Coordinate cartesiane nello spazio - Aula Digitale
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capitolo<br />
2<br />
2<br />
<strong>Coordinate</strong> <strong>cartesiane</strong><br />
Simmetrie<br />
Dato P(x; y; z), risulta quanto riportato nella<br />
tabella a fianco.<br />
Distanza tra due punti<br />
Calcoliamo la distanza di P(x; y; z) dall’origine<br />
O(0; 0; 0).<br />
Considerato il punto Pxy (fig. 5), applicando<br />
il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo<br />
OPxyP, risulta:<br />
–––<br />
OP2<br />
–––<br />
= OP2xy<br />
––––<br />
+ PxyP2 Considerato poi il punto Px , applicando il teorema<br />
di Pitagora al triangolo rettangolo<br />
OPxPxy , risulta:<br />
–––<br />
OP2xy<br />
–––<br />
= OP2x<br />
––––<br />
+ PxP2xy Pertanto:<br />
–––<br />
OP2<br />
–––<br />
= OP2x<br />
––––<br />
+ PxP2xy ––––<br />
+ PxyP2 = x2 + y2 + z2 e quindi:<br />
[1]<br />
Calcoliamo, ora, la distanza tra due punti<br />
A(x A ; y A ; z A ) e B(x B ; y B ; z B ).<br />
Sia H il punto d’intersezione del piano per A<br />
parallelo al piano xy con la retta per B perpendicolare<br />
al piano xy (fig. 6).<br />
Essendo:<br />
si ha:<br />
OP = x2 + y2 + z2<br />
AH = A B = ( x − x ) 2 + ( y −y)<br />
2 e AB = AH + HB<br />
xy xy A B A B<br />
AB = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z −z)<br />
2 2 2<br />
A B A B A B<br />
Punto medio di un segmento. Baricentro di un triangolo<br />
Dati i punti A(x A ; y A ; z A ) e B(x B ; y B ; z B ), il punto medio M ha coordinate:<br />
xA + xB; 2<br />
yA + yB; 2<br />
zA + zB<br />
2<br />
[3]<br />
Il baricentro G del triangolo che ha come vertici i punti A(xA ; yA ; zA ), B(xB ; yB ; zB ),<br />
C(xC ; yC ; zC ) ha coordinate:<br />
x + x + x y + y + y z + z + z<br />
; ;<br />
3 3 3<br />
A B C A B C A B C<br />
Simmetria Simmetrico di P<br />
piano xy (x; y; –z)<br />
piano yz (–x; y; z)<br />
piano xz (x; –y; z)<br />
origine O (–x; –y; –z)<br />
2 2 2<br />
© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista<br />
x<br />
P x<br />
x<br />
z<br />
O<br />
■ Figura 5<br />
z<br />
O<br />
A<br />
A xy<br />
■ Figura 6<br />
P<br />
P xy<br />
B<br />
H<br />
B xy<br />
P y<br />
y<br />
y<br />
[2]<br />
[4]