α 

y = 1 + 2α . 

⎩ 

z = α 

la cui




Sintesi 



1) x + z = 3. Ricavo z = 3 − x, la soluzione generale è 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x = α 

z = 3 − α 

y =




Sintesi 



1) x + z = 3. Ricavo z = 3 − x, la soluzione generale è 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x = α 

z = 3 − α 

y =β




2) 

x + y − z = 1 

x + y + 2z = 0 

Procedendo come prima otteniamo 

Sintesi 



x + y = 1 + z 

x + y = −2z 

Osserviamo che affinché tale sistema abbia soluzione bisogna 

che 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3.




2) 

x + y − z = 1 

x + y + 2z = 0 


Sintesi 



x + y = 1 + z 

x + y = −2z 


che 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3. 

In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistema 

nelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni se 

z = −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3.




2) 

x + y − z = 1 

x + y + 2z = 0 


Sintesi 



x + y = 1 + z 

x + y = −2z 


che 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3. 

In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistema 

nelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni se 

z = −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3. 

Come procediamo in questo caso?




2) 

x + y − z = 1 

x + y + 2z = 0 

Sintesi 



Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y: 

x − z = 1 − y 

x + 2z = −y 

Dalla prima equazione ricaviamo x = (1 − y) + z.




2) 

x + y − z = 1 

x + y + 2z = 0 

Sintesi 




x − z = 1 − y 

x + 2z = −y 

Dalla prima equazione ricaviamo x = (1 − y) + z. 

Sostituendo nella seconda 1 − y + z + 2z = −y da cui 

ricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.




2) 

x + y − z = 1 

x + y + 2z = 0 

Sintesi 




x − z = 1 − y 

x + 2z = −y 



ricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3. 

Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3 − y. 

Ovvero il sistema diventa 

x = 2/3 − y 

z = −1/3




2) 

x + y − z = 1 

x + y + 2z = 0 

Sintesi 




x − z = 1 − y 

x + 2z = −y 



ricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3. 

Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3 − y. 

Ovvero il sistema diventa⎧ 

⎨ 

x = 2/3 − y 

⇒ 

z = −1/3 

⎩ 

x = 2/3 − α 

y = α 

z = −1/3



Due piani possono essere: 

coincidenti; 

paralleli; 

incidenti. 

Posizioni reciproche tra piani 

Posizioni reciproche retta/piano 

Posizione reciproche tra rette



Due piani possono essere: 

coincidenti; 

paralleli; 

incidenti. 








Posizione reciproche tra rette 

Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani 

Consideriamo i due piani π e π ′ di equazione cartesiana 

rispettivamente 

x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.









x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6. 

Ogni soluzione della prima equazione è anche soluzione della 

seconda equazione e viceversa.









x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6. 


seconda equazione e viceversa. π = π ′ .









x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6. 


seconda equazione e viceversa. π = π ′ . 

Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π ′ sono 

x + y + z = 3 x + y + z = 5.









x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6. 




x + y + z = 3 x + y + z = 5. 

In questo caso non ci sono punti comuni a π e π ′ .









x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6. 




x + y + z = 3 x + y + z = 5. 

In questo caso non ci sono punti comuni a π e π ′ .π π ′ .









x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6. 




x + y + z = 3 x + y + z = 5. 

In questo caso non ci sono punti comuni a π e π ′ .π π ′ . 

Consideriamo infine il caso in cui le equazioni siano 

x + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.









x + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6. 




x + y + z = 3 x + y + z = 5. 

In questo caso non ci sono punti comuni a π e π ′ .π π ′ . 

Consideriamo infine il caso in cui le equazioni siano 

x + y + z = 3 

⎛ ⎞ 

1 

⎛ 

2x 

⎞ 

+ y + 7z = 6. 

2 

I vettori normali ⎝1⎠, 

⎝1⎠ 

sono indipendenti. π e π 

1 7 

′ sono 

incidenti.

Esempi 



x + y + z = 3 x + 2y + z = 3: 




Esempi 






x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidenti

Esempi 






x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidenti 

x + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:

Esempi 







x + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallele

Esempi 







x + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallele 

x + 3y = 2 y + 3z = 2:

Esempi 








x + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti

Esempi 








x + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti 

2x + 1 

3y = 2 1 3x + 2y = 3:

Esempi 









2x + 1 

1 

3y = 2 3x + 2y = 3:coincidenti

Esempi 









2x + 1 

3y = 2 

√ 

3x + z = 1 

1 3x + 2y = 3:coincidenti 

√ 

3x + 3z = 1:

Esempi 









2x + 1 

3y = 2 

√ 

3x + z = 1 

1 3x + 2y = 3:coincidenti 

√ 

3x + 3z = 1:paralleli.



Procedura generale 




Supponiamo di avere due piani π e π ′ di equazioni 


ax + by + cz = d a ′ x + b ′ y + c ′ z = d ′ 

⎛ ⎞ ⎛ 

a a 

I vettori ⎝b⎠ 

e ⎝ 

c 

′ 

b ′ 

c ′ 

⎞ 

⎠ sono uno multiplo dell’altro?










⎛ ⎞ ⎛ 

a a 


e ⎝ 

c 

′ 

b ′ 

c ′ 

⎞ 

⎠ sono uno multiplo dell’altro?se la 

risposta è negativa allora π e π ′ sono incidenti. Altrimenti:










⎛ ⎞ ⎛ 

a a 


e ⎝ 

c 

′ 

b ′ 

c ′ 

⎞ 


risposta è negativa allora π e π ′ sono incidenti. Altrimenti: 

Le due equazioni sono multiple fra loro?










⎛ ⎞ ⎛ 

a a 


e ⎝ 

c 

′ 

b ′ 

c ′ 

⎞ 


risposta è negativa allora π e π ′ sono incidenti. Altrimenti: 

Le due equazioni sono multiple fra loro?se la risposta è 

negativa allora π e π ′ sono paralleli. Se la risposta è 

positiva π e π ′ sono coincidenti.






Equazione del piano parallelo ad un piano dato e 

passante per un punto dato 

Supponiamo di avere un piano di equazione 

x + 3y + z = 2 

Determinare l’equazione del piano π ′ ⎛ ⎞ 

parallelo a π passante per 

2 

il punto P = ⎝−4⎠: 

6









x + 3y + z = 2 



2 


6 

l’equazione avrà la forma x + 3y − z = k: 

Poiché il punto P appartiene al piano π ′ dobbiamo avere 

2 + 3 · (−4) − 6 = k. Ovvero ricaviamo k = −16.









x + 3y + z = 2 



2 


6 

l’equazione avrà la forma x + 3y − z = k: 

Poiché il punto P appartiene al piano π ′ dobbiamo avere 

2 + 3 · (−4) − 6 = k. Ovvero ricaviamo k = −16. 

x + 3y − z = −16 .






Data una retta r e un piano π ci sono tre casi: 

r è contenuta in π; 

r e π sono paralleli; 

r e π sono incidenti.
























Riconoscimento della posizione retta/piano 

Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 

π di equazione x + y + z = 2 e la retta 

1 

1 

r = ⎝1⎠ 

+ span ⎝ 0 ⎠ 

0 

−1 

⎛ ⎞ 

1 

Il punto ⎝1⎠ 

appartiene a π: 

0







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝1⎠ 

+ span ⎝ 0 ⎠ 

0 

−1 

⎛ ⎞ 

1 


appartiene a π: r e π sono coincidenti o 

0 

incidenti.







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝1⎠ 

+ span ⎝ 0 ⎠ 

0 

−1 

⎛ ⎞ 

1 


appartiene a π: r e π sono coincidenti o 

0 

incidenti. 

⎛ ⎞ 

1 

Il vettore ⎝ 0 ⎠ è contenuto nel piano π0 di equazione 

−1 

x + y + z = 0:r è contenuto in π







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝2⎠ 

+ span ⎝ 0 ⎠ 

0 

−1 

⎛ ⎞ 

1 


non appartiene a π: 

0







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝2⎠ 

+ span ⎝ 0 ⎠ 

0 

−1 

⎛ ⎞ 

1 


non appartiene a π: r e π sono incidenti o 

0 

paralleli.







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝2⎠ 

+ span ⎝ 0 ⎠ 

0 

−1 

⎛ ⎞ 

1 



0 

paralleli. 

⎛ ⎞ 

1 


−1 

x + y + z = 0:







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝2⎠ 

+ span ⎝ 0 ⎠ 

0 

−1 

⎛ ⎞ 

1 



0 

paralleli. 

⎛ ⎞ 

1 


−1 

x + y + z = 0: r è parallelo a π







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝2⎠ 

+ span ⎝0⎠ 

0 

1 

⎛ ⎞ 

1 


non appartiene a π: 

0







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝2⎠ 

+ span ⎝0⎠ 

0 

1 

⎛ ⎞ 

1 



0 

parallele.







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝2⎠ 

+ span ⎝0⎠ 

0 

1 

⎛ ⎞ 

1 



0 

parallele. 

⎛ ⎞ 

1 

Il vettore ⎝0⎠ 

non è contenuto nel piano π0 di equazione 

1 

x + y + z = 0:







Consideriamo 

⎛ ⎞ 

il piano 

⎛ ⎞ 


1 

1 

r = ⎝2⎠ 

+ span ⎝0⎠ 

0 

1 

⎛ ⎞ 

1 



0 

parallele. 

⎛ ⎞ 

1 

Il vettore ⎝0⎠ 

non è contenuto nel piano π0 di equazione 

1 

x + y + z = 0: r è incidente a π







Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = d 

e una retta di equazione parametrica r = P + span v. 

Il vettore v è contenuto nel piano π0 di equazione 

ax + by + cz = 0?










ax + by + cz = 0?se la risposta è negativa allora π e π 

sono incidenti. Altrimenti:











sono incidenti. Altrimenti: 

P appartiene a π?











sono incidenti. Altrimenti: 

P appartiene a π?se la risposta è negativa allora π e π 

sono paralleli. Se la risposta è positiva π e π ′ sono 

coincidenti.



Due rette possono essere 

coincidenti; 

parallele; 

incidenti; 

sghembe; 







coincidenti; 


incidenti; 

sghembe; 







coincidenti; 


incidenti; 

sghembe;

le slides della lezione di lunedì 18 ottobre 2010

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