Scritto di meccanica razionale 2 del 10.02.2010 Esercizio 1 Un ...
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<strong>Scritto</strong> <strong>di</strong> <strong>meccanica</strong> <strong>razionale</strong> 2 <strong>del</strong> <strong>10.02.2010</strong><br />
<strong>Esercizio</strong> 1<br />
<strong>Un</strong> sistema rigido pesante è appoggiato ad un piano orizzontale senza attrito e debolmente<br />
cedevole, identificabile con il piano Oxy <strong>di</strong> una terna Oxyz = Oê1ê2ê3 che ha l’asse verticale<br />
Oz <strong>di</strong>retto verso l’alto. Il corpo ha baricentro G(1, 1/2, 2) e punti <strong>di</strong> appoggio:<br />
Determinare:<br />
P1(0, 0, 0) P2(2, 0, 0) P3(5/2, 2, 0) P4(0, 1, 0) .<br />
(a) il poligono d’appoggio e l’area <strong>di</strong> completo appoggio;<br />
(b) le reazioni vincolari nello stato <strong>di</strong> quiete, verificato che la configurazione <strong>del</strong> sistema<br />
è <strong>di</strong> equilibrio;<br />
(c) se la configurazione sarebbe <strong>di</strong> equilibrio qualora il baricentro <strong>del</strong> corpo fosse il punto<br />
G ⋆ (1/2, 1/4, 2) e, in tal caso, i punti <strong>di</strong> effettivo appoggio.<br />
<strong>Esercizio</strong> 2<br />
Dato il sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali nel piano:<br />
determinare:<br />
(a) i relativi punti fissi;<br />
⎧<br />
⎨<br />
˙x = x 2 − y 2 + 1<br />
⎩ ˙y = 2x + y − 1<br />
(b) le proprietà <strong>di</strong> stabilità degli stessi punti fissi.<br />
1<br />
(x, y) ∈ R 2 ,
<strong>Esercizio</strong> 3<br />
Nel piano Oxy <strong>di</strong> una terna inerziale Oxyz = Oê1ê2ê3 un’asta rettilinea omogenea OA,<br />
<strong>di</strong> massa m e lunghezza 2a, ruota liberamente attorno al proprio estremo fisso O. Lungo<br />
OA è vincolato a scorrere un punto materiale P , <strong>di</strong> massa m. Come parametri lagrangiani<br />
si usano le coor<strong>di</strong>nate s ∈ (0, 2) e ϕ ∈ R in<strong>di</strong>cate in figura. Su P agiscono una resistenza<br />
viscosa con costante <strong>di</strong> frizione β, una forza elastica −k(P − O) e una forza costante<br />
−ka ê2. Sull’asta è invece applicato un sistema S <strong>di</strong> forze con risultante R = (2ka cos ϕ −<br />
mg)/2 ê2 − β ˙ A e momento in A:<br />
Supposti i vincoli ideali, si determinino:<br />
MA = ka 2 s cos ϕ ê1 + 1<br />
2 mga sin ϕ ê3 .<br />
(a) le componenti generalizzate <strong>del</strong>le sollecitazioni attive applicate;<br />
(b) gli equilibri <strong>del</strong> sistema;<br />
(c) la proprietà <strong>di</strong> stabilità dei predetti equilibri.<br />
<strong>Esercizio</strong> 4<br />
<strong>Un</strong> sistema scleronomo posizionale conservativo a vincoli ideali è descritto dalle coor<strong>di</strong>nate<br />
generalizzate (x, y) ∈ R 2 e dalla lagrangiana:<br />
L = ma 2 3<br />
2 ˙x2 +x ˙x 2 + ˙x ˙y− 1<br />
2 y2 ˙x ˙y+ 1 1<br />
xy ˙x ˙y+<br />
2 2 ˙y2 + 3<br />
y ˙y2 +ka<br />
2 2<br />
2xy−x 2 − 3<br />
2 y2−2x 2 y+xy 2<br />
nella quale m, a e k sono rispettivamente una massa, una lunghezza e una costante elastica<br />
caratteristiche. Determinare, nell’intorno <strong>del</strong>l’equilibrio stabile (x, y) = (0, 0):<br />
(a) le equazioni <strong>del</strong>le piccole oscillazioni;<br />
(b) le frequenze normali <strong>del</strong>le piccole oscillazioni;<br />
(c) le espressioni dei mo<strong>di</strong> normali <strong>del</strong>le piccole oscillazioni.<br />
2
Soluzione <strong>del</strong>l’esercizio 1<br />
(a) Poligono d’appoggio e area <strong>di</strong> completo appoggio<br />
Il poligono d’appoggio <strong>del</strong> sistema è per definizione l’inviluppo convesso <strong>del</strong>la base d’appoggio<br />
Ω = {P1, P2, P3, P4}. Poichè il poligono P1P2P3P4 chiuso risulta chiaramente convesso,<br />
esso deve identificarsi con il poligono d’appoggio. È questo infatti l’intersezione dei quattro<br />
semipiani chiusi che contengono Ω e la cui frontiera passa per una coppia <strong>di</strong> punti a<strong>di</strong>acenti<br />
<strong>del</strong>lo stesso Ω. L’espressione formale <strong>del</strong> risultato è data dal calcolo seguente, nel quale si<br />
conviene <strong>di</strong> in<strong>di</strong>care con (xi, yi) le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> generico punto d’appoggio Pi, i = 1, 2, 3, 4.<br />
Semipiano <strong>del</strong>imitato dalla retta P1P2 e contenente Ω<br />
La retta P1P2, che costituisce la frontiera <strong>del</strong> semipiano, coincide ovviamente con l’asse<br />
Ox. Il semipiano da considerare è dunque y ≥ 0.<br />
Semipiano <strong>del</strong>imitato dalla retta P2P3 e contenente Ω<br />
La retta P2P3 ha equazione<br />
x − x2<br />
= y − y2<br />
x3 − x2<br />
y3 − y2<br />
ossia, sostituendo le coor<strong>di</strong>nate dei punti P2(2, 0) e P3(5/2, 2),<br />
x − 2<br />
=<br />
5<br />
− 2<br />
2 y − 0<br />
2 − 0<br />
⇐⇒ x − 2 = y<br />
4<br />
e quin<strong>di</strong> 4x − y − 8 = 0. Dal momento che il semipiano richiesto deve contenere l’origine<br />
P1, la <strong>di</strong>sequazione che lo in<strong>di</strong>vidua deve essere<br />
−4x + y + 8 ≥ 0 .<br />
Semipiano <strong>del</strong>imitato dalla retta P3P4 e contenente Ω<br />
La retta P3P4 è in<strong>di</strong>viduata dall’equazione cartesiana<br />
x − x3<br />
x4 − x3<br />
= y − y3<br />
y4 − y3<br />
vale a <strong>di</strong>re, ricordando le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> P3(5/2, 2) e P4(0, 1),<br />
x − 5<br />
2<br />
0 − 5<br />
2<br />
= y − 2<br />
1 − 2<br />
⇐⇒ x − 5<br />
2<br />
5<br />
= − (2 − y)<br />
2<br />
e pertanto 2x − 5y + 5 = 0. Il semipiano richiesto è allora l’insieme <strong>del</strong>le soluzioni <strong>del</strong>la<br />
<strong>di</strong>sequazione<br />
2x − 5y + 5 ≥ 0 ,<br />
dovendo contenere l’origine P1 <strong>del</strong>la terna <strong>di</strong> riferimento.<br />
3
Semipiano <strong>del</strong>imitato dalla retta P4P1 e contenente Ω<br />
La retta che <strong>del</strong>imita il semipiano è ovviamente l’asse Oy. Il semipiano deve inoltre contenere<br />
i punti P2 e P3. La <strong>di</strong>sequazione che lo caratterizza è perciò x ≥ 0.<br />
Definizione formale <strong>del</strong> poligono d’appoggio<br />
Il poligono d’appoggio è il luogo <strong>del</strong> punti P (x, y) <strong>del</strong> piano d’appoggio Oxy per i quali<br />
risulta sod<strong>di</strong>sfatto il seguente sistema <strong>di</strong> <strong>di</strong>sequazioni algebriche lineari non omogenee:<br />
⎧<br />
y ≥ 0<br />
⎪⎨<br />
−4x + y + 8 ≥ 0<br />
⎪⎩<br />
2x − 5y + 5 ≥ 0<br />
x ≥ 0 .<br />
Area <strong>di</strong> completo appoggio<br />
Poichè il piano d’appoggio si assume debolmente cedevole, le reazioni vincolari esterne<br />
agenti sul corpo rigido nei punti <strong>di</strong> appoggio sono determinate completamente dagli appropriati<br />
coefficienti <strong>di</strong> struttura a, b, c. Detti coefficienti si esprimono per mezzo <strong>del</strong>la<br />
relazione matriciale ⎛ ⎞<br />
a<br />
⎝ b ⎠ = S<br />
c<br />
−1<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
G<br />
⎝ y ⎠mg G<br />
1<br />
nella quale x G e y G in<strong>di</strong>cano le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> centro <strong>di</strong> pressione e la matrice S assume<br />
la forma<br />
avendo gli elementi:<br />
S =<br />
Sxx =<br />
Syy =<br />
Sxy =<br />
Sx =<br />
Sy =<br />
#Ω =<br />
⎛<br />
⎝<br />
4<br />
i=1<br />
4<br />
i=1<br />
4<br />
i=1<br />
4<br />
i=1<br />
Sxx Sxy Sx<br />
Sxy Syy Sy<br />
Sx Sy #Ω<br />
x 2 i = 0 2 + 2 2 +<br />
⎞<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
41/4<br />
⎜<br />
⎝ 5<br />
5<br />
5<br />
⎞<br />
9/2<br />
⎟<br />
3 ⎠<br />
9/2 3 4<br />
<br />
5<br />
2 + 0<br />
2<br />
2 = 4 + 25<br />
4<br />
y 2 i = 0 2 + 0 2 + 2 2 + 1 2 = 5<br />
xiyi = 0 · 0 + 2 · 0 + 5<br />
· 2 + 0 · 1 = 5<br />
2<br />
xi = 0 + 2 + 5 9<br />
+ 0 =<br />
2 2<br />
4<br />
yi = 0 + 0 + 2 + 1 = 3<br />
i=1<br />
4<br />
1 = 4 .<br />
i=1<br />
4<br />
= 41<br />
4
L’inversa <strong>di</strong> S si calcola senza alcuna <strong>di</strong>fficoltà e risulta<br />
S −1 = 1<br />
⎛<br />
44<br />
⎝ −26<br />
186<br />
−30<br />
−26<br />
83<br />
−33<br />
⎞<br />
−30<br />
−33 ⎠<br />
105<br />
grazie all’espressione <strong>del</strong> determinante:<br />
<br />
<br />
5 3 <br />
<br />
3 4 − 5 5 3 <br />
<br />
9 <br />
9/2 4 + 5 5 <br />
<br />
2 9/2 3 =<br />
= 41<br />
<br />
(20 − 9) − 5 20 −<br />
4 27<br />
<br />
+<br />
2<br />
9<br />
<br />
15 −<br />
2<br />
45<br />
<br />
=<br />
2<br />
41<br />
4<br />
= 451 65 135<br />
− −<br />
4 2 4<br />
451 − 130 − 135<br />
=<br />
4<br />
= 186<br />
4<br />
93<br />
=<br />
2 ,<br />
detS = 41<br />
4<br />
in modo che:<br />
(S −1 )11 = 2<br />
93<br />
(S −1 )22 = 2<br />
93<br />
(S −1 )33 = 2<br />
93<br />
(S −1 )12 = (S −1 )21 = − 2<br />
(S −1 )13 = (S −1 )31 = 2<br />
93<br />
(S −1 )23 = (S −1 )32 = − 2<br />
93<br />
· 11 − 5 · 13<br />
2<br />
9<br />
<br />
+ −<br />
2<br />
15<br />
2<br />
<br />
<br />
5 3 <br />
<br />
2<br />
22<br />
3 4 = (20 − 9) =<br />
93 93<br />
<br />
<br />
41/4 9/2 <br />
<br />
2<br />
<br />
9/2 4 = 41 −<br />
93<br />
81<br />
<br />
=<br />
4<br />
2 164 − 81<br />
=<br />
93 4<br />
83<br />
186<br />
<br />
<br />
41/4 5 <br />
<br />
2<br />
<br />
205<br />
<br />
5 5 = − 25 =<br />
93 4 105<br />
186<br />
<br />
<br />
5 3 <br />
<br />
2<br />
<br />
93 9/2 4 = − 20 −<br />
93<br />
27<br />
<br />
= −<br />
2<br />
13<br />
93<br />
<br />
<br />
5 5 <br />
<br />
2<br />
<br />
9/2 3 = 15 −<br />
93<br />
45<br />
<br />
=<br />
2<br />
2<br />
<br />
−<br />
93<br />
15<br />
<br />
= −<br />
2<br />
15<br />
93<br />
<br />
<br />
41/4 5 <br />
<br />
2<br />
<br />
9/2 3 = −<br />
93<br />
41 45<br />
<br />
· 3 + = −<br />
4 2<br />
33<br />
186 .<br />
La componente verticale <strong>del</strong>la reazione vincolare esterna in un generico punto d’appoggio<br />
Pi(xi, yi) è data dall’espressione<br />
Φi = (xi yi 1)<br />
⎛ ⎞<br />
a<br />
⎝ b ⎠ = (xi yi 1)S<br />
c<br />
−1<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
G<br />
⎝ y ⎠mg .<br />
G<br />
1<br />
L’area <strong>di</strong> completo appoggio A è il luogo dei centri <strong>di</strong> pressione (x , y ) per i quali tutte<br />
G G<br />
le reazioni vincolari esterne nei punti <strong>di</strong> appoggio risultano strettamente positive. Omesso<br />
per brevità il pe<strong>di</strong>ce G, l’area <strong>di</strong> completo appoggio è quin<strong>di</strong> specificata dal sistema <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>sequazioni<br />
(xi yi 1)S −1<br />
⎛<br />
⎝ x<br />
⎞<br />
y ⎠mg > 0<br />
1<br />
i = 1, 2, 3, 4,<br />
5<br />
<br />
=
ossia<br />
e dunque<br />
Si ha d’altra parte:<br />
(xi yi 1) 1<br />
⎛<br />
⎞⎛<br />
44 −26 −30<br />
⎝ −26 83 −33 ⎠⎝<br />
186<br />
−30 −33 105<br />
x<br />
⎞<br />
y ⎠mg > 0 i = 1, 2, 3, 4,<br />
1<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞⎛<br />
⎞<br />
−30 x<br />
(xi yi 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠⎝<br />
y ⎠ > 0 i = 1, 2, 3, 4 .<br />
−30 −33 105 1<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞<br />
−30<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞<br />
−30<br />
(x1 y1 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠ = (0 0 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠ = (−30 − 33 105)<br />
−30 −33 105<br />
−30 −33 105<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞<br />
−30<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞<br />
−30<br />
(x2 y2 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠ = (2 0 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠ =<br />
−30 −33 105<br />
−30 −33 105<br />
= (88 − 30 − 52 − 33 − 60 + 105) = (58 − 85 45)<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞<br />
−30<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞<br />
−30<br />
(x3 y3 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠ = (5/2 2 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠ =<br />
−30 −33 105<br />
−30 −33 105<br />
= (110 − 52 − 30 − 65 + 166 − 33 − 75 − 66 + 105) = (28 68 − 36)<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞<br />
−30<br />
⎛<br />
44 −26<br />
⎞<br />
−30<br />
(x4 y4 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠ = (0 1 1) ⎝ −26 83 −33 ⎠ =<br />
−30 −33 105<br />
−30 −33 105<br />
= (−26 − 30 83 − 33 − 33 + 105) = (−56 50 72)<br />
per cui i punti <strong>del</strong>l’area <strong>di</strong> completo appoggio A sono tutte e sole le soluzioni (x, y) <strong>del</strong><br />
sistema <strong>di</strong> <strong>di</strong>sequazioni lineari:<br />
⎧<br />
−30x − 33y + 105 > 0<br />
⎪⎨ 58x − 85y + 45 > 0<br />
28x + 68y − 36 > 0<br />
⎪⎩<br />
−56x + 50y + 72 > 0<br />
6<br />
(0.1)
La soluzione è evidenziata con l’ombreggiatura nella figura seguente:<br />
che riporta anche i punti <strong>di</strong> appoggio, il poligono d’appoggio conv(Ω) e le rette che <strong>del</strong>imitano<br />
i singoli semipiani — contorno in grassetto e linee in tratto sottile, rispettivamente.<br />
(b) Reazioni vincolari agli appoggi nello stato <strong>di</strong> quiete<br />
Nella fattispecie, al baricentro G(1, 1/2, 2) è associato il centro <strong>di</strong> pressione C(1, 1/2, 0),<br />
che la figura precedente mostra appartenere all’area <strong>di</strong> completo appoggio. Il verificarsi<br />
<strong>del</strong>la con<strong>di</strong>zione può essere accertato formalmente controllando che il sistema (0.1) sia<br />
sod<strong>di</strong>sfatto per (x, y) = (1, 1/2). Tutti i primi membri <strong>del</strong>le <strong>di</strong>sequazioni risultano infatti<br />
<strong>di</strong> segno positivo:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
−30 · 1 − 33 · 1 117<br />
+ 105 =<br />
2 2<br />
58 · 1 − 85 · 1 121<br />
+ 45 =<br />
2 2<br />
> 0<br />
> 0<br />
28 · 1 + 68 · 1<br />
− 36 = 26 > 0<br />
2<br />
−56 · 1 + 50 · 1<br />
+ 72 = 41 > 0 .<br />
2<br />
Ne segue non solo che la configurazione è <strong>di</strong> equilibrio per il sistema, ma anche che nello<br />
stato <strong>di</strong> quiete tutte le reazioni vincolari esterne agli appoggi risultano strettamente positive<br />
— ossia <strong>di</strong>rette verso l’alto. Posto infatti Φi = Φi ê3, i = 1, 2, 3, 4, usando il risultato<br />
precedente e ricordando l’omesso fattore mg/186, si ottiene:<br />
Φ1 = 117<br />
2<br />
1 117<br />
mg =<br />
186 372 mg Φ2 = 121<br />
2<br />
1 121<br />
mg =<br />
186 372 mg<br />
Φ3 = 26 1 13<br />
mg =<br />
186 93 mg Φ4 = 41 1 41<br />
mg = mg .<br />
186 186<br />
7
Le reazioni vincolari esterne agli appoggi, per lo stato <strong>di</strong> quiete, sono pertanto:<br />
Φ1 = 117<br />
mg ê3<br />
372<br />
Φ2 = 121<br />
mg ê3<br />
372<br />
Φ3 = 13<br />
mg ê3<br />
93<br />
Φ4 = 41<br />
186 mg ê3 .<br />
Da notare che la somma <strong>del</strong>le componenti Φi coincide con il peso totale <strong>del</strong> corpo:<br />
4<br />
i=1<br />
a conferma <strong>del</strong> risultato ottenuto.<br />
Φi = 117 121 13 41<br />
mg + mg + mg + mg = mg ,<br />
372 372 93 186<br />
(c) Equilibrio e punti <strong>di</strong> appoggio qualora il baricentro fosse G ⋆<br />
In tal caso il centro <strong>di</strong> pressione sarebbe C ⋆ (1/2, 1/4, 0) e apparterrebbe al poligono d’appoggio<br />
conv(Ω). La configurazione sarebbe dunque <strong>di</strong> equilibrio per il sistema. Si osservi<br />
tuttavia che il centro <strong>di</strong> pressione non è compreso entro l’area <strong>di</strong> completo appoggio, dal<br />
momento che le <strong>di</strong>sequazioni (0.1) non sono tutte sod<strong>di</strong>sfatte:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
−30 · 1 1 327<br />
− 33 · + 105 =<br />
2 4 4<br />
> 0<br />
58 · 1 1 211<br />
− 85 · + 45 =<br />
2 4 4<br />
> 0<br />
28 · 1 1<br />
+ 68 · − 36 = −5 < 0<br />
2 4<br />
(non sod<strong>di</strong>sfatta)<br />
−56 · 1 1 113<br />
+ 50 · + 72 =<br />
2 4 2<br />
> 0 ,<br />
per cui la reazione vincolare in P3 risulterebbe negativa. P3 va dunque riguardato come<br />
punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>stacco e la base <strong>di</strong> effettivo appoggio <strong>del</strong> corpo si riduce ai tre soli punti<br />
P1, P2, P4.<br />
Soluzione <strong>del</strong>l’esercizio 2<br />
(a) Punti fissi<br />
I punti fissi sono definiti come le soluzioni costanti <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali.<br />
Essi sono dunque caratterizzati dal sistema <strong>di</strong> equazioni algebriche ottenuto annullando le<br />
derivate prime: 0 = x 2 − y 2 + 1<br />
0 = 2x + y − 1 .<br />
La seconda equazione è lineare e consente <strong>di</strong> ottenere la relazione<br />
y = 1 − 2x<br />
che sostituita nella prima conduce all’equazione pura in x:<br />
x 2 − (1 − 2x) 2 + 1 = 0<br />
8
ossia<br />
Ne derivano le ra<strong>di</strong>ci:<br />
−3x 2 + 4x = 0 .<br />
x = 0 x = 4/3<br />
alle quali corrispondono i valori <strong>di</strong> y rispettivi:<br />
I punti fissi <strong>del</strong> sistema sono pertanto:<br />
y = 1 − 2 · 0 = 1 y = 1 − 2 · 4<br />
3<br />
(x, y) = (0, 1) (x.y) =<br />
= − 5<br />
3 .<br />
<br />
4 5<br />
<br />
, − .<br />
3 3<br />
(b) Stabilità dei punti fissi<br />
Si ponga per brevità f(x, y) = x 2 − y 2 + 1 e g(x, y) = 2x + y − 1, in modo che il sistema<br />
<strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali si possa rappresentare nella forma<br />
Si hanno allora le derivate parziali prime:<br />
∂f<br />
(x, y) = 2x<br />
∂x<br />
∂g<br />
(x, y) = 2<br />
∂x<br />
˙x = f(x, y)<br />
˙y = g(x, y) .<br />
∂f<br />
(x, y) = −2y<br />
∂y<br />
∂g<br />
(x, y) = 1<br />
∂y<br />
per cui la matrice jacobiana dei secon<strong>di</strong> membri in (0.2) <strong>di</strong>venta<br />
J(x, y) =<br />
<br />
2x −2y<br />
.<br />
2 1<br />
(0.2)<br />
Questa matrice permette <strong>di</strong> accertare le proprietà <strong>di</strong> stabilità dei punti fissi facendo ricorso<br />
al teorema <strong>di</strong> analisi lineare.<br />
Punto fisso (x, y) = (0, 1)<br />
In questo caso la matrice jacobiana si riduce a<br />
<br />
0 −2<br />
J(0, 1) =<br />
2 1<br />
ed ha equazione caratteristica:<br />
<br />
−λ −2<br />
det[J(0, 1) − λI] = det<br />
= λ<br />
2 1 − λ<br />
2 − λ + 4 = 0<br />
9
alla quale corrispondono le ra<strong>di</strong>ci complesse coniugate:<br />
λ = 1 ± √ 1 − 4 · 4<br />
2<br />
= 1 ± i√ 15<br />
2<br />
Entrambi gli autovalori hanno perciò parte reale positiva, e questa circostanza basta a<br />
concludere che il punto fisso è instabile per il teorema <strong>di</strong> analisi lineare <strong>del</strong>la stabilità.<br />
Punto fisso (x, y) = (4/3, −5/3)<br />
Nella fattispecie la matrice jacobiana <strong>di</strong>venta<br />
J(4/3, −5/3) =<br />
<br />
8/3 10/3<br />
2 1<br />
con equazione caratteristica<br />
⎛<br />
<br />
4 5<br />
8<br />
− λ<br />
det J , − −λI = det ⎝ 3<br />
3 3<br />
2<br />
10<br />
⎞<br />
<br />
3 ⎠<br />
8<br />
=<br />
1 − λ 3 −λ<br />
<br />
(1−λ)− 20<br />
3 = λ2− 11<br />
λ−4 = 0<br />
3<br />
che deve necessariamente ammettere un’unica ra<strong>di</strong>ce positiva per la regola dei segni <strong>di</strong><br />
Cartesio (i coefficienti <strong>del</strong>l’equazione algebrica presentano una variazione e una permanenza<br />
<strong>di</strong> segno). In effetti, il calcolo esplicito degli autovalori porge:<br />
λ = 1<br />
<br />
11<br />
2 3 ±<br />
<br />
121<br />
<br />
− 4 · (−4)<br />
9<br />
= 1<br />
<br />
11<br />
2 3 ±<br />
<br />
265<br />
<br />
9<br />
.<br />
= ↗<br />
↘<br />
e l’instabilità <strong>del</strong>l’equilibrio segue ancora dal teorema <strong>di</strong> analisi lineare.<br />
11 + √ 265<br />
6<br />
11 − √ 265<br />
6<br />
Soluzione <strong>del</strong>l’esercizio 3<br />
(a) Componenti generalizzate <strong>del</strong>le sollecitazioni attive<br />
Le forze attive che agiscono sul sistema sono date dalla resistenza viscosa, la forza elastica<br />
e la forza costante, agenti sul punto P , oltre che dal sistema S applicato all’asta OA.<br />
Per ciascuna sollecitazione si devono calcolare le relative componenti generalizzate, la cui<br />
somma definirà le componenti generalizzate <strong>del</strong>le sollecitazioni applicate al sistema.<br />
Forza elastica<br />
Alla molla ideale, <strong>di</strong> costante elastica k, che congiunge O con P è associato il potenziale<br />
Uel = − k<br />
2 (P − O)2 = − k<br />
2 (as sin ϕ ê1 − as cos ϕ ê2) 2 = − k<br />
2 a2 s 2<br />
al quale corrispondono le componenti generalizzate:<br />
Qel,s = ∂Uel<br />
∂s = −ka2s Qel,ϕ = ∂Uel<br />
∂ϕ<br />
10<br />
= 0 .<br />
> 0<br />
< 0
Forza costante<br />
La forza costante −ka ê2 costituisce un campo <strong>di</strong> sollecitazioni posizionali conservative <strong>di</strong><br />
potenziale<br />
Ucost = −ka ê2 · (P − O) = −ka ê2 · (as sin ϕ ê1 − as cos ϕ ê2) = ka 2 s cos ϕ<br />
e componenti generalizzate:<br />
Qcost,s = ∂Ucost<br />
∂s = ka2 cos ϕ Qcost,ϕ = ∂Ucost<br />
∂ϕ = −ka2 s sin ϕ .<br />
Forza <strong>di</strong> resistenza viscosa<br />
Derivando rispetto al tempo il vettore posizione<br />
P − O = as sin ϕ ê1 − as cos ϕ ê2<br />
si ottiene la velocità istantanea <strong>del</strong> punto materiale:<br />
˙<br />
P = a( ˙s sin ϕ + s cos ϕ ˙ϕ)ê1 + a(− ˙s cos ϕ + s sin ϕ ˙ϕ)ê2<br />
mentre le derivate parziali rispetto ai parametri lagrangiani risultano:<br />
∂P<br />
∂s = a(sin ϕ ê1 − cos ϕ ê2)<br />
∂P<br />
∂ϕ = as(cos ϕ ê1 + sin ϕ ê2) .<br />
Per le componenti generalizzate <strong>del</strong>la resistenza viscosa si hanno così le relazioni:<br />
Qrv,s = −β ˙ P · ∂P<br />
∂s =<br />
= −β <br />
a( ˙s sin ϕ + s cos ϕ ˙ϕ)ê1 + a(− ˙s cos ϕ + s sin ϕ ˙ϕ)ê2 · a(sin ϕ ê1 − cos ϕ ê2) =<br />
= −βa 2 ( ˙s sin ϕ + s cos ϕ ˙ϕ) sin ϕ − (− ˙s cos ϕ + s sin ϕ ˙ϕ) cos ϕ =<br />
= −βa 2 ˙s sin 2 ϕ + s sin ϕ cos ϕ ˙ϕ + ˙s cos 2 ϕ − s sin ϕ cos ϕ ˙ϕ = −βa 2 ˙s<br />
Qrv,ϕ = −βP ˙ · ∂P<br />
∂ϕ =<br />
= −β <br />
a( ˙s sin ϕ + s cos ϕ ˙ϕ)ê1 + a(− ˙s cos ϕ + s sin ϕ ˙ϕ)ê2 · as(cos ϕ ê1 + sin ϕ ê2)<br />
= −βa 2 s ( ˙s sin ϕ + s cos ϕ ˙ϕ) cos ϕ + (− ˙s cos ϕ + s sin ϕ ˙ϕ) sin ϕ = −βa 2 s 2 ˙ϕ .<br />
Sistema <strong>di</strong> forze S agenti sull’asta<br />
Poichè l’asta si muove <strong>di</strong> moto piano con piano fisso Oxy e la sua orientazione rispetto agli<br />
assi Ox, Oy può essere specificata per mezzo <strong>del</strong>l’angolo ϕ, e osservato che A è un punto<br />
<strong>del</strong>l’asta, le componenti generalizzate <strong>del</strong> sistema S sono date dalle formule:<br />
QS,s = ∂A<br />
∂s · R+ ∂ϕ<br />
∂s ê3· MA = ∂A<br />
∂s · R QS,ϕ = ∂A<br />
∂ϕ · R+ ∂ϕ<br />
∂ϕ ê3· MA = ∂A<br />
∂ϕ · R+ê3· MA<br />
11
dove:<br />
e quin<strong>di</strong>:<br />
mentre:<br />
∂A<br />
∂s<br />
= 0<br />
R = 1<br />
2 (2ka cos ϕ − mg)ê2 − β ˙A<br />
in modo che risulta<br />
A − O = 2a(sin ϕ ê1 − cos ϕ ê2)<br />
∂A<br />
∂ϕ = 2a(cos ϕ ê1 + sin ϕ ê2)<br />
QS,s = 0 · R = 0<br />
MA = ka 2 s cos ϕ ê1 + 1<br />
mga sin ϕ ê3<br />
2<br />
e<br />
<br />
2ka cos ϕ − mg<br />
QS,ϕ = 2a(cos ϕê1 + sin ϕê2)·<br />
ê2 − 2βa(cos ϕ ê1 + sin ϕ ê2) ˙ϕ +<br />
2<br />
mga<br />
sin ϕ<br />
2<br />
= a sin ϕ(2ka cos ϕ − mg) − 4βa 2 ˙ϕ + 1<br />
mga sin ϕ =<br />
2<br />
<br />
= a sin ϕ 2ka cos ϕ − 1<br />
2 mg<br />
<br />
− 4βa 2 ˙ϕ .<br />
In definitiva, le componenti generalizzate <strong>del</strong>le forze attive sono le seguenti:<br />
Qs = Qel,s + Qcost,s + Qrv,s + QS,s =<br />
= −ka 2 s + ka 2 cos ϕ − βa 2 ˙s + 0 =<br />
= ka 2 (cos ϕ − s) − βa 2 ˙s<br />
Qϕ = Qel,ϕ + Qcost,ϕ + Qrv,ϕ + QS,ϕ =<br />
= 0 − ka 2 s sin ϕ − βa 2 s 2 <br />
˙ϕ + a sin ϕ 2ka cos ϕ − 1<br />
2 mg<br />
<br />
− 4βa 2 ˙ϕ =<br />
= −ka 2 s sin ϕ + 2ka 2 sin ϕ cos ϕ − 1<br />
2 mga sin ϕ − βa2 (s 2 + 4) ˙ϕ .<br />
(0.3)<br />
(b) Equilibri<br />
Nelle componenti generalizzate (0.3) <strong>del</strong>le sollecitazioni attive <strong>di</strong>stinguiamo un contributo<br />
posizionale:<br />
Q pos<br />
s (s, ϕ) = ka 2 (cos ϕ−s) Q pos<br />
e uno non posizionale:<br />
ϕ (s, ϕ) = −ka 2 s sin ϕ+2ka 2 sin ϕ cos ϕ− 1<br />
mga sin ϕ<br />
2<br />
Ds(s, ϕ ˙s, ˙ϕ) = −βa 2 ˙s Dϕ(s, ϕ ˙s, ˙ϕ) = −βa 2 (s 2 + 4) ˙ϕ .<br />
Il primo risulta conservativo, per via <strong>del</strong>la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> chiusura — o “irrotazionalità” —<br />
∂Q pos<br />
s<br />
∂ϕ<br />
∂Qpos ϕ<br />
(s, ϕ) −<br />
∂s (s, ϕ) = −ka2 sin ϕ − (−ka 2 sin ϕ) = 0<br />
12
sod<strong>di</strong>sfatta sul dominio convesso (s, ϕ) ∈ (0, 2) × R. In effetti, è imme<strong>di</strong>ato verificare per<br />
integrazione <strong>di</strong>retta che alle sollecitazioni posizionali va associato il potenziale<br />
U(s, ϕ) = ka 2 s cos ϕ + ka 2 sin 2 ϕ + 1<br />
ka2<br />
mga cos ϕ −<br />
2 2 s2<br />
(s, ϕ) ∈ (0, 2) × R .<br />
Le sollecitazioni non posizionali hanno invece natura completamente <strong>di</strong>ssipativa, visto il<br />
valore non positivo <strong>del</strong>la potenza:<br />
π = Ds ˙s + Dϕ ˙ϕ = −βa 2 ˙s ˙s − βa 2 (s 2 + 4) ˙ϕ ˙ϕ = −βa 2 ˙s 2 − βa 2 (s 2 + 4) ˙ϕ 2 ≤ 0<br />
che si annulla unicamente per velocità generalizzate tutte nulle:<br />
π = 0 ⇐⇒ −βa 2 ˙s 2 − βa 2 (s 2 + 4) ˙ϕ 2 = 0 ⇐⇒ ( ˙s, ˙ϕ) = (0, 0) .<br />
Annullandosi a velocità generalizzate nulle, le sollecitazioni <strong>di</strong>ssipative non hanno influenza<br />
alcuna sulle configurazioni <strong>di</strong> equilibrio, che quin<strong>di</strong> devono identificarsi con tutti e soli i<br />
punti critici <strong>del</strong> potenziale U. Le derivate parziali prime <strong>di</strong> U si scrivono:<br />
∂U<br />
= Qpos s (s, ϕ) = ka<br />
∂s 2 (cos ϕ − s)<br />
∂U<br />
= Qpos ϕ<br />
∂ϕ (s, ϕ) = −ka2s sin ϕ + 2ka 2 sin ϕ cos ϕ − 1<br />
mga sin ϕ<br />
2<br />
e porgono il sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong> equilibrio:<br />
⎧<br />
⎨ ka 2 (cos ϕ − s) = 0<br />
⎩<br />
−ka 2 s sin ϕ + 2ka 2 sin ϕ cos ϕ − 1<br />
mga sin ϕ = 0<br />
2<br />
la prima <strong>del</strong>le quali fornisce s in funzione <strong>del</strong>l’angolo ϕ:<br />
(0.4)<br />
s = cos ϕ . (0.5)<br />
Sostituendo questa relazione <strong>del</strong>la seconda <strong>del</strong>le equazioni (0.4) si perviene all’equazione<br />
pura in ϕ:<br />
ka 2 sin ϕ cos ϕ − 1<br />
mga sin ϕ = 0<br />
2<br />
ossia<br />
ka 2 <br />
sin ϕ cos ϕ − mg<br />
<br />
2ka<br />
= 0 ,<br />
dalla quale si traggono ra<strong>di</strong>ci per sin ϕ = 0 e per cos ϕ − (mg/2ka) = 0.<br />
Nel primo caso si hanno le soluzioni ϕ = 0 e ϕ = π, che in virtù <strong>del</strong>la (0.5) conducono agli<br />
equilibri<br />
(s, ϕ) = (1, 0) (s, ϕ) = (−1, π) ,<br />
13
dei quali tuttavia soltanto il primo è definito, peraltro incon<strong>di</strong>zionatamente. Nel secondo<br />
caso risulta invece<br />
<br />
mg<br />
<br />
ϕ = arccos = ϕ<br />
2ka<br />
⋆<br />
ϕ = −ϕ ⋆<br />
con i corrispondenti equilibri<br />
(s, ϕ) = (cos ϕ ⋆ , ϕ ⋆ ) =<br />
<br />
mg<br />
<br />
, ϕ⋆<br />
2ka<br />
definiti e <strong>di</strong>stinti dai precedenti a con<strong>di</strong>zione che si abbia<br />
λ := mg<br />
2ka<br />
non qual caso è anche ϕ ⋆ = arccos λ ∈ (0, π/2).<br />
< 1 ,<br />
(s, ϕ) =<br />
<br />
mg<br />
<br />
, −ϕ⋆ ,<br />
2ka<br />
(c) Stabilità degli equilibri<br />
La presenza <strong>di</strong> sollecitazioni posizionali conservative e <strong>di</strong> sollecitazioni completamente <strong>di</strong>ssipative,<br />
unitamente alla circostanza che gli equilibri <strong>del</strong> sistema sono in numero finito<br />
e dunque necessariamente isolati, consente <strong>di</strong> risolvere il problema <strong>del</strong>la stabilità degli<br />
equilibri ricorrendo alla forma forte <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong> Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri<br />
<strong>di</strong> Barbasin e Krasovskii. Si ha stabilità asintotica <strong>di</strong> tutti i massimi relativi propri <strong>del</strong><br />
potenziale e instabilità in ogni altro caso. Le derivate parziali seconde <strong>del</strong> potenziale si<br />
scrivono:<br />
∂2U (s, ϕ) = −ka2<br />
∂s2 ∂2U ∂ϕ∂s (s, ϕ) = ∂2U ∂s∂ϕ (s, ϕ) = −ka2 sin ϕ<br />
∂2U ∂ϕ2 (s, ϕ) = −ka2s cos ϕ + 2ka 2 (cos 2 ϕ − sin 2 ϕ) − 1<br />
mga cos ϕ<br />
2<br />
e definiscono la matrice hessiana:<br />
HU (s, ϕ) = ka 2<br />
<br />
−1<br />
− sin ϕ<br />
− sin ϕ<br />
−s cos ϕ + 2 cos2ϕ − 2 sin 2 <br />
ϕ − λ cos ϕ<br />
che va calcolata in ciascuna configurazione <strong>di</strong> equilibrio.<br />
Equilibrio (s, ϕ) = (1, 0)<br />
Nella fattispecie la matrice hessiana <strong>del</strong> potenziale si riduce alla forma <strong>di</strong>agonale<br />
HU (1, 0) = ka 2<br />
<br />
<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
−1 + 2 − λ<br />
= ka 2<br />
<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
1 − λ<br />
14
dalla quale è imme<strong>di</strong>ato riconoscere che:<br />
(i) se λ > 1 la matrice è definita negativa, e la configurazione costituisce perciò un<br />
massimo relativo proprio <strong>del</strong> potenziale, asintoticamente stabile;<br />
(ii) per λ < 1 l’hessiana risulta indefinita. L’equilibrio è un punto <strong>di</strong> sella. L’assenza <strong>del</strong><br />
massimo basta a concludere che l’equilibrio è instabile;<br />
(iii) qualora si abbia infine λ = 1 la matrice HU (1, 0) appare semidefinita non definita<br />
negativa — gli autovalori sono uno negativo ed uno nullo, essendo negativa la traccia<br />
e nullo il determinante. L’analisi <strong>del</strong>l’hessiana non basta né a provare né ad escludere<br />
l’esistenza <strong>di</strong> un massimo. Ricorre dunque un caso critico <strong>di</strong> stabilità. In realtà, la<br />
natura <strong>del</strong> punto stazionario si può stabilire per via <strong>di</strong>retta, ricorrendo ad una piccola<br />
manipolazione algebrica. Per λ = 1 si ha infatti:<br />
e posto<br />
si ottiene<br />
U(s, ϕ) = ka 2<br />
<br />
− s2<br />
2 + s cos ϕ + sin2 <br />
ϕ + λ cos ϕ =<br />
= ka 2<br />
<br />
− s2<br />
2 + s cos ϕ + sin2 <br />
ϕ + cos ϕ<br />
U(s, ϕ) = 1<br />
U(s, ϕ) e (s, ϕ) = (1 + δs, δϕ) ,<br />
ka2 U(1 + δs, δϕ) = − 1<br />
2 (1 + δs)2 + (1 + δs) cos δϕ + sin 2 δϕ + cos δϕ =<br />
= − 1 1<br />
− δs −<br />
2 2 δs2 + δs cos δϕ + 2 cos δϕ + sin 2 δϕ .<br />
Usando poi le identità trigonometriche<br />
2 δϕ<br />
cos δϕ = 1 − 2 sin<br />
2<br />
la relazione precedente <strong>di</strong>venta<br />
e sin δϕ = 2 sin δϕ<br />
2<br />
cos δϕ<br />
2<br />
U(1 + δs, δϕ) = − 1 1<br />
−<br />
2 2 δs2 2 δϕ<br />
δϕ δϕ δϕ<br />
− 2δs sin + 2 − 4 sin2 + 4 sin2 cos2<br />
2 2 2 2 =<br />
= 3 1<br />
−<br />
2 2 δs2 − 2δs sin 2 δϕ<br />
2 − 4 sin4 δϕ<br />
2 =<br />
= 3 1<br />
<br />
− δs<br />
2 2<br />
2 2 δϕ δϕ<br />
<br />
4 δϕ<br />
+ 4δs sin + 4 sin4 − 2 sin<br />
2 2<br />
2 =<br />
= 3 1<br />
<br />
2 δϕ<br />
2 4 δϕ<br />
− δs + 2 sin − 2 sin<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
espressione da cui appare evidente che (s, ϕ) = (1, 0) costituisce anche nel caso critico<br />
un massimo relativo proprio <strong>del</strong> potenziale. La stabilità asintotica segue ancora dai<br />
criteri <strong>di</strong> Barbasin e Krasovskii.<br />
15
Equilibrio (s, ϕ) = (λ, ϕ⋆ )<br />
In questo caso la matrice hessiana <strong>del</strong> potenziale <strong>di</strong>venta<br />
HU (λ, ϕ ⋆ ) = ka 2<br />
<br />
−1 − sin ϕ⋆ − sin ϕ⋆ −λ cos ϕ⋆ + 2 cos2ϕ⋆ − 2 sin 2 ϕ⋆ − λ cos ϕ⋆ <br />
ed essendo λ = cos ϕ⋆ , con λ < 1 e ϕ⋆ ∈ (0, π/2), si riduce alla forma<br />
HU (λ, ϕ ⋆ ) = ka 2<br />
<br />
−1 − sin ϕ⋆ − sin ϕ⋆ −2 sin 2 ϕ⋆ <br />
.<br />
La matrice ha determinante positivo<br />
e traccia negativa<br />
detHU (λ, ϕ ⋆ ) = k 2 a 4 sin 2 ϕ ⋆ > 0<br />
trHU (λ, ϕ ⋆ ) = −ka 2 (1 + 2 sin 2 ϕ ⋆ ) < ka 2 < 0<br />
per cui risulta definita negativa. L’equilibrio è dunque un massimo relativo proprio <strong>del</strong><br />
potenziale, <strong>di</strong> cui i criteri <strong>di</strong> Barbasin-Krasovskii assicurano la stabilità asintotica.<br />
Equilibrio (s, ϕ) = (λ, ϕ⋆ )<br />
La matrice hessiana <strong>del</strong> potenziale in questa configurazione è identica a quella calcolata<br />
per l’equilibrio precedente:<br />
HU (λ, −ϕ ⋆ ) = ka 2<br />
<br />
−1 − sin ϕ⋆ − sin ϕ⋆ −2 sin 2 ϕ⋆ <br />
.<br />
Anche questo equilibrio risulta stabile asintoticamente per la forma forte <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong><br />
Lagrange-Dirichlet.<br />
Soluzione <strong>del</strong>l’esercizio 4<br />
(a) Equazioni <strong>del</strong>le piccole oscillazioni<br />
La lagrangiana <strong>del</strong> sistema scleronomo si scrive:<br />
L = ma 2<br />
3<br />
2 +x<br />
<br />
˙x 2 <br />
1 3<br />
+ +<br />
2 2 y<br />
<br />
˙y 2 <br />
+ 1− 1<br />
2 y2 + 1<br />
2 xy<br />
<br />
˙x ˙y +ka 2<br />
2xy−x 2 − 3<br />
2 y2−2x 2 y+xy 2<br />
.<br />
La parte quadratica nelle velocità generalizzate ˙x, ˙y va identificata con l’energia cinetica<br />
<strong>del</strong> sistema:<br />
T = ma 2<br />
3<br />
<br />
+ x ˙x<br />
2 2 <br />
1 3<br />
+ +<br />
2 2 y<br />
<br />
˙y 2 <br />
+ 1 − 1<br />
2 y2 + 1<br />
2 xy<br />
<br />
˙x ˙y =<br />
= 1<br />
2 ma2<br />
<br />
(3 + 2x) ˙x 2 + (1 + 3y) ˙y 2 + (2 − y 2 <br />
+ xy) ˙x ˙y = 1<br />
<br />
˙x<br />
( ˙x ˙y)A(x, y)<br />
2 ˙y<br />
16
con la matrice <strong>di</strong> rappresentazione:<br />
A(x, y) = ma 2<br />
⎛<br />
⎞<br />
xy − y2<br />
⎜<br />
3 + 2x 1 +<br />
⎝<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
xy − y2<br />
1 + 1 + 3y<br />
2<br />
che per l’equilibrio (x, y) = (0, 0) <strong>di</strong>venta<br />
A(0, 0) = ma 2<br />
<br />
3 1<br />
1 1<br />
ed è chiaramente definita positiva — positivi sono infatti traccia e determinante. L’espressione<br />
residua <strong>del</strong>la lagrangiana, funzione <strong>del</strong>le sole coor<strong>di</strong>nate generalizzate x e y, costituisce<br />
il potenziale <strong>del</strong> sistema:<br />
U(x, y) = L − T = ka 2<br />
2xy − x 2 − 3<br />
2 y2 − 2x 2 y + xy 2<br />
ed ammette le derivate parziali prime:<br />
che si annullano per (x, y) = (0, 0):<br />
∂U<br />
∂x (x, y) = ka2 (2y − 2x − 4xy + y 2 )<br />
∂U<br />
∂y (x, y) = ka2 (2x − 3y − 2x 2 + 2xy)<br />
∂U<br />
(0, 0) = 0<br />
∂x<br />
∂U<br />
(0, 0) = 0 .<br />
∂y<br />
Rimane così verificato che la configurazione (x, y) = (0, 0) è un equilibrio <strong>del</strong> sistema. Le<br />
derivate parziali seconde <strong>del</strong> potenziale valgono invece<br />
∂2U ∂x2 (x, y) = ka2 (−2 − 4y)<br />
∂2U ∂y∂x (x, y) = ka2 (2 − 4x + 2y)<br />
∂2U ∂y∂x (x, y) = ka2 (2 − 4x + 2y)<br />
∂2U ∂y2 (x, y) = ka2 (−3 + 2x)<br />
e porgono la matrice hessiana<br />
HU (x, y) = ka 2<br />
<br />
−2 − 4y 2 − 4x + 2y<br />
2 − 4x + 2y −3 + 2x<br />
che in (x, y) = (0, 0) si riduce alla forma definita negativa<br />
HU (0, 0) = ka 2<br />
<br />
−2 2<br />
,<br />
2 −3<br />
17
provando in tal modo che non solo l’equilibrio è stabile ma che attorno ad esso è altresì<br />
applicabile la teoria canonica <strong>del</strong>le piccole oscillazioni. Posto (x, y) = (δx, δy), con δx, δy <br />
0, le equazioni <strong>del</strong>le piccole oscillazioni sono date dalla relazione matriciale:<br />
<br />
<br />
δx¨ ¨<br />
δx<br />
A(0, 0) − HU (0, 0) = 0<br />
δy<br />
δy<br />
ossia da<br />
ma 2<br />
<br />
3 1 δx¨ ¨<br />
− ka<br />
1 1 δy<br />
2<br />
<br />
−2 2 δx<br />
2 −3 δy<br />
che eseguiti e prodotti e <strong>di</strong>stinte le componenti si riduce al sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali<br />
lineari: ⎧<br />
⎨ ma<br />
⎩<br />
2 (3 ¨ δx + ¨ δy) − ka2 (−2δx + 2δy) = 0<br />
ma2 ( ¨ δx + ¨ δy) − ka2 (2δx − 3δy) = 0 .<br />
(0.6)<br />
(b) Frequenze normali <strong>del</strong>le piccole oscillazioni<br />
Le pulsazioni normali <strong>del</strong>le piccole oscillazioni attorno a (x, y) = (0, 0) si ottengono imponendo<br />
al sistema (0.6) soluzioni non banali <strong>del</strong>la forma:<br />
= 0<br />
δx = a cos(ωt + ϕ) δy = b cos(ωt + ϕ) ∀ t ∈ R .<br />
La con<strong>di</strong>zione necessaria e sufficiente per l’esistenza <strong>di</strong> soluzioni cosiffatte è data dall’equazione<br />
caratteristica in ω:<br />
det ω 2 A(0, 0) + HU (0, 0) = 0<br />
vale a <strong>di</strong>re<br />
<br />
det ma 2 ω 2<br />
<br />
3 1<br />
+ ka<br />
1 1<br />
2<br />
<br />
−2 2<br />
2 −3<br />
e quin<strong>di</strong>, <strong>di</strong>videndo membro a membro per (ka 2 ) 2 ,<br />
2 mω<br />
det<br />
k<br />
3 1<br />
1 1<br />
<br />
+<br />
−2 2<br />
2 −3<br />
Posto per brevità mω2 /k = µ, l’equazione <strong>di</strong>venta<br />
<br />
3µ − 2 µ + 2<br />
= 0<br />
µ + 2 µ − 3<br />
e calcolato il determinante a primo membro si riduce a<br />
2µ 2 − 15µ + 2 = 0 .<br />
È imme<strong>di</strong>ato calcolare le ra<strong>di</strong>ci — positive —<br />
µ = 15 ± √ 225 − 4 · 2 · 2<br />
2 · 2<br />
= 15 ± √ 209<br />
4<br />
18<br />
<br />
= ↗<br />
↘<br />
= 0.<br />
= 0<br />
15 − √ 209<br />
= µ1<br />
4<br />
15 + √ 209<br />
= µ2 .<br />
4
Le pulsazioni normali <strong>del</strong>le piccole oscillazioni <strong>di</strong>ventano pertanto:<br />
ω1 = √ µ1<br />
k<br />
m<br />
e da esse si deducono le frequenze normali richieste:<br />
f1 = ω1<br />
2π<br />
<br />
1<br />
= 15 −<br />
4π<br />
√ <br />
k<br />
209<br />
m<br />
Si osservi che per mezzo <strong>del</strong>l’identità<br />
<br />
a ± √ b =<br />
si può anche scrivere<br />
<br />
15 ± √ 209 =<br />
ω2 = √ µ2<br />
f2 = ω2<br />
2π<br />
<br />
a + √ a2 <br />
− b a −<br />
±<br />
2<br />
√ a2 − b<br />
2<br />
<br />
15 + 4<br />
2 ±<br />
<br />
15 − 4<br />
2<br />
=<br />
k<br />
m<br />
<br />
19<br />
2 ±<br />
<br />
11<br />
2 =<br />
<br />
1<br />
= 15 +<br />
4π<br />
√ <br />
k<br />
209<br />
m .<br />
∀ a, b > 0 , a 2 > b ,<br />
√ 19 ± √ 11<br />
√ 2<br />
per cui le pulsazioni normali possono anche esprimersi nella forma equivalente:<br />
f1 = 1<br />
4π<br />
√ √ <br />
19 − 11 k<br />
√<br />
2 m<br />
f2 = 1<br />
4π<br />
√ √ <br />
19 + 11 k<br />
√<br />
2 m .<br />
(c) Mo<strong>di</strong> normali <strong>del</strong>le piccole oscillazioni<br />
Si devono <strong>di</strong>stinguere un modo “basso”, associato alla pulsazione minore ω1, e un modo<br />
“alto” <strong>di</strong> pulsazione ω2 > ω1.<br />
Modo basso<br />
Il modo normale ha la forma<br />
<br />
δx<br />
δy<br />
=<br />
a1<br />
b1<br />
<br />
cos(ω1t + ϕ1) ∀ t ∈ R ,<br />
con vettore <strong>del</strong>le ampiezze (a1 b1) non nullo. Detto vettore viene in<strong>di</strong>viduato dall’equazione<br />
<br />
2<br />
ω1A(0, 0) + HU (0, 0) <br />
a1<br />
= 0 (a1 b1) = (0 0)<br />
ossia da <br />
3µ1 − 2 µ1 + 2 a1<br />
= 0<br />
µ1 + 2 µ1 − 3 b1<br />
b1<br />
19<br />
,
dove i coefficienti <strong>del</strong>la matrice quadrata risultano:<br />
3µ1 − 2 = 3 · 15 − √ 209<br />
4<br />
µ1 + 2 = 15 − √ 209<br />
4<br />
µ1 − 3 = 15 − √ 209<br />
4<br />
− 2 = 45 − 3√ 209 − 8<br />
4<br />
+ 2 = 23 − √ 209<br />
4<br />
− 3 = 3 − √ 209<br />
4<br />
,<br />
= 37 − 3√ 209<br />
4<br />
in modo che, omessi i comuni denominatori, l’equazione <strong>del</strong>le ampiezze <strong>di</strong>venta<br />
⎛<br />
⎝ 37 − 3√ 209 23 − √ 209<br />
23 − √ 209 3 − √ 209<br />
⎞<br />
⎠<br />
a1<br />
b1<br />
<br />
= 0<br />
ovvero ⎧<br />
⎨ (37 − 3 √ 209)a1 + (23 − √ 209)b1 = 0<br />
⎩ (23 − √ 209)a1 + (3 − √ 209)b1 = 0 .<br />
Dalla prima equazione si deduce che il rapporto <strong>del</strong>le ampiezze deve assumere un valore<br />
fissato:<br />
b1<br />
a1<br />
= 3√209 − 37<br />
23 − √ 209 = (3√209 − 37)(23 + √ 209)<br />
529 − 209<br />
= 32√ 209 − 224<br />
320<br />
=<br />
√<br />
209 − 7<br />
,<br />
10<br />
lo stesso peraltro desumibile dalla seconda equazione, che è linearmente <strong>di</strong>pendente dalla<br />
prima:<br />
b1<br />
a1<br />
= 23 − √ 209<br />
√ 209 − 3 = (23 − √ 209)( √ 209 + 3)<br />
200<br />
= 20√ 209 − 140<br />
200<br />
Si può allora porre a1 = 10 e b1 = √ 209 − 7 e scrivere il modo normale come<br />
<br />
δx<br />
δy<br />
= A1<br />
per A1 = 0 e ϕ1 ∈ R assegnati a piacere.<br />
Modo alto<br />
Il modo alto è espresso da<br />
√ √<br />
10<br />
19 − 11<br />
√ cos<br />
209 − 7 2 √ <br />
k<br />
t + ϕ1<br />
2 m<br />
<br />
δx<br />
δy<br />
=<br />
a2<br />
b2<br />
<br />
cos(ω2t + ϕ1) ∀ t ∈ R ,<br />
20<br />
=<br />
√<br />
209 − 7<br />
.<br />
10<br />
∀ t ∈ R ,
con ampiezze a2, b2 non entrambe nulle e fase ϕ2 arbitraria. L’equazione che definisce le<br />
ampiezze è in questo caso<br />
<br />
2<br />
ω2A(0, 0) + HU (0, 0) <br />
a2<br />
= 0 (a2 b2) = (0 0)<br />
ovvero <br />
3µ2 − 2 µ2 + 2 a2<br />
= 0 ,<br />
µ2 + 2 µ2 − 3 b2<br />
b2<br />
dove µ2 <strong>di</strong>fferisce da µ1 per la sola sostituzione √ 209 → − √ 209. <strong>Un</strong> calcolo analogo a<br />
quello precedente porge pertanto:<br />
e l’espressione <strong>del</strong> modo normale <strong>di</strong>venta<br />
<br />
δx<br />
δy<br />
a2 = 10 b2 = − √ 209 − 7<br />
<br />
10<br />
= A2<br />
− √ √ √<br />
19 + 11<br />
cos<br />
209 − 7 2 √ <br />
k<br />
t + ϕ2<br />
2 m<br />
con A2 = 0 e ϕ2 costanti reali arbitrarie.<br />
21<br />
∀ t ∈ R ,