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CAPITOLO
3I vettori
e le forze
Una barca a vela, come lo yacht dell’America’s Cup
mostrato in figura, è soggetta a varie forze: la forza del
vento, la forza peso della barca e del suo equipaggio,
le forze di attrito dell'aria e dell'acqua, la forza
di galleggiamento. L’abilità dello skipper consiste
nello sfruttare al meglio queste forze
per condurre la barca al traguardo nel
più breve tempo possibile.
Anche se non sempre ce ne accorgiamo, tutti
i corpi agiscono continuamente gli uni sugli
altri. Queste azioni reciproche, che si
esercitano per contatto o a distanza, prendono
il nome di forze. L’effetto delle forze è di modificare
il moto dei corpi. In questo capitolo studieremo le
caratteristiche generali delle forze e alcuni importanti
esempi (la forza peso, la forza elastica, le forze
di attrito). Le forze sono grandezze fisiche vettoriali,
caratterizzate oltre che da un’intensità, da una
direzione e da un verso. Dovremo quindi dedicare
un po’ di spazio e di tempo allo studio dei vettori,
che sono tra gli enti matematici più usati in fisica.
CONTENUTI
1. Grandezze scalari e vettoriali 2
2. Operazioni con i vettori 3
3. Componenti cartesiane di un vettore 6
4. Le forze 11
5. La forza peso 14
6. La forza elastica 15
7. Forze di attrito 19
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2 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
Biblioteca
Biblioteca?
s
N
Noi
Biblioteca?
0,5 km
▲ FIGURA 1 Spostamento: distanza,
direzione e verso
Se sappiamo che la biblioteca è a 0,5 km
a nord-ovest da noi, conosciamo
esattamente la sua posizione. Il vettore
s rappresenta lo spostamento dalla
nostra posizione iniziale alla biblioteca.
!
ATTENZIONE
Direzione e verso sono due cose diverse:
dicendo che un aereo vola lungo
la rotta Milano - Roma, indichiamo
la direzione del volo; specificando
che l’aereo viaggia da Milano verso
Roma, indichiamo il verso.
▲ L’informazione data da questo segnale
indica per ogni città una distanza, una
direzione e un verso. In effetti il segnale
definisce un vettore spostamento per
ognuna delle destinazioni.
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E
1. Grandezze scalari e vettoriali
Tra le grandezze fisiche ve ne sono alcune che sono espresse solo da un
valore numerico, accompagnato da un’unità di misura. Queste grandezze
sono dette scalari.
Grandezza scalare
Una grandezza scalare è una grandezza fisica espressa da un numero
accompagnato da un’unità di misura.
Esempi di grandezze scalari sono la massa di un oggetto, il volume di un
recipiente, la durata di un evento, la densità di un materiale, la temperatura
di un corpo.
Talvolta, invece, un numero non è sufficiente a descrivere una grandezza fisica
ed è necessario associare a esso anche una direzione. Ad esempio, supponiamo
di essere in una città che non conosciamo e di voler andare in biblioteca.
Chiediamo a un passante: «Sa dov’è la biblioteca?» Se il passante
risponde «Sì, si trova a mezzo kilometro da qui» non ci è di grande aiuto,
perché la biblioteca potrebbe essere in qualsiasi punto di una circonferenza
di raggio 0,5 km, come mostrato in figura 1. Per conoscere esattamente dove
è situata la biblioteca, abbiamo bisogno di una risposta del tipo: “Sì, la biblioteca
è a mezzo kilometro a nord-ovest da qui.” Conoscendo la distanza e la
direzione, sappiamo esattamente dove è situata la biblioteca. Lo spostamento
dalla nostra posizione iniziale al punto in cui si trova la biblioteca è una
grandezza fisica determinata non solo dalla distanza percorsa, ma anche
dalla direzione (nord-ovest) e dal verso del movimento. In figura 1 lo spostamento
è rappresentato da una freccia che punta nella direzione e nel verso
del moto e la cui lunghezza, che chiameremo modulo o intensità (0,5 km, in
questo caso), rappresenta la distanza in linea d’aria tra la posizione iniziale
e la biblioteca. Lo spostamento è un esempio di grandezza vettoriale.
In generale, una grandezza fisica specificata da un modulo, che è un numero
non negativo con un’unità di misura, da una direzione e da un verso
è detta grandezza vettoriale.
Grandezza vettoriale e vettore
Una grandezza vettoriale è una grandezza fisica rappresentata matematicamente
da un vettore.
Un vettore è un ente matematico definito da un modulo (che è un
numero non negativo), una direzione e un verso.
Nell’esempio precedente abbiamo incontrato il vettore spostamento. Altre
grandezze vettoriali sono, ad esempio, la velocità e l’accelerazione di un oggetto,
e le forze, cui è dedicato questo capitolo.
Per rappresentare graficamente un vettore useremo una freccia, come in
figura 1. Il simbolo di un vettore sarà una lettera (maiuscola o minuscola)
in corsivo con una piccola freccia sopra. La stessa lettera senza freccia indicherà
il modulo del vettore. Ad esempio, in figura 1 il vettore spostamento
dalla posizione iniziale alla biblioteca è contrassegnato dal simbolo
s e il suo modulo è s 0,5 km.
!

2. Operazioni con i vettori
Con i vettori è possibile effettuare varie operazioni. Quelle di cui ci occuperemo
sono l’addizione e la sottrazione di vettori e la moltiplicazione di
un vettore per un numero.
Somma di vettori
Curiosando in una vecchia cassa in soffitta trovi la mappa di un tesoro.
La mappa dice che, per localizzare il tesoro, devi partire dall’albero di
magnolia che si trova in cortile, fare 5 passi verso nord e poi 3 verso est.
Se questi due spostamenti sono rappresentati dai vettori e in figura 2,
lo spostamento totale dall’albero al tesoro è dato dal vettore . Diciamo
che è il vettore somma di e B e scriviamo:
!
A !
C !
C !
B !
C ! B !
A !
A !
In generale i vettori si sommano graficamente secondo la seguente regola
(il cosiddetto metodo punta-coda):
Somma di due vettori (metodo punta-coda)
Per sommare i vettori e , si dispone la coda di sulla punta di
: la somma è il vettore che va dalla coda di alla punta
di B .
!
A !
B !
A !
C !
A !
B !
B !
A !
Per applicare il metodo punta-coda è necessario spostare i vettori. Questa
operazione non comporta alcun problema se i vettori vengono spostati
parallelamente a se stessi, senza modificarne la lunghezza e il verso. Rette
parallele rappresentano infatti la stessa direzione e, poiché un vettore è
definito solo dal suo modulo, dalla sua direzione e dal suo verso, se questi
non cambiano, non cambia neanche il vettore. Ad esempio, nella figura
3 tutte le frecce hanno la stessa lunghezza e la stessa direzione orientata
e quindi rappresentano lo stesso vettore, anche se sono collocate in
punti diversi.
5 passi
verso nord
N
3 passi
verso est
A
B
Tesoro
CAB Spostamento totale
Albero di
magnolia
▲ FIGURA 2 Somma di due vettori
Per andare dall’albero di magnolia al tesoro, devi prima fare 5 passi verso nord ( )
e poi 3 passi verso est ( ). Lo spostamento totale dall’albero al tesoro è la somma degli
spostamenti e , cioè B .
!
A !
C !
B !
A !
B !
A !
E
2. Operazioni con i vettori 3
A
A
A
A
▲ FIGURA 3 Rappresentazioni
dello stesso vettore A S
Un vettore è definito solo dalla
lunghezza, dal verso e dalla direzione,
che è la stessa nel caso di rette parallele.
A
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4 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
FIGURA 4 Somma di vettori
aventi la stessa direzione
Lunghezza somma delle
a) I due vettori hanno verso uguale.
lunghezze di A e B.
b) I due vettori hanno verso opposto. a)
ATTENZIONE
Il modulo della somma di due vettori
non è uguale alla somma dei moduli
dei vettori, a meno che questi
vettori non abbiano la stessa direzione
e lo stesso verso.
FIGURA 5 Regola del
parallelogramma
Il vettore somma
ottenuto con il metodo punta-coda (a)
oppure, facendo coincidere la coda di
con quella di A , mediante la regola
del parallelogramma (b).
!
B !
B !
A !
C !
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Nel caso particolare in cui si sommano due vettori che hanno uguale direzione,
il vettore somma ha la stessa direzione. Per ciò che riguarda il suo
modulo e il suo verso, la regola è la seguente:
se i due vettori hanno versi uguali (figura 4a), il vettore somma ha come
modulo la somma dei moduli dei due vettori e lo stesso verso;
se i due vettori hanno verso opposto (figura 4b), il vettore somma ha
come modulo la differenza dei moduli dei due vettori e come verso
quello del vettore che ha modulo maggiore.
A
C A B
B
Lunghezza differenza delle
lunghezze di A e B.
b)
Consideriamo ora i due vettori e in figura 5a e il loro vettore somma
ottenuto con il metodo punta-coda. Se spostiamo parallelamente
a se stessa la freccia che rappresenta in modo che la sua coda
coincida con quella di , troviamo che è la diagonale del parallelogramma
che ha come lati A e (figura 5b). Abbiamo scoperto così un altro
metodo per costruire la somma di due vettori, noto come regola del
parallelogramma:
! B ! A !
C
! B!
C !
A !
B ! A ! B !
Somma di due vettori (regola del parallelogramma)
Per sommare i vettori e B si fanno coincidere le loro code e si disegna
il parallelogramma che ha i due vettori come lati: la somma
è la diagonale di questo parallelogramma.
!
A !
B !
A !
C !
B
Se i vettori da sommare sono più di due, basta estendere i metodi di addizione
che abbiamo appena descritto. Ad esempio, disponendo tutti i
vettori secondo il metodo punta-coda, il vettore somma è quello che va
dalla coda del primo vettore alla punta dell’ultimo, come mostrato in figura
6a. Oppure, usando la regola del parallelogramma, si sommano
dapprima due vettori qualunque, poi si somma il vettore risultante con il
vettore successivo, e così via (figura 6b).
A
C A B
A C
A C
a) b)
B
B

A
B
C
D
Il vettore somma D
va dalla coda del primo
alla punta dell’ultimo.
a) b)
Differenza di due vettori
Vediamo ora come si sottraggono i vettori. Vogliamo determinare il vettore
differenza di due vettori e , cioè:
dove e , ad esempio, sono i vettori rappresentati in figura 7.
Possiamo scrivere nel modo seguente:
( )
cioè come somma di e , dove il vettore è il vettore opposto di .
L’opposto di un vettore è rappresentato da una freccia della stessa lunghezza
del vettore originale, ma orientata nel verso opposto.
Il vettore e il suo opposto sono mostrati in figura 7. Per sottrarre
da , cioè per calcolare il vettore , basta ribaltare il verso di
e sommare il vettore così ottenuto ad A , come indicato in figura. La regola
generale è la seguente:
!
A !
D ! A !
B !
B !
B !
B !
B !
A !
B !
B !
B !
D ! A !
B !
D !
A ! B !
D ! A !
B !
D !
A ! B !
Differenza di due vettori
Per sottrarre un vettore da un vettore , si costruisce il vettore
, l’opposto di : la differenza B è la somma di e .
!
A !
D !
B !
A !
A !
B !
B !
B !
Moltiplicazione di un vettore per un numero
A
C
Un’altra operazione che può essere effettuata su un vettore è la sua moltiplicazione
per un numero. Come mostrato in figura 8, ad esempio, moltiplicando
un vettore per 3 si aumenta di un fattore 3 il suo modulo, ma
non si cambiano direzione e verso; moltiplicando il vettore per 3, invece,
si aumenta il suo modulo di un fattore 3 e si inverte il verso del vettore.
La regola generale è la seguente:
B
Moltiplicazione di un vettore per un numero
Moltiplicando un vettore per un numero, la direzione del vettore
non cambia, il suo modulo viene moltiplicato per il valore assoluto
di quel numero e il verso rimane lo stesso se il numero è positivo,
mentre si inverte se il numero è negativo.
AB D
Il vettore somma D
si ottiene applicando
la regola del parallelogramma
ai vettori A B e C.
D
2. Operazioni con i vettori 5
FIGURA 6 Somma di più vettori
Il vettore somma C
ottenuto con il metodo punta-coda (a)
e con la regola del parallelogramma (b).
!
B !
A !
D !
B
A
Opposto
del vettore B
▲ FIGURA 7 Sottrazione di vettori
Costruzione grafica che permette
di determinare il vettore
come somma del vettore e del vettore
opposto di B .
! A ! B !
A !
D !
A
3A
3A
▲ FIGURA 8 Moltiplicazione di
un vettore per un numero
Il vettore A è moltiplicato per il numero
3 e per il numero 3.
!
B
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6 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
FIGURA 9 Scomposizione di
un vettore lungo due rette
a) Per scomporre il vettore lungo le
rette r1 ed r2 si pone la coda di nel
punto di intersezione delle rette.
b) Si tracciano le parallele a r1 ed r2 passanti per la punta di . I due lati
orientati 1 e 2 del parallelogramma
sono i vettori, diretti rispettivamente
lungo r1 ed r2, la cui somma è A .
!
A !
A !
A !
A ! A !
A y
y
A
u
O Ax Angolo formato dal
vettore A con l’asse x
▲ FIGURA 10 Componenti
cartesiane di un vettore
Scomposizione del vettore nei due
vettori perpendicolari x e A y diretti
lungo gli assi di un sistema
di coordinate cartesiane.
!
A ! A !
FIGURA 11 Vettori con componenti
di diverso segno
a) x e y puntano entrambi nel verso
positivo, quindi Ax 0 e Ay 0.
b) A x punta nel verso negativo dell’asse
x, quindi Ax 0.
!
A !
A !
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x
3. Componenti cartesiane di un vettore
Scomposizione di un vettore
lungo due rette qualsiasi
Capita talvolta di dover scomporre un vettore lungo due rette assegnate,
cioè di dover trovare due vettori diretti lungo queste rette e la cui somma
sia uguale al vettore dato. Per fare questo si ricorre alla regola del parallelogramma.
Il procedimento è illustrato in figura 9.
Se è il vettore da scomporre lungo le rette r1 ed r2, cominciamo con il
porre la sua coda nel punto di intersezione di r1 ed r2, quindi tracciamo le
parallele a r1 ed r2 passanti per la punta di . Si forma così un parallelogramma,
i cui due lati orientati a partire dalla coda di rappresentano i
vettori cercati, cioè i vettori A 1 e 2 che hanno come somma .
! A !
A ! A !
A !
A !
r 1
A
a) b)
Scomposizione di un vettore
lungo gli assi cartesiani
r2
Di particolare importanza è la scomposizione di un vettore lungo i due
assi perpendicolari di un sistema di coordinate cartesiane. Scegliamo
un’origine, O, e un verso positivo per l’asse x (asse delle ascisse) e per
l’asse y (asse delle ordinate), come mostrato in figura 10. Ponendo la coda
di un vettore nell’origine e disegnando le parallele agli assi x e y, si
trovano due vettori perpendicolari x e y la cui somma è :
x y
Le componenti cartesiane del vettore sono le lunghezze Ax e Ay, alle
quali è attribuito un segno positivo o negativo a seconda che i vettori x e
A y siano diretti nel verso positivo o nel verso negativo degli assi x e y, rispettivamente.
La situazione è illustrata in figura 11.
!
A !
A !
A ! A !
A !
A ! A !
A !
A !
A y
O
y
A
A x
a)
x
r 1
A 2
A
A
A x
b)
y
A 1
A y
O
r2
x

Le componenti Ax e Ay possono essere calcolate a partire dal modulo e
dalla direzione di .
La direzione di è individuata dall’angolo u che il vettore forma con
l’asse delle ascisse. Per ottenere una relazione tra u e le componenti cartesiane
di A dobbiamo introdurre due funzioni matematiche molto importanti:
il seno e il coseno di un angolo.
Facendo riferimento al generico triangolo rettangolo di figura 12, il seno
e il coseno sono definiti come segue:
!
A !A!
Seno e coseno di un angolo U
Il seno dell’angolo u è dato dal rapporto tra il cateto opposto all’angolo
e l’ipotenusa:
sen u
Il coseno dell’angolo u è dato dal rapporto tra il cateto adiacente all’angolo
e l’ipotenusa:
cos u
Da qui si trova che il cateto b è uguale al prodotto dell’ipotenusa c per il
seno dell’angolo opposto:
b c sen u
mentre il cateto a è uguale al prodotto dell’ipotenusa c per il coseno dell’angolo
opposto:
a c cos u
Applicando queste relazioni al triangolo rettangolo di figura 13, che ha
come cateti Ax e Ay e come ipotenusa A, si possono scrivere le componenti
del vettore A in funzione del suo modulo e dell’angolo u:
!
A x A cos u A y A sen u
Vediamo ora come si risolve il problema inverso, cioè come si calcola il
modulo del vettore e l’angolo u che identifica la sua direzione conoscendo
le componenti cartesiane Ax e Ay. Il modulo del vettore A si ottiene applicando il teorema di Pitagora al
triangolo rettangolo di figura 13:
!
A !
A 2A 2 x + A 2 y
Per determinare u, usando le relazioni date sopra scriviamo dapprima il
coseno e il seno di u:
A x
b
c
a
c
A y
cos u sen u
A
A
e poi calcoliamo le funzioni inverse del coseno e del seno (indicate, rispettivamente,
con cos 1 e sen 1 ):
u cos 1 u sen1 a Ax A b aA y
A b
3. Componenti cartesiane di un vettore 7
c
u
a
b c sen u
a c cos u
▲ FIGURA 12 Seno e coseno di
un angolo
O
y
A
u
▲ FIGURA 13
A x
A y
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b
x

8 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
▲ Le funzioni sen 1 e cos 1 su questa
calcolatrice tascabile si attivano
digitando, rispettivamente, i tasti
SHIFT e SIN e SHIFT e COS.
Queste formule significano che u è l’angolo il cui coseno vale A x/A e il
cui seno vale A y/A.
Non approfondiremo la matematica delle funzioni cos 1 e sen 1 . Ci basterà
sapere che possiamo determinare i loro valori con la nostra calcolatrice
tascabile.
ESEMPIO
Consideriamo il vettore disegnato in figura, di modulo s 1,50 m. Se l’angolo u
vale 25,0° le componenti cartesiane di s sono date da:
!
s !
sx s cos u (1,50 m) cos (25,0°) 1,36 m
sy s sen u (1,50 m) sen (25,0°) 0,634 m
Se, al contrario, conoscessimo le componenti s x 1,36 m ed s y 0,634 m e dovessimo
calcolare il modulo s e l’angolo u, scriveremmo:
s
2s x 2 + sy 2
PROBLEMA L’altezza di una scogliera
s 2(1,36 m) 1,50 m
2 + (0,634 m) 2
u cos1
u cos1 a
25,0°
sx s b
1,36 m
a
1,50 m b
Nel libro L’isola misteriosa di Jules Verne, il capitano Cyrus Smith vuole determinare l’altezza di una scogliera.
Egli si mette con le spalle alla base della scogliera, poi cammina dritto davanti a sé per 500 m; a questo punto si
sdraia per terra e misura l’angolo fra la linea orizzontale e la direzione in cui vede la cima della scogliera. Se
l’angolo è di 34°, quanto è alta la scogliera?
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA
In figura è disegnato il triangolo rettangolo utile per il nostro
problema.
Il lato opposto all’angolo u è l’altezza h della scogliera che
dobbiamo determinare, mentre il lato adiacente all’angolo è la
distanza b 500 m fra la base della scogliera e il capitano
Smith.
Infine l’ipotenusa del triangolo è la distanza d fra la cima della
scogliera e il capitano Smith.
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s y
O
y
u
u
s
s x
d
x
b 500 m
h

STRATEGIA
Useremo la funzione coseno e la relazione tra cateti, ipotenusa e angoli di un triangolo rettangolo.
SOLUZIONE
b
Dalla relazione b d cos u calcoliamo d: d
cos u
500 m
d 603 m
cos 34°
Usando il teorema di Pitagora possiamo ora ricavare h: h 2d
2 - b 2
3. Componenti cartesiane di un vettore 9
2(603 m) 337 m
2 - (500 m) 2
OSSERVAZIONI
Per calcolare l’altezza h è fondamentale conoscere la distanza b del punto di osservazione dalla base della scogliera.
Se questa distanza non fosse nota (a causa, ad esempio, dell’inaccessibilità della scogliera), per determinare h bisognerebbe
ricorrere a un metodo più complicato, noto come triangolazione, consistente nell’osservare la cima della
scogliera da due punti diversi.
PROVA TU
Se l’angolo u fosse di 30º, a quale distanza si troverebbe Cyrus Smith dalla base della scogliera? [522 m]
Somma vettoriale per componenti
La convenienza della rappresentazione cartesiana dei vettori sta nel fatto
che usando le componenti cartesiane diventa piuttosto facile sommare i
vettori. Per sommare due o più vettori, infatti, basta semplicemente sommare
le loro componenti.
Il metodo è illustrato in figura 14.
Se C è la somma di e , cioè , le componenti cartesiane di
sono date da:
!
A ! B !
C ! A !
B !
C !
Cx Ax Bx Cy Ay By e per calcolare il modulo di C si applica la fomula:
!
O
y
C 2C 2 x + C 2 y
A
A x
C
A y
B
B x
B y
x
O
y
A
C
B
C x A x B x
a) b)
▲ FIGURA 14 Somma di vettori mediante le componenti
a) Le componenti x e y di e di .
b) Le componenti x e y di C . Notiamo che Cx Ax Bx e Cy Ay By. !
B !
A !
C y A y B y
x
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10 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
PROBLEMA Veleggiando nell’Egeo
Andrea e Barbara stanno veleggiando nel Mar Egeo. Un giorno partono dall’isola di Milos e si dirigono a nord,
verso l’isola di Sérifos, a 24 miglia di distanza (un miglio nautico, nmi, corrisponde a 1852 m). Il giorno dopo partono
da Sérifos e puntano su Mykonos, che dista 42 miglia, con rotta 60º (il che vuol dire, nel linguaggio navale,
che la rotta forma un angolo di 60° con la direzione nord in senso orario). Qual è il modulo dello spostamento
complessivo di Andrea e Barbara?
Nord
y
B y
A
O
B
60°
30°
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA
In figura sono tracciati i vettori spostamento da Milos a Sérifos ( ) e da Sérifos a Mykonos ( ). I moduli di questi vettori
sono 24 nmi e 42 nmi, rispettivamente. Continueremo a usare le miglia nautiche come unità di misura della lunghezza.
Dobbiamo determinare il modulo dello spostamento totale C da Milos a Mykonos.
! A !
B !
A !
B !
STRATEGIA
Poniamo l’origine di un sistema di assi cartesiani nel punto di partenza (Milos). Gli assi sono orientati in modo che
le ascisse puntino a est e le ordinate a nord. Calcoliamo le componenti cartesiane di e , osservando che è diretto
lungo l’asse y e B forma con l’asse orizzontale un angolo di 30º. Le componenti di sono la somma delle componenti
di e di . A partire da Cx e Cy determiniamo C usando il teorema di Pitagora.
!
A !
A !
B !
C ! A! B !
SOLUZIONE
Le componenti di A sono:
!
Le componenti di B sono:
!
Le componenti di si ottengono sommando quelle di e quelle
di B , Cx Ax Bx e Cy Ay By: !
C !
A !
Il modulo di C è dato da C :
!
2C 2 x + C 2 y
B x
x
Est
OSSERVAZIONI
Il modulo dello spostamento non è uguale alla distanza percorsa dalla barca, che è (24 42) nmi 66 nmi.
PROVA TU
Se da Mykonos Andrea e Barbara veleggiassero su Patros, 80 nmi a est di Mykonos, quale sarebbe in modulo il loro
spostamento totale da Milos a Patros? [124 nmi]
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O
N
S
Milos
E
A
B
Sérifos
A x 0 nmi
A y 24 nmi
Mykonos
B x (42 nmi) cos 30° 36 nmi
B y (42 nmi) sen 30° 21 nmi
C x (0 36) nmi 36 nmi
C y (24 21) nmi 45 nmi
C 2(36 nmi) 58 nmi
2 + (45 nmi) 2

4. Le forze
Quando spingiamo un carrello al supermercato o trasciniamo uno scatolone
sul pavimento, stiamo esercitando una forza. Analogamente, quando
teniamo un libro in mano, stiamo esercitando una forza verso l’alto
che si oppone alla spinta verso il basso dovuta alla forza di gravità. Queste
situazioni legate a semplici attività umane sono un esempio di ciò che
in natura accade continuamente e a tutti livelli. Il mondo che ci circonda,
infatti, è costituito da oggetti che esercitano delle azioni gli uni sugli altri.
È a queste azioni che diamo il nome di forze.
Le forze possono agire per contatto, come quando colpiamo una palla da
tennis con la racchetta o piantiamo un chiodo con un martello, o a distanza,
come nel caso della forza di gravità o della forza magnetica sull’ago di
una bussola.
L’effetto delle forze è di modificare il moto dei corpi, in particolare la loro
velocità. Esse possono anche produrre delle deformazioni, ma a livello
microscopico queste sono riconducibili comunque a cambiamenti dello
stato di moto delle molecole.
Effetto delle forze
Le forze tendono a modificare il moto dei corpi.
Studieremo nel capitolo 7 le leggi che descrivono quantitativamente l’effetto
delle forze sul moto dei corpi.
Se pensiamo a una forza familiare, come quella che esercitiamo spingendo
un oggetto, ci convinciamo facilmente che le forze sono caratterizzate
non solo da una certa intensità (o modulo), ma anche da una direzione e
da un verso. Le forze sono quindi grandezze vettoriali, descritte matematicamente
da vettori. La coda della freccia che rappresenta graficamente il
vettore forza va collocata nel punto in cui agisce la forza, detto punto di
applicazione.
ATTENZIONE
▲ Esempi di forze: è una forza ciò che fa variare il moto della pallina da tennis, è una forza ciò che muove
il carrello della spesa, è una forza ciò che fa ruotare l’ago della bussola.
F
punto di
applicazione
4. Le forze 11
La distinzione tra forze di contatto e
forze a distanza è più apparente che
reale. Le comuni forze di contatto
sono infatti manifestazioni macroscopiche
di forze elettromagnetiche
a distanza, che agiscono su scala atomica
e molecolare.
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12 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
0
F 1
F 2 2F 1
▲ FIGURA 15 Taratura di
un dinamometro
Quando appendiamo due masse
campione al dinamometro, il valore
della forza che leggiamo sulla scala è
il doppio di quello che leggiamo quando
al dinamometro è attaccata una sola
massa campione.
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La misura delle forze
La forza, come tutte le grandezze fisiche, è definita operativamente attraverso
un procedimento di misura. Per misurare le forze si sfruttano i loro effetti,
in particolare le deformazioni che esse causano sugli oggetti. Un possibile
strumento di misura delle forze è il dinamometro a molla, il cui funzionamento
è basato sull’allungamento che una forza produce quando viene applicata
a una molla (studieremo in dettaglio questo effetto nel paragrafo 6).
Per definizione, due forze hanno uguale intensità se, applicate al dinamometro,
producono lo stesso allungamento.
Per tarare lo strumento applichiamo a esso una forza campione. Le forze
di cui disponiamo più comodamente sono le forze peso di oggetti di data
massa (parleremo del peso nel prossimo paragrafo).
Appendiamo quindi una massa campione al dinamometro e poniamo
convenzionalmente uguale a 1 il valore della forza indicato dalla scala.
Appendiamo poi due masse uguali alla precedente e assegniamo il valore
2 alla forza corrispondente. Procedendo in questo modo, costruiremo
una scala graduata e potremo misurare qualunque forza confrontando
l’allungamento che essa produce con quello dovuto alle masse campione.
Possiamo ora definire l’unità di misura della forza, che è il newton (N).
Unità di misura della forza: il newton
Un newton (N) è la forza che produce un allungamento della molla
di un dinamometro uguale a quello prodotto da una massa appesa
di (1/9,81) kg.
Il significato dello strano numero 9,81 che appare in questa definizione
sarà chiaro nel prossimo paragrafo.
▲ Dinamometri da laboratorio.
Risultante di più forze
Quasi sempre su un corpo agiscono contemporaneamente più forze. Un
libro fermo su un tavolo è soggetto a una forza verso il basso dovuta alla
gravità e a una forza verso l’alto dovuta al tavolo; se spingiamo il libro
sul tavolo, esso è soggetto anche a una forza orizzontale dovuta alla nostra
spinta. La forza totale, o risultante, esercitata sul libro è la somma
vettoriale delle singole forze che agiscono su di esso.

Supponiamo che due astronauti stiano utilizzando dei propulsori a getto
per spingere un satellite verso la navicella spaziale, come mostrato in figura
16. Se l’astronauta 1 esercita una forza 1 e l’astronauta 2 esercita
una forza 2, la risultante delle forze sul satellite, cioè la forza effettiva
che agisce sul satellite, è la somma vettoriale R 1 2.
Poiché le forze si sommano vettorialmente, è possibile che su un corpo
agiscano delle forze singolarmente non nulle ma la cui risultante è nulla.
In questo caso, le forze non producono alcun effetto complessivo e si dice
che il corpo è in equilibrio. Torneremo più in dettaglio sul concetto di
equilibrio nel capitolo 4.
!
F !
F !
F !
F !
1
2
a) Rappresentazione fisica
PROBLEMA Al lavoro nello spazio
Quando escono nello spazio per effettuare dei lavori, gli astronauti indossano tute speciali su cui sono fissati dei
propulsori a getto, cioè dei razzi ad azoto pressurizzato che generano forze di alcune decine di newton (N). Se gli
astronauti di figura 16 spingono il satellite con forze di intensità F 1 26 N ed F 2 41 N, le cui direzioni formano
un angolo di 52º, qual è l’intensità della forza risultante sul satellite?
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA
Con il sistema di coordinate indicato in figura 16, l’astronauta 1 spinge
nel verso positivo dell’asse x, mentre l’astronauta 2 spinge con un angolo
di 52° rispetto allo stesso asse. L’astronauta 1 esercita una forza di intensità
F1 26 N, mentre l’astronauta 2 esercita una forza di intensità
F2 41 N. Dobbiamo calcolare il modulo di R 1 2.
!
F !
F !
STRATEGIA
Usiamo il metodo della somma vettoriale per componenti cartesiane. Dopo aver calcolato le componenti cartesiane di
1 e di 2, le sommiamo per ricavare quelle di R . Queste ci permettono di determinare il modulo R.
!
F !
F !
SOLUZIONE
F 1 è diretto lungo l’asse x, quindi le sue componenti sono:
2 forma un angolo di 52º con l’asse x. Le sue componenti
sono:
Le componenti di sono la somma di quelle di 1 e di 2:
Il modulo di si ottiene attraverso la formula
R :
!
2R 2 x + R 2 R
y
!
R !
F !
F !
F !
y
F 2
F 1
x
b) Schema delle forze
PROVA TU
Quanto varrebbe il modulo di R se le forze 1 ed 2 fossero perpendicolari? [R 49 N]
!
F !
F !
F 2
F 1
R
c) Forza risultante
FIGURA INTERATTIVA
O
y
F 2
F 1
52°
F 1,x F 1 26 N F 1,y 0
R
4. Le forze 13
FIGURA 16 Due astronauti
spingono un satellite con forze diverse
in modulo e direzione
La forza risultante sul satellite è
la somma vettoriale 1 F 2.
!
F !
R !
F 2,x F 1 cos 52° (41 N) cos 52° 25 N
F 2,y F 2 sen 52° (41 N) sen 52° 32 N
R x F 1,x F 2,x 51 N R y F 1,y F 2,y 32 N
R 2(51 N) 60 N
2 + (32 N) 2
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x

14 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
ATTENZIONE
La costante g è l’accelerazione di gravità,
come vedremo nel capitolo 7,
dove verrà espressa in un’altra unità
di misura equivalente al N/kg.
▲ La massa di 55,1 kg misurata dalla
bilancia pesa-persone corrisponde a un
peso di 540,5 N.
P
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5. La forza peso
Quando saliamo su una bilancia per pesarci, la bilancia fornisce in realtà
una misura della forza gravitazionale che la Terra esercita su di noi. È
questo il nostro peso P. In generale il peso di un oggetto sulla superficie
terrestre è la forza di gravità esercitata su di esso dalla Terra.
Il peso
Il peso P di un oggetto sulla superficie terrestre è la forza gravitazionale
esercitata su di esso dalla Terra.
Il peso è dunque una forza (la forza peso) e nel SI si misura in newton (N).
Come sappiamo dall’esperienza quotidiana, maggiore è la massa di un
oggetto, maggiore è il suo peso. Supponiamo di pesare un mattone su
una bilancia e di leggere il valore 8 N; se aggiungiamo un secondo mattone,
identico al primo, in modo da raddoppiare la massa, misureremo un
peso di 2 (8 N) 16 N. In un determinato luogo, il peso P e la massa m di
un oggetto sono direttamente proporzionali. La loro relazione è:
Relazione tra peso P e massa m
P mg
dove g è una costante di proporzionalità che sulla superficie terrestre vale
9,81 N/kg. È questa l’origine del numero 9,81 che compare nella definizione
di newton data nel paragrafo precedente. Una massa di 1 kg pesa
infatti 9,81 N.
Il valore g 9,81 N/kg è in realtà solo indicativo. Il coefficiente g dipende
infatti, anche se poco, dal punto della superficie terrestre in cui ci si
trova (ai poli è maggiore che all’equatore di circa lo 0,5%) e dall’altitudine
(diminuisce all’aumentare dell’altezza rispetto al livello del mare).
Sottolineiamo la netta distinzione tra peso e massa: il peso è la forza gravitazionale
misurata in newton, la massa è una quantità invariante tipica
di ogni corpo, misurata in kilogrammi.
Se ci trovassimo sulla Luna la nostra massa non cambierebbe perché
avremmo sempre la stessa quantità di materia, ma, poiché la forza gravitazionale
lunare è minore di quella terrestre (cioè la costante g ha sulla
Luna un valore più piccolo che sulla Terra), sulla Luna peseremmo meno
di quanto pesiamo sulla Terra. In particolare, dal momento che la costante
g lunare vale 1,62 N/kg, che è circa un sesto della costante g terrestre,
il peso di un corpo sulla Luna è circa un sesto del peso sulla Terra.
Essendo il peso una forza, cioè una grandezza vettoriale, esso ha un modulo
(che abbiamo indicato con P), una direzione e un verso. Il modulo
della forza peso P vale mg, la direzione è perpendicolare alla superficie
terrestre e il verso è diretto verso il basso.
!
FIGURA 17 Direzione della forza peso
La forza peso che agisce sulla mela ha direzione perpendicolare alla superficie terrestre
e verso diretto verso il basso.

PROBLEMA La sonda Phoenix Mars Lander
La sonda automatica Phoenix Mars Lander è atterrata su Marte il 25 maggio 2008 dopo un viaggio durato più di
nove mesi. Il suo scopo era di esplorare l’ambiente marziano alla ricerca di tracce di acqua e di eventuali forme
microbiche di vita. Nell’estate 2008 la sonda ha rivelato la presenza di ghiaccio d’acqua su Marte. Phoenix Mars
Lander ha una massa di 350 kg. Qual è il suo peso sulla Terra e su Marte (dove g 3,69 N/kg)?
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA
La massa della sonda, che è la stessa sulla Terra e su Marte, è m 350 kg. Dobbiamo calcolare il peso, che dipende
dalla costante g. Questa vale 9,81 N/kg sulla Terra e 3,69 N/kg su Marte.
STRATEGIA
Usiamo la relazione tra massa e peso, P mg.
6. La forza elastica 15
SOLUZIONE
Il peso di Phoenix Mars Lander sulla Terra è: P Terra mg Terra (350 kg)(9,81 N/kg) 3,43 10 3 N
Il peso di Phoenix Mars Lander su Marte è: P Marte mg Marte (350 kg)(3,69 N/kg) 1,29 10 3 N
PROVA TU
Cerca su un libro di astronomia o su Internet i valori di g degli altri pianeti del sistema solare e calcola quale sarebbe
su questi pianeti il peso di una sonda avente la stessa massa del Phoenix Mars Lander.
6. La forza elastica
Per allungare una molla dobbiamo compiere un certo sforzo. Ciò è dovuto
al fatto che, quando viene allungata, la molla esercita sulla nostra mano
una forza di richiamo, detta forza elastica, che tende a riportarla alla
lunghezza iniziale, come mostrato in figura 18.
Supponiamo che allungando una molla di una quantità x essa eserciti
una forza di intensità F. Si può verificare che se allunghiamo la molla di
una quantità doppia 2x, la forza elastica diventa 2F, e così via (figura 19).
La forza elastica risulta essere quindi direttamente proporzionale all’allungamento.
Forza esercitata dalla mano
Forza elastica
FIGURA 18 Forza elastica di
una molla
La forza elastica della molla è una forza
di richiamo che tende a riportarla alla
sua lunghezza iniziale.
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16 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
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Analogamente, se comprimiamo la molla di una quantità x, la molla
spinge la mano con una forza elastica di intensità F, dove F ha lo stesso
valore del caso precedente. Come ci si può aspettare, una compressione
di 2x comporta una spinta della molla di intensità 2F. La differenza rispetto
al caso dell’allungamento è che il verso della forza è opposto (figura
20), dal momento che la molla tende comunque a tornare alla sua lunghezza
iniziale.
In conclusione possiamo dire che:
Una molla esercita una forza direttamente proporzionale alla quantità
x di cui è allungata o compressa. Se F è l’intensità della forza
elastica, possiamo scrivere:
F kx
In questa espressione k è la costante di proporzionalità e prende il nome
di costante elastica. Essendo F misurata in newton e x in metri, l’unità di
misura di k è il newton al metro, N/m.
Più grande è il valore di k, più rigida è la molla, cioè maggiore è la forza
alla quale dobbiamo sottoporre la molla per ottenere lo stesso allungamento.
La relazione precedente, che fornisce la forza di una molla, è nota come
legge di Hooke e prende il nome da Robert Hooke (1635-1703) che per
primo la formulò nel 1675. Si tratta di una legge empirica, non di una legge
fisica universale.
L
L
L
0
F
x
2F
2x
Allungamento 0
Forza 0
Allungamento x
Forza F
Estensione 2x
Forza 2F
▲ FIGURA 19 Forza esercitata da
una molla: allungamento
La forza di richiamo della molla è
proporzionale all’allungamento.
L è la lunghezza iniziale della molla.
x
2F
F
L
2x
x
0
Allungamento 0
Forza 0
Compressione x
Forza F
Compressione 2x
Forza 2F
▲ FIGURA 20 Forza esercitata da
una molla: compressione
Per una compressione x la forza elastica
è la stessa che per un allungamento di
uguale entità, ma il suo verso è opposto.
x

Ovviamente, non può valere per qualsiasi valore di x; ad esempio, sappiamo
che, se allunghiamo una molla oltre un certo limite, questa rimane
deformata permanentemente e non ritorna più alla sua lunghezza iniziale.
Tuttavia, per allungamenti e compressioni abbastanza piccoli, la legge
di Hooke è sufficientemente accurata.
Si parla di molle ideali per indicare le molle prive di massa che obbediscono
esattamente alla legge di Hooke.
D’ora in poi, per “molle” intenderemo sempre delle molle ideali.
Siamo ora in grado di capire il principio di funzionamento di un dinamometro
a molla. Se applichiamo una forza all’estremo libero di un dinamometro,
la molla al suo interno si allunga di una quantità direttamente proporzionale
alla forza applicata. La misura dell’allungamento della molla
letta sulla scala del dinamometro fornisce quindi indirettamente una misura
della forza.
Poiché il verso della forza elastica cambia a seconda che la molla venga
allungata o compressa, conviene riscrivere la legge di Hooke in forma
vettoriale. Se indichiamo con il vettore spostamento dell’estremità della
molla dalla posizione di equilibrio e con F la forza elastica, come mostrato
in figura 18, la legge di Hooke si scrive come:
!
x !
Legge di Hooke in forma vettoriale
Una molla che subisce uno spostamento dalla posizione di equilibrio
esercita una forza elastica data da:
F k
!
x !
dove k è la costante elastica della molla.
Il segno meno in questa relazione esprime il fatto che la forza elastica è
sempre opposta allo spostamento della molla dalla posizione di equilibrio.
ATTENZIONE
6. La forza elastica 17
La legge di Hooke è particolarmente
importante in fisica perché può essere
usata come modello per descrivere
una grande varietà di sistemi. Ad
esempio, i legami molecolari rappresentano
una sorta di “molle interatomiche”
che possono essere studiate
approssimativamente utilizzando la
legge di Hooke.
Molecola di
monossido
di carbonio CO
▲ Esistono molle di grandezza e foggia diverse. Le grandi molle del carrello ferroviario (a sinistra) sono così
rigide e pesanti che non si riescono a comprimere o allungare con le mani; tuttavia, ne sono necessarie quattro
per attenuare le vibrazioni della carrozza. Al contrario, la sottile molla a spirale del bilanciere di un orologio
(a destra) si flette anche con una leggerissima pressione; essa però esercita ugualmente una forza sufficiente
a mantenere in movimento il delicato meccanismo dell’orologio.
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18 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
FISICA INTORNO A NOI
I cerotti nasali
Molte persone usano i cerotti nasali per alleviare una
serie di problemi respiratori. Inizialmente introdotti
per eliminare il russamento, ora vengono utilizzati anche
per numerose altre funzioni; ad esempio, i dentisti
hanno scoperto che i cerotti nasali consentono ai pazienti
di respirare meglio durante le operazioni di cura
dentale, rendendo le sedute decisamente meno sgradevoli
sia per il dottore sia per il paziente; anche gli allevatori
di cavalli ne hanno scoperto i vantaggi e hanno
cominciato ad applicare cerotti di grandi dimensioni ai
cavalli da corsa per ridurre l’affaticamento e lo stress
polmonare.
Uno dei più grandi vantaggi dei cerotti nasali è che non
richiedono l’utilizzo di alcun tipo di farmaco. Un cerotto
nasale è un dispositivo puramente meccanico, com-
Piattaforma
mobile
Cerotto nasale
Molle di poliestere
Linguetta adesiva
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ESEMPIO
Due molle 1 e 2 hanno rispettivamente costante elastica k 1 0,2 kN/m e
k 1 0,1 kN/m. La legge di Hooke per queste molle è rappresentata in figura.
Se si applica a entrambe le molle la stessa forza F 4 N, l’allungamento della
molla 1 è:
F 4N
x =
0,02 m
k1 0,2 10 3 N/m
mentre l’allungamento della molla 2 è:
F 4N
x =
0,04 m
k2 0,1 10 3 N/m
cioè il doppio.
Nota che quanto più grande è la costante
elastica, tanto più è rapida la retta che descrive
la legge di Hooke.
Massa
Riga graduata
posto da due molle piatte di poliestere, inserite in una
fascetta adesiva. Quando viene applicato al naso, le
molle esercitano una forza verso l’esterno, che allarga le
narici e riduce la resistenza che il flusso d’aria incontra
durante l’inspirazione.
Per misurare il comportamento di questi cerotti si utilizza
il dispositivo mostrato nella figura a). Ponendo sulla
piattaforma mobile una certa massa, il cerotto si comprime.
La forza elastica che esso esercita uguaglia il peso
della massa posta sulla piattaforma. La figura b) è un
tipico grafico che illustra la relazione tra la massa applicata
(proporzionale alla forza elastica) e la compressione
di un cerotto. Si vede che, sebbene la relazione non
sia lineare, ci sono tre regioni (I, II, III) in cui il comportamento
è quello predetto dalla legge di Hooke.
a) b)
Massa applicata (g)
50
40
30
20
10
0
I
F (N)
5
4
3
2
1
0
II
Molla 1
F k1x 1 2 3 4 5 6
x (cm)
III
F k 2x
10 20 30 40 50
Compressione (mm)
Molla 2

7. Forze di attrito
Anche la più liscia delle superfici, se osservata a livello atomico, risulta
scabra e dentellata, come mostrato in figura 21. Per far scorrere due superfici
l’una sull’altra, occorre superare la resistenza dovuta agli urti fra i
loro microscopici avvallamenti. Questa resistenza è l’origine della forza
che chiamiamo attrito.
Poiché l’attrito dipende da molti fattori – il materiale, la finitura delle superfici,
la presenza di lubrificanti, ecc. – non esiste una legge fisica semplice
e universale che lo descriva. Ci sono, però, alcune utilissime leggi
empiriche che permettono di calcolare le forze d’attrito. Illustreremo queste
regole per i tipi di attrito più comuni.
Una prima distinzione è quella fra l’attrito che si manifesta quando un
corpo scivola su una superficie, detto attrito radente, e l’attrito che si manifesta
quando un corpo rotola su una superficie, detto attrito volvente.
L’attrito volvente è molto meno intenso dell’attrito radente tra le stesse
superfici.
Noi ci occuperemo dell’attrito radente, che a sua volta si distingue in attrito
dinamico (che si oppone allo scorrimento di un corpo su una superficie)
e in attrito statico (che si oppone al distacco di un corpo a contatto
con una superficie).
Attrito dinamico
L’attrito dinamico, come dice il nome, si manifesta quando un corpo si
muove scivolando su una superficie. La forza di attrito dinamico f d, dovuta
al contatto tra la superficie del corpo e quella su cui esso si muove,
agisce in maniera da opporsi allo scivolamento del corpo.
Si può verificare sperimentalmente che la forza di attrito dinamico non
dipende né dall’area della superficie di contatto né dalla velocità del corpo,
ma solo dalla forza che agisce perpendicolarmente sulla superficie, la
cosiddetta forza premente.
7. Forze di attrito 19
Osservata a
livello microscopico…
… anche una superficie “liscia” è ruvida.
▲ FIGURA 21 L’origine dell’attrito
Anche le superfici “lisce” presentano
delle irregolarità quando vengono
osservate a livello microscopico.
Questo tipo di rugosità determina
l’attrito fra le superfici.
ATTENZIONE
L’attrito si oppone allo scivolamento
di due superfici ma non sempre si
oppone al moto di un corpo. La forza
di attrito tra il piede di un corridore
e il terreno impedisce lo scivolamento
all’indietro ed è quindi
diretta nel verso del moto del piede.
Spesso pensiamo all’attrito come
a qualcosa che deve essere ridotto
o addirittura, se possibile, eliminato.
Circa il 20% del carburante che
consumiamo nelle nostre automobili
viene utilizzato per superare le forze
di attrito interne del motore.
Per ridurre questo attrito è importante
che il motore sia ben lubrificato.
In altre situazioni l’attrito può essere
utile o addirittura indispensabile.
Ad esempio, percorrendo una curva,
un’auto si mantiene in traiettoria
proprio grazie all’attrito tra i suoi
pneumatici e la superficie stradale.
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20 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
ATTENZIONE
C’è un’ulteriore forma di attrito, detta
attrito del mezzo, che si oppone al
moto di un corpo in un mezzo fluido
(gas o liquido). L’attrito del mezzo,
ad esempio quello dovuto all’aria,
dipende dalla velocità del corpo.
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Forza premente su una superficie
La forza premente su una superficie è la componente perpendicolare
della forza che agisce sulla superficie.
In termini matematici, la legge dell’attrito dinamico è:
f d m dF p
dove F p è la forza premente.
La costante di proporzionalità m d viene detta coefficiente di attrito dinamico.
Poiché f d e P sono entrambe forze e hanno la stessa unità di misura,
m d è un numero adimensionale; i suoi valori tipici variano fra 0 e 1 e alcuni
di essi sono riportati in tabella 1. Da un punto di vista vettoriale, la
forza di attrito dinamico è parallela alla superficie di contatto e ha verso
opposto a quello dello scorrimento, come mostrato in figura 22.
Se il corpo che scivola sulla superficie non è soggetto ad alcuna forza
esterna, la forza premente F p è semplicemente data dal suo peso. In questo
caso particolare si ha:
f d m dP (caso particolare)
Supponiamo ora di premere con la mano sul corpo, come in figura 22b. In
questo caso sulla superficie agisce, oltre alla forza peso del corpo, anche
la forza F esercitata dalla nostra mano, e la forza premente diventa:
F p F P
Consideriamo per finire un’altra situazione molto comune, lo scivolamento
di un corpo lungo un piano inclinato. Come mostrato in figura 23,
f d
f d
… aumenta la forza
di attrito dinamico
P
P
F
Premendo con la mano...
▲ FIGURA 22 La forza di attrito dinamico
a) La forza di attrito dinamico che agisce su un mattone che scorre su una superficie
orizzontale. La forza premente F p è data dal peso P del corpo: F p P.
b) Premendo con una mano sul mattone, la forza di attrito dinamico aumenta, perché
la forza premente è F p F P.
a)
b)
direzione del moto
direzione del moto

la forza premente è la componente della forza peso perpendicolare al piano,
che è inferiore al modulo P della forza peso. È solo questa componente
che contribuisce alla forza d’attrito. Dalla figura si vede che, se u è l’angolo
di inclinazione del piano, la forza premente è F p P cos u ed è
sempre minore del peso P. La forza d’attrito, che è proporzionale a F p, è
quindi minore su un piano inclinato che su un piano orizzontale.
Riassumiamo in conclusione le leggi empiriche dell’attrito dinamico:
Leggi empiriche dell’attrito dinamico
La forza di attrito dinamico tra un corpo e una superficie:
1) è indipendente dall’area della superficie di contatto e dalla velocità
del corpo;
2) è proporzionale alla forza premente sulla superficie, fd mdFp; 3) è parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto a
quello del moto.
Attrito statico
L’attrito statico tende a impedire che un oggetto fermo su una superficie si
distacchi da essa, cominciando a scivolare. Anche questo tipo di attrito, come
quello dinamico, è dovuto alle microscopiche irregolarità delle superfici
a contatto. L’attrito statico è generalmente maggiore di quello dinamico
perché, quando le superfici sono in contatto statico, i loro microscopici avvallamenti
possono aderire maggiormente l’uno all’altro, determinando
una forte interazione fra le due superfici, dovuta ai legami molecolari.
Consideriamo un mattone fermo su un tavolo, come mostrato in figura
24 a pagina seguente. Se tiriamo il mattone con una forza così piccola da
non riuscire a farlo muovere, sul mattone agisce una forza di attrito stati-
co f S
s che tende a mantenerlo fermo, essendo uguale e opposta alla forza
che applichiamo sul mattone. Aumentiamo ora gradualmente l’intensità
della forza applicata. Fino a che il mattone rimane fermo, aumenta anche
la forza di attrito statico, che continua a compensare quella applicata. A
un certo punto il mattone comincia a muoversi e in quel momento la forza
di attrito statico raggiunge il suo valore massimo, che indicheremo con
f s,max. Successivamente, l’attrito diventa dinamico. La f s,max è detta forza
massima di attrito statico, o forza di attrito al distacco.
TABELLA 1 Alcuni valori tipici dei coefficienti di attrito
Materiale
Gomma su cemento (asciutto)
Acciaio su acciaio
Vetro su vetro
Legno su pelle
Gomma su cemento (bagnato)
Sci sciolinati su neve
Articolazione del ginocchio
Attrito dinamico
M d
0,80
0,57
0,40
0,40
0,25
0,05
0,003
Attrito statico
M s
1-4
0,74
0,94
0,50
0,30
0,10
0,01
f d
7. Forze di attrito 21
F p
▲ FIGURA 23 La forza di attrito
dinamico su un piano inclinato
u
P
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u

22 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
FIGURA 24 Il limite massimo
dell’attrito statico
Man mano che la forza applicata a un
oggetto fermo su un piano aumenta,
aumenta anche la forza di attrito
statico, il cui valore aumenta fino a
un certo limite. Oltre questo valore
massimo, l’attrito statico non può
più trattenere l’oggetto, che inizia a
scivolare sul piano; da questo momento
in poi subentra l’attrito dinamico.
▲ Il coefficiente di attrito statico tra
due superfici dipende da molti fattori,
incluso il fatto che le superfici siano
asciutte o bagnate. Nel deserto della
Valle della Morte, in California, ad
esempio, le rare ma forti piogge
rendono viscido il terreno sabbioso e
possono a volte ridurre l’attrito tra le
rocce e il terreno in modo tale che i forti
venti possono trascinare le rocce anche
per distanze considerevoli. Il risultato è
evidente nelle “scie di roccia” che
registrano la direzione del vento.
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L’attrito statico può avere intensità uguale a 0…
Mattone fermo
… o maggiore di 0…
… fino a un valore massimo.
Mattone sul punto di muoversi
fs,max F2 Appena l’oggetto inizia a scivolare sul piano, l’attrito diventa dinamico
ed è minore del massimo attrito statico.
Mattone in moto
Si trova sperimentalmente che la forza massima di attrito statico non dipende
dall’area della superficie di contatto ed è direttamente proporzionale
alla forza premente:
f s,max m sF p
f s 0
f s F 1
f d
Mattone fermo
La costante di proporzionalità m s viene detta coefficiente di attrito statico.
Notiamo che m s, come m d, è adimensionale. Alcuni tipici valori di m s sono
riportati nella tabella 1, accanto ai valori del coefficiente di attrito dinamico
m d. Come si può vedere dalla tabella, in genere m s è maggiore di m d e
questo significa che la forza di attrito statico è maggiore della forza di attrito
dinamico, come accennato in precedenza; in particolare per alcuni
materiali, ad esempio nel caso di uno pneumatico a contatto con il cemento
asciutto, m s può essere maggiore di 1.
La direzione di f S
s è parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto
a quello in cui si muoverebbe l’oggetto se non ci fosse l’attrito.
Queste osservazioni possono essere riassunte nelle seguenti leggi empiriche
dell’attrito statico:
Leggi empiriche dell’attrito statico
La forza di attrito statico tra un corpo e una superficie:
1) è indipendente dall’area della superficie di contatto;
2) può assumere un qualsiasi valore tra zero e la forza massima di
attrito statico fs,max msFp; 3) è parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto a
quello in cui si muoverebbe il corpo in assenza di attrito.
0
0
0
F 1
F 2
F

Obiettivo
LABORATORIO
1
Verificare la regola del parallelogramma
per la somma vettoriale
delle forze.
Materiale occorrente
o Tre dinamometri a molla
uguali, di sensibilità 1 N
o Foglio di carta da disegno
o Righello
o Anello metallico
o Base di legno
o Matita
Osservazioni
Somma vettoriale di forze
Procedimento
Disegna sul foglio due vettori 1 ed 2 con la coda coincidente, lunghi rispettivamente
8 cm e 12 cm. Questi vettori, che formano tra loro un certo
angolo (diciamo 60º) rappresenteranno due forze. Applica la regola del
parallelogramma per disegnare la loro risultante . Il vettore opposto,
, è per costruzione la forza equilibrante, cioè la forza che sommata
a 1 ed 2 dà zero:
1 2 0
Disegna . Con un righello misura la sua lunghezza.
Fissa il foglio sulla base di legno.
Metti l’anello sul punto di applicazione delle forze e aggancia all’anello i
tre dinamometri.
Chiedi a due compagni di tirare due dinamometri lungo la direzione di 1
ed 2 applicando rispettivamente delle forze di 4 N e 6 N. Tieni fisso l’anello
sopra il punto di applicazione servendoti di una matita.
Prendi il terzo dinamometro e tiralo nella direzione di fino a che l’anello
non rimane fermo sul punto di applicazione anche togliendo la matita.
Leggi sul dinamometro l’intensità della forza equilibrante e confronta
questo valore con la lunghezza precedentemente misurata di E . Le due
misure sono compatibili, tenendo conto delle incertezze legate alla sensibilità
degli strumenti?
!
E !
F !
F !
E !
E !
F !
F !
F ! E ! R!
F !
R !
F !
F !
Per confrontare l’intensità della forza equilibrante con la lunghezza del vettore che rappresenta questa
forza, occorre tener presente che, ad esempio, un vettore lungo 8 cm rappresenta una forza di 4 N.
Quindi sul foglio da disegno 1 cm corrisponde a 0,5 N.
Quesiti
Quali sono le possibili fonti di errori sistematici in questo esperimento?
Ripeti l’esperimento disegnando questa volta due vettori perpendicolari 1 ed F 2 di lunghezza 8 cm
e 12 cm. Quanto è lungo il vettore che rappresenta la forza equilibrante? Usando la stessa scala di prima
(1 cm : 0,5 N), a quale intensità corrisponde questa lunghezza?
!
F !
E
F 2
F 1
R
LABORATORIO 23
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24 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
Obiettivo
LABORATORIO
2
Costante
Determinare la costante elastica
di una molla e verificare la legge
di Hooke.
Materiale occorrente
o Sostegno con gancio
o Asta graduata con cursori
o Molla
o Varie masse di entità nota
Osservazioni
elastica di una molla
e legge di Hooke
Procedimento
Monta il sostegno e appendi al gancio la molla. Dopo aver sistemato accanto
al sostegno l’asta graduata, prendi nota con un cursore del livello a
cui arriva l’estremità della molla.
Aggancia alla molla, una per volta,
una serie di masse di varia entità e rileva
sull’asta graduata l’allungamento
della molla.
Compila una tabella a quattro colonne con i valori noti delle masse (m) e
delle forze peso (P mg), i valori misurati degli allungamenti (x) e i valori
calcolati del rapporto k P/x. Questo rapporto si mantiene costante?
Massa (kg) Forza (N) Allungamento (m) k (N/m)
Costruisci un grafico cartesiano riportando in ascissa gli allungamenti e
in ordinata le forze peso. Se la molla segue la legge di Hooke P kx, il
coefficiente k precedentemente calcolato è la costante elastica della molla
e il grafico forza-allungamento è lineare.
Puoi usare il grafico forza-allungamento ottenuto in questo esperimento come curva di taratura della
molla. Aggancia alla molla una massa incognita che vuoi determinare e misura l’allungamento che essa
produce. Leggi dal grafico il valore della forza peso P corrispondente a questo allungamento e calcola la
massa m usando la relazione m P/g.
Quesiti
Se continui ad aumentare il valore delle masse appese, la proporzionalità tra P e x rimane valida?
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SINTESI DEL CAPITOLO
1. Grandezze scalari e vettoriali
Grandezza scalare
Una grandezza scalare è una grandezza fisica espressa da
un numero accompagnato da un’unità di misura.
Grandezza vettoriale
Una grandezza vettoriale è una grandezza fisica rappresentata
da un vettore, che è un ente matematico definito
da un modulo (non negativo), da una direzione e da un
verso.
2. Operazioni con i vettori
Somma di vettori
Dati due vettori e il vettore somma si indica con
B .
I vettori si sommano graficamente con il metodo puntacoda
o con la regola del parallelogramma.
!
A !
C !
C !
B !
A !
Metodo punta-coda
Per sommare i vettori e con il metodo punta-coda, si
dispone la coda di sulla punta di : la somma
è il vettore che va dalla coda di alla punta di B .
!
A !
B !
A !
C !
A !
B ! B !
A !
Regola del parallelogramma
Per sommare i vettori e con la regola del parallelogramma,
si fanno coincidere le loro code e si disegna il
parallelogramma che ha come lati i due vettori: il vettore
somma B è la diagonale del parallelogramma.
!
A !
C !
B !
A !
Vettore opposto
L’opposto di un vettore si ottiene ribaltando il verso del
vettore e mantenendo inalterati il modulo e la direzione.
Differenza di due vettori
Dati due vettori e , il vettore differenza B si
ottiene addizionando al primo vettore l’opposto del secondo.
!
A !
D !
B !
A !
D
A
B
A
B
C
Opposto
del vettore B
B
Moltiplicazione di un vettore per un numero
Moltiplicando un vettore per un numero, la direzione del
vettore non cambia, il suo modulo è moltiplicato per il valore
assoluto di quel numero e il verso rimane lo stesso se il
numero è positivo, mentre si inverte se il numero è negativo.
3. Componenti cartesiane di un vettore
Scomposizione di un vettore lungo due rette qualsiasi
Scomporre un vettore lungo due rette significa trovare
due altri vettori diretti lungo le rette, la cui somma sia il
vettore dato. Per effettuare questa scomposizione si usa la
regola del parallelogramma.
Scomposizione di un vettore lungo gli assi cartesiani
La scomposizione di un vettore lungo i due assi perpendicolari
di un sistema di coordinate cartesiane dà origine
a due vettori x e y. Le componenti cartesiane di
sono le lunghezze Ax e Ay, alle quali è attribuito un segno
positivo o negativo a seconda che i vettori x e y siano
diretti nel verso positivo o nel verso negativo degli assi x
e y, rispettivamente. La direzione del vettore A è individuata
dall’angolo u che esso forma con l’asse x.
!
A !
A !
A !
A !
A !
A !
A y
O
y
A
u
Seno e coseno di un angolo
In riferimento al triangolo rettangolo in figura:
il seno dell’angolo u è uguale al rapporto tra il cateto
opposto all’angolo e l’ipotenusa:
b
sen u : b c sen u
c
il coseno dell’angolo u è uguale al rapporto tra il cateto
adiacente all’angolo e l’ipotenusa
a
cos u : a c cos u
c
c
b
Le componenti cartesiane A x e A y sono legate al modulo A
e all’angolo u dalle relazioni:
Ax A cos u
Ay A sen u
A x
SINTESI DEL CAPITOLO 25
Angolo formato dal
vettore A con l’asse x
x
u
a
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26 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
Il modulo A e l’angolo u si ottengono dalle componenti
cartesiane attraverso le equazioni:
A
u cos1 u sen1a Ay A b
a Ax A b
Somma vettoriale per componenti
Per sommare due vettori si sommano le loro componenti
cartesiane. Se B , allora Cx Ax Bx e Cy Ay By. !
A !
C !
4. Le forze
Le forze sono grandezze vettoriali.
Ci sono forze di contatto, come la forza che agisce su un oggetto
che viene spinto, e forze a distanza, come la forza di
gravità.
L’effetto delle forze è di modificare il moto dei corpi, o di
produrre delle deformazioni (anch’esse riconducibili a
cambiamenti del moto a livello microscopico).
La misura delle forze
Uno strumento di misura dell’intensità delle forze è il dinamometro
a molla, il cui funzionamento è basato sull’allungamento
che una forza produce quando è applicata a
una molla.
Il dinamometro è dotato di una scala graduata che permette
di leggere l’intensità della forza.
Il newton
L’unità di misura della forza è il newton (N). Il newton è
definito come la forza che applicata a un dinamometro
produce un allungamento uguale a quello prodotto da
una massa appesa di (1/9,81) kg.
5. La forza peso
Il peso P di un oggetto sulla superficie terrestre è la forza
gravitazionale esercitata su di esso dalla Terra. Essendo
una forza, il peso si misura in newton.
In un determinato luogo, il peso P e la massa m di un oggetto
sono direttamente proporzionali. La loro relazione è:
P mg
2A x 2 + Ay 2
dove g è una costante di proporzionalità che sulla superficie
terrestre vale 9,81 N/kg (ma varia leggermente con la
latitudine e con l’altezza rispetto al livello del mare).
Massa e peso
È importante distinguere i concetti di peso e massa: il peso
è la forza gravitazionale, misurata in newton, la massa
è una quantità invariante tipica di ogni corpo, misurata in
kilogrammi.
6. La forza elastica
Se allunghiamo o comprimiamo una molla, essa esercita
una forza di richiamo, detta forza elastica, che tende a riportare
la molla alla lunghezza iniziale.
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La forza elastica F è direttamente proporzionale all’allungamento
(o compressione) x della molla, secondo la legge
di Hooke:
F kx
dove la costante di proporzionalità k prende il nome di
costante elastica della molla.
7. Forze di attrito
Forza esercitata dalla mano
Forza elastica
L’attrito è una forza che si oppone allo scivolamento di
due superfici a contatto.
Quando un corpo striscia su una superficie si parla di attrito
radente, quando un corpo rotola su una superficie, si
parla di attrito volvente. L’attrito volvente è molto meno
intenso dell’attrito radente tra le stesse superfici.
L’attrito radente si distingue in attrito dinamico e in attrito
statico.
Attrito dinamico
L’attrito dinamico si oppone allo scorrimento di un corpo
su una superficie.
La forza di attrito dinamico tra un corpo e una superficie:
1) è indipendente dall’area della superficie di contatto e
dalla velocità del corpo;
2) è proporzionale alla forza premente sulla superficie,
fd mdFp; 3) è parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto
a quello del scorrimento del corpo sulla superficie.
La forza premente su una superficie è la componente perpendicolare
della forza totale che agisce su quella superficie.
Nel caso di un corpo posto su una superficie e non
soggetto ad altre forze, la forza premente coincide col peso
P del corpo.
La costante di proporzionalità m d è detta coefficiente di
attrito dinamico.
Attrito statico
L’attrito statico tende a impedire che un oggetto fermo su
una superficie si distacchi da essa.
La forza di attrito statico tra un corpo e una superficie:
1) è indipendente dall’area della superficie di contatto;
2) può assumere un qualsiasi valore tra zero e la forza
massima di attrito statico fs,max msFp; 3) è parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto
a quello in cui si muoverebbe il corpo in assenza
di attrito.
La costante di proporzionalità m s è detta coefficiente di
attrito statico.
Il coefficiente di attrito statico tra due superfici è maggiore
del coefficiente di attrito dinamico tra le stesse superfici.

TEST
1 Quale delle seguenti grandezze fisiche è una grandezza
vettoriale?
Massa.
B Volume.
C Velocità.
D Temperatura.
2 Qual è l’angolo compreso fra il vettore e il vettore
se le code dei due vettori coincidono?
A 90° C 360°
B 0° D 180°
3 Se e A B C, come sono orientati e
B l’uno rispetto all’altro?
A Hanno la stessa direzione e verso opposto.
B Hanno la stessa direzione e lo stesso verso.
C Sono perpendicolari.
D Formano un angolo di 45º.
!
A !
C !
B !
A !
A !
A !
A
4 Un aereo percorre 120 km in direzione nord, poi 50
km in direzione ovest, infine 130 km in direzione
sud-est. Qual è il modulo dello spostamento totale?
A 40 km
B 0 km
C 300 km
D 200 km
5 Un vettore ha componenti Ax 3 m e Ay 4 m.
Qual è il modulo di A ?
A 7 m
B 5 m
C 1 m
D 12 m
! A !
6 Quale delle seguenti affermazioni è vera?
A Un vettore può avere modulo positivo o negativo.
B Il modulo di un vettore non può essere maggiore
di una delle componenti cartesiane del vettore.
C Il modulo di un vettore non è mai uguale a una
delle componenti del vettore.
D Il modulo di un vettore non può essere uguale a
zero a meno che le componenti del vettore non
siano nulle.
7 Le componenti dei vettori ed sono rispettivamente
Mx 1, My 1 e Nx 2, Ny 4. Le componenti
del vettore N sono:
A (1 ; 5)
B (1 ; 5)
C (0 ; 4)
D (3 ; 3)
!
M !
N !
M !
ESERCIZI E PROBLEMI 27
8 Due forze perpendicolari hanno uguale intensità F.
Quanto vale l’intensità della risultante delle due forze?
A 2F C F
B 0 D F
9 Una forza F ha componenti cartesiane Fx 100 N,
Fy 100 N. L’angolo che essa forma con l’asse delle
ascisse vale:
A 45º C 90º
B 0º D 30º
!
22
10 Un ragazzo ha una massa di 60 kg. Sapendo che la
costante g della Luna è all’incirca un sesto di quella
terrestre, quale sarebbe il peso approssimativo del
ragazzo sulla Luna?
A 60 N C 360 N
B 100 N D 10 N
11 Un astronauta di massa 80 kg passeggia su un pianeta
sul quale il suo peso è 296 N.
Quanto vale la costante g su quel pianeta?
A 1,0 N/kg
B 1,6 N/kg
C 3,7 N/kg
D 9,8 N/kg
12 Una massa di 1 kg appesa a una molla ideale produce
un allungamento di 10 cm. Qual è l’ordine di
grandezza della costante elastica della molla?
A
B
C
D
1 N/m
10 1 N/m
10 2 N/m
10 N/m
13 Se una molla si allunga di 6 cm applicando una forza
di 9 N, di quanto si allunga applicando una forza
di 6 N?
A 8 cm C 2 cm
B 4 cm D 1 cm
6 cm
10 cm
9 N
1 kg
6 N
?
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28 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
14 Una massa di 100 g è agganciata a una molla verticale
di costante elastica k 20 N/m. Di quanto si allunga
approssimativamente la molla?
A 5 cm C 50 cm
B 10 cm D 1 cm
15 Due parallelepipedi omogenei dello stesso materiale,
l’uno di lunghezza 10 cm, larghezza 10 cm e altezza
5 cm, l’altro di lunghezza 25 cm, larghezza 10
cm e altezza 2 cm, scivolano su un piano. Che cosa si
può dire delle forze di attrito dinamico che agiscono
sui due parallelipedi?
A L’intensità della forza di attrito sul primo parallelepipedo
è maggiore.
QUESITI
1 Indica se ciascuna delle seguenti grandezze è scalare
o vettoriale:
a) il tempo che impieghi per andare da casa a scuola;
b) lo spostamento da casa al cinema;
c) la forza peso di questo libro;
d) l’area di questa pagina.
2 Quali dei vettori disegnati in figura sono uguali?
O
y
A
C
G H
F
K L
3 Sapendo che B 0, che cosa puoi dire:
a) del modulo dei due vettori?
b) della direzione e del verso dei due vettori?
!
A !
4 Una componente cartesiana di un vettore può essere
più grande del modulo del vettore stesso?
5 Un vettore di modulo uguale a zero può avere una o
entrambe le componenti cartesiane diverse da zero?
6 Supponi che e abbiano moduli non nulli. È possibile
che sia uguale a zero?
7 Il vettore ha le componenti cartesiane x e y uguali.
Che cosa puoi dire a proposito delle possibili direzioni
di ?
8 Se e A2 B2 C2 , come sono orientati
e B l’uno rispetto all’altro?
!
A !
C !
B !
A !
A !
A !
B !
A ! B !
A !
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I
D
B
J
E
x
B
C
D
L’intensità della forza di attrito sul secondo parallelepipedo
è maggiore.
Le forze di attrito sui due parallelepipedi hanno
la stessa intensità.
I dati non sono sufficienti a dare una risposta.
16 Due scatole di scarpe identiche, l’una vuota, l’altra
piena, sono appoggiate su un tavolo. Per quale delle
due scatole è maggiore la forza di attrito al distacco?
A Per la scatola vuota.
B Per la scatola piena.
C La forza è la stessa per le due scatole.
D Dipende dal materiale di cui è fatto il tavolo.
9 Due forze 1 ed 2 hanno modulo F1 8 N e F2 5 N.
Se il modulo della risultante è R 3 N, come sono
orientate 1 ed F 2 l’una rispetto all’altra?
!
F !
F !
F !
10 Utilizza un disegno per dimostrare che la risultante
di due forze di intensità diversa non può essere nulla,
mentre la risultante di tre forze di intensità diversa
può essere nulla.
11 È possibile che su un corpo agiscano più forze senza
produrre alcun effetto?
12 Qual è la differenza tra massa e peso?
13 Quando un alpinista scala una vetta, che cosa succede
al suo peso?
14 Qual è l’unità di misura della costante elastica di
una molla?
15 Due molle hanno una diversa costante elastica. Se si
applica la stessa forza, quale delle due molle si comprime
di più?

16 Fornisci alcuni esempi di situazioni della vita quotidiana
nelle quali l’attrito è un fattore utile.
PROBLEMI
1 •
Operazioni con i vettori.
Componenti cartesiane di un vettore
PROBLEMA GUIDATO
Dati due generici vettori non paralleli e , determina
graficamente il vettore tale che B 0.
!
A !
C !
C !
B !
A !
SOLUZIONE
Disegna i due vettori:
Da 0 si ricava: ( )
Determina la somma B con la regola del parallelogramma:
!
A !
B !
A !
C !
B !
A !
C !
A
B
A B
Il vettore C è l’opposto del vettore somma :
!
B !
A !
A
C
B
B
A
A B
17 Perché la forza di attrito statico è più intensa della
forza di attrito dinamico?
18 L’auto di un insegnante è bloccata su una strada, resa
scivolosa dal ghiaccio. Alcuni studenti che stanno
andando a scuola si rendono conto della difficile situazione
e decidono di aiutare l’insegnante sedendosi
sul cofano dell’automobile per aumentarne la
trazione.
Perché questo comportamento è di aiuto?
2 •
3 •
4 •
5 •
Facendo riferimento ai vettori disegnati in figura rispondi
alle seguenti domande:
a) il modulo di è maggiore, minore o uguale a
quello di ?
b) Il modulo di è maggiore, minore o uguale a
quello di A ?
!
F ! A !
E ! A !
E ! A ! D !
O
y
A
B
ESERCIZI E PROBLEMI 29
C D
[a) minore; b) uguale]
Nella sua passeggiata quotidiana, un gatto compie
uno spostamento di 120 m verso nord, seguito da un
altro di 72 m verso ovest. Disegna i vettori spostamento
e determina il modulo dello spostamento totale.
[s 140 m]
Se è un vettore di modulo 12,1 m che punta nel verso
delle x positive e è un vettore di modulo 32,2 m
che punta nel verso delle y negative, quanto vale il
modulo del vettore 2A ? [40,3 m]
!
B !
B !
A !
Due vettori sono perpendicolari. Supponi che vengano
entrambi moltiplicati per 2.
a) Come varia il modulo del vettore somma?
b) Come varia l’angolo di direzione del vettore somma?
[a) il modulo del vettore somma raddoppia;
b) l’angolo di direzione non varia]
F
E
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x

30 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
6 •
7 •
8 •
9 •
10 •
Un cliente in un supermercato si muove seguendo
il percorso indicato dai vettori A , , e nella figura.
Sapendo che i vettori hanno modulo A 15 m,
B 13,5 m, C 10,5 m e D 4 m, calcola lo spostamento
totale del cliente.
! B ! C ! D !
[s 12,4 m]
Due vettori e formano un angolo di 60º.
a) Qual è l’angolo che formano i vettori e 3 ?
b) Qual è l’angolo che formano i vettori 3A e ?
[a) 120º; b) 120º]
! B ! A !
B !
A ! B !
Osserva i vettori disegnati in figura:
O
y
A
D
A
B
D C
a) Elenca i vettori in ordine crescente rispetto al loro
modulo.
b) Elenca i vettori in ordine crescente rispetto alla loro
componente x.
[a) B C A D; a) D x C x B x A x]
Un automobilista sta guidando su una lunga strada
inclinata. Dopo 2,40 km nota che i segnali stradali a
fianco della carreggiata indicano che la sua altitudine
è aumentata di 160 metri.
a) Qual è l’angolo che la strada forma con il piano
orizzontale?
b) Quanta strada deve ancora percorrere se vuole aumentare
la sua altitudine di altri 45 metri?
[a) 3,76°; b) 690 m]
Nel baseball il “diamante” è un quadrato di lato lungo
27 m. Se il verso positivo dell’asse x punta dalla
casa base alla prima base e il verso positivo dell’asse
y dalla casa base alla terza base, scrivi in termini di
componenti il vettore posizione di un giocatore
quando:
a) si trova in seconda base;
b) si trova in terza base;
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C
B
x
11
•
12
••
13
••
c) ha fatto un giro completo ed è tornato alla casa base.
terza
base
y
casa
base
27 m
prima base
[a) x 27 m, y 27 m; b) x 0 m, y 27 m;
c) x 0 m, y 0 m]
Nella figura sono illustrate due delle mosse consentite
al cavallo nel gioco degli scacchi. Se i quadrati
della scacchiera sono di 3,5 cm di lato, determina il
modulo e la direzione dello spostamento del cavallo
per ognuna delle due mosse.
1
2
seconda base
27 m
[mossa 1: s 7,8 cm, u 153°; mossa 2: s 7,8 cm, u 63°]
Un operatore della torre di controllo osserva due aerei
in avvicinamento all’aeroporto. La posizione dell’aereo
1 rispetto alla torre di controllo è individuata dal
vettore , che ha modulo A 220 km e punta in direzione
di 32° da ovest verso nord. La posizione dell’aereo
2 rispetto alla torre è individuata dal vettore che
ha modulo 140 km, e punta 65° da nord verso est.
a) Disegna i vettori , e . Osserviamo
che il vettore rappresenta la posizione dell’aereo
1 rispetto all’aereo 2.
b) Calcola modulo e direzione del vettore D .
[b) D 320 km; uD 10° da ovest verso nord]
!
! A! B
D ! D ! A !
B !
B !
A !
La figura mostra schematicamente la struttura di
una molecola di acqua. La distanza fra il centro dell’atomo
di ossigeno e il centro dell’atomo di idrogeno
è di 0,96 Å e l’angolo fra i due atomi di idrogeno è
di 104,5°. Determina la distanza fra i centri dei due
atomi di idrogeno (1 Å 10 10 m).
Idrogeno
0,96 Å
104,5°
Ossigeno
x
Idrogeno
[1,5 Å]

14
••
15
••
16
••
17
••
18
••
Le componenti x e y di un vettore r sono rispettivamente
rx 14 m ed ry 9,5 m.
a) Determina direzione, verso e modulo del vettore .
b)Se rx ed ry vengono raddoppiate, come si modificano
direzione, verso e modulo del vettore?
[a) u 34°, cioè 34° sotto l’asse x; r 17 m; b) direzione
e verso rimangono uguali, il modulo raddoppia]
Il vettore ha modulo pari a 50 unità ed è diretto lungo
l’asse x positivo. Un secondo vettore, , ha modulo
pari a 120 unità e direzione che forma un angolo di
70° al di sotto dell’asse x. Quale tra i due vettori ha:
a) la componente x maggiore;
b) la componente y maggiore?
[a) Ax Bx, infatti Ax 50 unità, Bx 41 unità;
By Ay, infatti Ay 0, By 113 unità]
!
B !
A !
r !
La mappa di un tesoro ti indica di partire da un albero
di palma e di camminare verso nord per 15,0 m;
poi devi girarti di 90° e camminare per 22,0 m, quindi
voltarti ancora di 90° e camminare per altri 5,00 m.
Calcola la distanza dalla palma e la direzione relativa
al nord per ognuno dei quattro possibili luoghi in cui
si può trovare il tesoro.
A
B
[1) rA 29,7 m, uA 47,7° da nord verso ovest;
2) rB 24,2 m, uB 65,6° da nord verso ovest;
3) rC 29,7 m, uC 47,7° da nord verso est;
4) rD 24,2 m, uD 65,6° da nord verso est]
Il vettore punta nel verso negativo dell’asse y e ha
un modulo di 5 unità. Il vettore ha modulo doppio
e punta nel verso positivo dell’asse x. Trova la direzione
e il modulo di:
a) ;
b) ;
c) B .
[a) 525 unità, 27°; b) 525 unità, 153° c) 525 unità, 27°]
! A ! A !
B ! A !
B !
B !
A !
Una balena emerge dall’acqua per respirare e successivamente
si immerge con un angolo di 20,0° sotto
l’orizzontale, come mostrato in figura. Se la balena
continua a muoversi in linea retta per 150 m:
a) che profondità raggiunge?
b) di quanto si è spostata orizzontalmente?
20,0°
22,0 m 22,0 m
uA
15,0 m
5,0 m
r A
C
B
Albero di palma
[a) 51 m; b) 140 m]
19 •
20 •
21
•
Le forze. La misura delle forze
Un disco da hockey è sottoposto a una o più forze,
come mostrato in figura. Disponi i quattro casi, A, B,
C e D, in ordine crescente di modulo della forza che
agisce sul disco.
[A C B D]
Marco (M), Luca (L) e Carlo (C ) spingono una barca
esercitando delle forze parallele al molo di intensità,
rispettivamente, 90 N, 60 N e 60 N. Qual è la forza risultante
se Marco spinge verso la prua e Luca e Carlo
spingono nel verso opposto?
M
5 N
[la forza risultante è diretta verso la poppa
e ha intensità 30 N]
Due ragazzini tirano una slitta con una forza di 55 N
secondo un angolo di 35° rispetto alla direzione del
moto, come mostrato in figura. La neve esercita sulla
slitta una forza resistente di modulo 57 N nella
stessa direzione, ma in verso opposto a quello del
moto. Determina la forza risultante R .
!
a
A
C
F M F L F C
35°
3 N
7 N
55 N
35°
55 N
ESERCIZI E PROBLEMI 31
3 N
L C
3 N
57 N
[la forza risultante ha la direzione e il verso del moto
e la sua intensità è 33 N]
B
D
3 N
4 N
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32 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
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••
Due operai trainano una chiatta lungo un canale, come
mostrato in figura. Un operaio tira con una forza
di 130 N nella direzione che forma un angolo di 34°
rispetto alla direzione in cui si muove la chiatta, l’altro
operaio, sulla riva opposta del canale, tira nella
direzione che forma un angolo di 45° rispetto alla direzione
del moto. Con quale forza F deve tirare il secondo
operaio perché la forza risultante sia nella direzione
e nel verso del moto?
45°
34°
130 N
[F 100 N]
Una forza 1 ha un’intensità di 40,0 N e punta in una
direzione di 20,0° al di sotto dell’asse x. Una seconda
forza 2 ha un’intensità di 75,0 N e punta in una direzione
di 50,0° al di sopra dell’asse x.
a) Disegna le forze e la loro risultante R .
b) Usando il metodo della somma vettoriale per
componenti, determina il modulo e la direzione
della risultante. [R 96,3 N; u 27,0°]
!
F !
F !
Riferendoti alle forze del problema precedente:
a) disegna le forze 1, 2 e 3 1 2;
b) determina il modulo e la direzione della forza F 3.
[b) D 72,0 m; u 98,4°]
!
F !
F !
F !
F !
F !
La forza peso
F
Qual è il peso sulla Terra e sulla Luna di un bullone di
massa m 32 g? [0,31 N sulla Terra, 0,05 N sulla Luna]
Sapendo che la densità dell’acciaio è di 7,8 10 3
kg/m³, quanto pesa un cubo di acciaio di 10 cm di
lato? [76 N]
Un ragazzo ha una massa di 45 kg. Quale sarebbe il
suo peso sulla Luna, dove g 1,62 m/s 2 ? [73,0 N]
Un astronauta pesa 99,0 N sulla Luna, dove l’accelerazione
di gravità è 1,62 m/s 2 . Quanto pesa sulla
Terra? [600 N]
PROBLEMA GUIDATO
Nella serie di documentari Pole to Pole, l’attore inglese
Michael Palin, membro del gruppo Monty Python,
viaggia dal polo nord al polo sud attraversando l’equatore
in Kenya.
Michael porta con sé uno zaino di massa 6,5 kg.
Sapendo che la costante di gravità al polo nord è
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g polo 9,83 N/kg e all’equatore g eq 9,78 N/kg, di
quanto si alleggerisce lo zaino di Michael dal polo all’equatore?
Qual è la variazione percentuale del peso?
30
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33
•
34 •
NORD
AMERICA
SOLUZIONE
La differenza fra il peso delo zaino al polo e all’equatore
è:
P polo P eq m(g polo g eq) 0,3 N
La variazione percentuale è:
Ppolo - Peq 0,5%
P polo
SUD
AMERICA
EUROPA
Il valore della costante di gravità g sull’Aconcagua, la
più alta vetta delle Ande, è inferiore di 0,02 N/kg rispetto
al valore di g ad altitudine zero. Di quanto decresce
percentualmente il peso di un corpo trasportato
dal livello del mare sulla cime dell’Aconcagua?
[0,2%]
La forza elastica
AFRICA
ANTARTIDE
ASIA
AUSTRALIA
POLE TO POLE
Se una massa di 25,0 g viene appesa a una molla,
l’allungamento della molla è di 2,00 cm. Qual è la costante
elastica della molla? [12,3 N/m]
Quando una massa di 9,09 kg viene posta sopra una
molla verticale, la molla si comprime di 4,18 cm. Determina
la costante elastica della molla.
[k 2,13 kN/m]
La lunghezza di equilibrio di una molla è 20 cm e la
sua costante elastica è 250 N/m. Quale sarà la lunghezza
della molla se a essa viene applicata una forza
di 5 N? [22 cm]
Uno scatolone di 110 kg è caricato nel bagagliaio di
un’automobile. Se l’altezza del paraurti diminuisce
di 13 cm, qual è la costante elastica della sospensione
posteriore dell’automobile? [k 8,3 kN/m]

35
•
36 •
37
•
38 •
39
••
PROBLEMA GUIDATO
Uno strumento sempre più utilizzato per migliorare
il flusso d’aria attraverso le narici è il cerotto nasale,
formato da due molle piatte di poliestere, ricoperte
di un nastro adesivo. Alcune misure hanno evidenziato
che questo cerotto può esercitare sul naso una
forza verso l’esterno di 0,22 N, causando una dilatazione
della narice di 3,5 mm.
a) Considerando il naso come una molla ideale, determina
la sua costante elastica in N/m.
b) Quale forza è necessaria per dilatare la narice di
4,0 mm?
Molle
Supponi che in farmacia sia in vendita un nuovo tipo
di cerotti nasali che esercitano sul naso una forza
verso l’esterno di 0,32 N. Di quanto si dilatano le narici
usando questo tipo di cerotto? [5,2 mm]
Ponendo un blocco di acciaio su una molla verticale,
la molla si comprime di 3,15 cm. Determina la massa
del blocco, sapendo che la costante elastica della molla
è di 1750 N/m. [5,62 kg]
La relazione tra la forza applicata F e l’allungamento
x di una molla è rappresentata dal grafico in figura.
Quanto vale la costante elastica della molla?
F (N)
100
80
60
40
20
O
Nastro
adesivo
1 2 3 4 5
F F
SOLUZIONE
a) Esplicita la costante elastica k nella legge di Hooke
che esprime il modulo della forza F kx:
k F/x 0,22 N/ 0,0035 m 62,8 N/m
b) Utilizza l’equazione F kx per calcolare la forza richiesta:
F 62,8 N/m 0,004 m 0,25 N
x (cm)
[2,5 kN]
La lunghezza di equilibrio di una molla con costante
elastica k 250 N/m è 0,18 m.
a) Qual è il modulo della forza necessaria per allun-
40
•
41
•
42
•
43
•
44
•
gare la molla del doppio della sua lunghezza di
equilibrio?
b) Il modulo della forza necessaria per comprimere
la molla fino a metà della sua lunghezza di equillibrio
è uguale a quello della forza calcolato al punto
a)? Giustifica la risposta.
[a) F 45 N; b) F 22,5 N; la forza richiesta per
comprimere la molla fino a metà della sua lunghezza
di equilibrio è la metà della forza richiesta al punto a)]
Forze di attrito
ESERCIZI E PROBLEMI 33
Prevedi/Spiega Spingi due mattoni identici sopra un
ripiano, come mostrato in figura. Nel caso 1 i mattoni
sono posizionati uno accanto all’altro, nel caso 2
sono uno sopra l’altro.
a) La forza di attrito dinamico nel caso 1 è maggiore,
minore o uguale a quella nel caso 2?
b) Quale fra le seguenti è la spiegazione migliore per
la risposta?
1) La forza perpendicolare al ripiano nel caso 2 è
maggiore e quindi i mattoni premono maggiormente
sul ripiano.
2) La forza perpendicolare al ripiano è la stessa nei
due casi e l’attrito è indipendente dalla superficie.
3) Nel caso 1 la superficie di contatto con il ripiano
è maggiore e ciò provoca maggiore attrito.
Caso 1 Caso 2
[a) uguale; b) la spiegazione migliore è la 2;
la 1 e la 3 sono entrambe false]
Per spingere un libro di 1,80 kg fermo sul piano di
un tavolo è necessaria una forza di 2,25 N perché esso
cominci a scivolare. Il libro comincia poi a muoversi
ed è sufficiente una forza di 1,50 N per compensare
l’attrito dinamico. Quali sono i coefficienti
di attrito statico e dinamico tra il libro e il piano del
tavolo? [m s 1,27; m d 0,0849]
Nel problema precedente, qual è la forza di attrito
esercitata sul libro quando viene spinto con una forza
di 0,75 N?
[F a 0,75 N nella direzione opposta alla spinta]
Un blocco di granito di 10 kg è fermo su una superficie.
Spingendolo con una forza di 20 N, il blocco
non si muove.
a) Quanto vale la forza di attrito statico sul blocco?
b) Se sul blocco appoggiamo un martello di 1,5 kg di
quanto cambia la forza di attrito statico?
[a) la forza di attrito statico è opposta alla forza applicata
e ha intensità 20 N; b) non cambia]
Riferendoti al problema precedente, se è necessaria
una forza di 60 N per far muovere il blocco, quanto
vale il coefficiente di attrito statico? [m s 0, 61]
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34 CAPITOLO 3 I vettori e le forze
45
••
Un autocarro inclina lentamente il suo pianale ribaltabile per scaricare una cassa di 95,0 kg. Quando il pianale è
inclinato di 20º la cassa è ancora ferma. Determina l’intensità della forza di attrito statico che agisce sulla cassa.
50 •
SOLUZIONE
Poiché la cassa è ferma, la forza di attrito statico deve
compensare la componente della forza peso parallela al
pianale:
fs mg sen u
Sostituendo i valori numerici trovi:
fs 319 N
46
••
48
•
49
•
51
•
PROBLEMA GUIDATO
Per quale angolo di inclinazione del pianale dell’autocarro
del problema precedente la forza di attrito
statico ha un’intensità di 225 N? [u 14,0°]
PROBLEMI DI RIEPILOGO
Prevedi/Spiega Considera i vettori , di componenti
Ax 1,2 m, Ay 0 m, e , di componenti
Bx 3,4 m, By 0 m.
a) Il modulo di è maggiore, minore o uguale al
modulo di ?
b) Quale fra le seguenti è la spiegazione migliore per
la risposta?
1) Il numero 3,4 è maggiore del numero 1,2.
2) La componente di è negativa.
3) Il vettore è nel verso positivo delle x.
[a) il modulo di è minore del modulo di B ;
b) la spiegazione migliore è la 1, la 2 e la 3 sono vere,
ma non rilevanti in questo contesto]
!
A !
A !
B !
! A!
B
! A!
B
Supponi di spingere una scatola su una rampa di carico
lunga 10,0 m. In cima alla rampa la scatola si trova
a un’altezza di 3,00 m. Quanto misura l’angolo
formato dalla rampa e dal piano orizzontale?
[u 17,5°]
Le componenti del vettore sono tali che Ax 0 e
Ay 0. L’angolo che individua la direzione di A è
compreso fra 0° e 90°, fra 90° e 180°, fra 180° e 270° o
fra 270° e 360°? [fra 180° e 270°]
!
A !
Tre forze 1, 2 ed 3 sono dirette lungo l’asse x. Si sa
che 1 2 punta nel verso delle x negative e ha modulo
51,4 N, F 3 punta nel verso delle x positive e ha
modulo 62,2 N, la risultante delle tre forze punta nel
! F !
F !
F !
F !
F !
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47
••
52
•
53
•
FIGURA INTERATTIVA
Riferendoti al problema guidato precedente, se la
cassa comincia a scivolare quando l’angolo di inclinazione
del pianale supera i 23,2º, quanto vale la forza
massima di attrito statico e qual è il coefficiente di
attrito statico tra il pianale e la cassa?
[ f s,max 367 N, m s 0,429]
verso delle x positive e ha modulo 13,8 N. Determina
le forze 1 ed 2.
[ 1 ha modulo 49,9 N e punta verso le x negative;
F 2 ha modulo 1,5 N e punta verso le x positive]
!
F !
F !
F !
Un astronauta sulla Luna (g Luna 1/6 g Terra) appende
una massa di 0,5 kg a una molla ideale di costante
elastica 80 N/m. Qual è l’allungamento della molla?
[1 cm]
Uno zaino pieno di libri, che pesa 52,0 N, è fermo su
un tavolo nell’aula del laboratorio di fisica. Lo zaino
viene agganciato a una molla di costante elastica
150 N/m che poi è tirata orizzontalmente, come
mostrato in figura.
a) Se la molla è tirata fino a che si allunga di 2,00 cm
e lo zaino rimane fermo, qual è la forza di attrito
esercitata sullo zaino dal tavolo?
b) La risposta alla domanda a) cambia se la massa
dello zaino viene raddoppiata?
F
f s
P mg
mg sen u
[a) f s 3 N; b) no, la risposta alla domanda a)
non dipende dalla massa]
f s
y
x

54
•
55
••
56
••
57
•••
61
•
Se la molla del problema precedente (k 150 N/m)
si allunga di 2,50 cm prima che lo zaino di 52,0 N cominci
a scivolare, qual è il coefficiente di attrito statico
tra il tavolo e lo zaino? [m s 0,072]
Una moneta da 12 g viene lanciata e scivola verso
l’alto su una superficie inclinata di un angolo di 15°
al di sopra dell’orizzontale. Il coefficiente di attrito
dinamico tra la moneta e la superficie è 0,23, il coefficiente
di attrito statico è 0,31. Determina il modulo,
la direzione e il verso della forza di attrito:
a) quando la moneta sta scivolando;
b) dopo che la moneta si è fermata.
[a) f d 0,030 N, parallela alla superficie e diretta verso
il basso; b) f s 0,042 N, parallela alla superficie
e diretta verso l’alto]
Una cravatta è distesa su di un tavolo, con una parte
della sua lunghezza che pende oltre il bordo del tavolo.
Inizialmente, la cravatta è ferma.
a) Se si aumenta la parte che pende, la cravatta a un
certo punto cade a terra. Spiega perchè.
b) Qual è il coefficiente di attrito statico tra la cravatta
e il tavolo se la cravatta comincia a scivolare
quando 1/4 della sua lunghezza è oltre il bordo?
[a) la cravatta cade quando la forza di gravità che agisce
sulla parte che pende supera la forza di attrito statico
che agisce sulla parte sta sul tavolo; b) m s 1/3]
L’orologio del Big Ben
ha la lancetta delle ore
lunga 274 cm e quella
dei minuti lunga 427 cm,
misurando la distanza
fra il centro dell’orologio
e la punta della lancetta.
Qual è la distanza fra le
punte delle due lancette
quando l’orologio segna
le 4 e 12? [335 cm]
In English
A basketball player runs down the court, following
the path indicated by the vectors , and C in figure.
The magnitudes of these three vectors are A 10,0 m,
B 20,0 m and C 7,0 m. Find the magnitude and direction
of the net dis placement of the player using:
a) the graphical method;
b) the component method of vector addition.
Compare your results.
30°
!
A ! , B !
A
45°
B
C
[S 20,2 m; u 1,8°]
58
•••
59
•••
60
•••
62
•
63
•
64
•
Il vettore punta nel verso positivo dell’asse x e ha
modulo A 75 m. Il vettore punta nel
verso positivo dell’asse y e ha un modulo B 95 m.
a) Disegna , e .
b) Stima il modulo e la direzione del vettore .
c) Verifica la tua stima con un calcolo numerico.
[b) il vettore deve avere una componente x di 75 m e
una componente y di 95 m, dunque deve essere più lungo
sia di sia di e deve avere un angolo maggiore di 90°;
possiamo stimare che il modulo di B sia 120 m e l’angolo
di circa 130°; c) B 121 m, uB 128°]
!
A !
C !
B !
B !
A ! B ! C !
C !
A !
B !
A !
ESERCIZI E PROBLEMI 35
Un rimorchiatore traina una chiatta a velocità costante
con un cavo di 3500 kg, come mostrato in figura.
L’angolo che il cavo forma con l’orizzontale nel
punto in cui unisce la chiatta e il rimorchiatore è di
22°. Determina la forza esercitata sulla chiatta nella
direzione del moto.
22°
22°
[T x 42 kN]
Un blocco di massa 4,7 kg, fermo su una superficie
orizzontale, è agganciato a una molla di costante elastica
k 89 N/m, che lo tira in una direzione che
forma un angolo di 13° rispetto all’orizzontale. Se la
molla deve essere allungata di 2,2 cm per tirare il
blocco con una velocità di modulo costante, qual è il
coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e la superficie?
[m d 0,042]
A vector has components Ax 12 m and Ay 5 m.
What are the magnitudo and the direction of A ?
[A 13 m; u 22°]
!
A !
When a 2,5 kg mass is placed on top of a vertical
spring, the spring compresses 1,5 cm. Find the force
constant of the spring. [k 1,6 kN/m]
Find the coefficient of kinetic friction between a
3,85 kg block and the orizontal surface on which it
rests if the frictional force acting on the block has a
magnitude f d 24 N. [m d0,64]
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