RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI INTERI

RAPPRESENTAZIONE DELLEINFORMAZIONI__________________________________________________________________________1
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI INTERI
Esistono diversi metodi per rappresentare i numeri negativi:
• Con polarizzazione [Bias] o eccesso n
• Modulo e segno
• Complemento alla base B del numero
• Complemento a B - 1 (alla base diminuita di 1) del numero
POLARIZZAZIONE
La rappresentazione di un numero negativo con polarizzazione ha la proprietà di generare un altro numero senza
segno (sempre positivo). Se, ad esempio, si utilizzassero 8 bit, e si adottasse la rappresentazione con polarizzazione
128 o eccesso 128 , si avrebbe:
1 1 1 1 1 1 1 1 -> corrisponde a 255 in decimale, ma nella rappresentazione con
polarizzazione viene assunto uguale a 127
......................
1 0 0 0 0 0 0 0 -> corrisponde a 128 in decimale, ma si assume come 0
......................
0 0 0 0 0 0 0 0 -> corrisponde a 0 in decimale, ma viene assunto uguale a -128
In pratica per ottenere la rappresentazione di un numero con m bit tramite la polarizzazione 2 m-1 si deve sommare 2 m-1 al
numero (nell’esempio, essendo m=8, si somma 128).
MODULO E SEGNO M&S
.Nel sistema decimale la più comune e quella modulo e segno, quella a cui siamo abituati sin dalle elementari e che
consiste nell’utilizzare il segno + per gli interi positivi ed il segno – per quelli negativi.
Nel sistema binario naturalmente si può usare lo stesso metodo premettendo il segno + o il segno meno alla
rappresentazione in base 2 del modulo. In alternativa per non introdurre nuovi simboli si può usare la prima cifra per
rappresentare il segno , in modo che al + corrisponda lo 0 ed al - corrisponda l'1 (o viceversa)
E' però da notare che questo tipo di notazione non si presta molto bene per la realizzazione di calcolatori elettronici in
quanto il segno è trattato nelle varie operazioni in modo diverso da come sono trattate le varie cifre che rappresentano il
modulo [ si pensi alla sottrazione condizionata da un esame preliminare dei segni e dei moduli ]
Per questo motivo si usa spesso rappresentare i numeri negativi in una delle forme dette " forme complementate".
FORME COMPLEMENTATE
Data una qualsiasi base della rappresentazione esisteranno sempre due forme complementate
1. Il cosiddetto " complemento alla base "
2. Il cosiddetto "complemento alla base meno uno"
Esempio:
Per trovare il cosiddetto complemento a 10 di un numero si complementano a 9 tutte le cifre della sua rappresentazione
normale e si aggiunge un 1 al risultato. Così il complemento a 10 di 35 è 64 + 1 cioè 65.
Per trovare il cosiddetto complemento a 9 di un numero si complementano a 9 tutte le sue cifre. Così il complemento a 9
di 35 è 64.
E' facile vedere che ciò che viene detto complemento a 10 è in effetti il comune complemento a 10 n ( dove n è il numero
di cifre a disposizione ) cioè la differenza tra 10 n ed il numero dato: così come il complemento a 9 è in effetti il
complemento a 10 n -1 .Nei calcolatori elettronici è comodo rappresentare i numeri interi relativi nel seguente modo:
1. i numeri positivi vengono rappresentati mediante la rappresentazione in forma normale
del loro modulo;
2. i numeri negativi vengono rappresentati mediante la rappresentazione complemento
del loro modulo.
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Così ad esempio con due cifre decimali si possono rappresentare i numeri da -50 a + 49 nel sistema in complemento a
10 e si possono rappresentare i numeri da -49 a +49 nel sistema in complemento a 9 come mostrato dalla tabella:
NUMERALE NUMERO
[Comp. A 10]
00
0
01
+1
02
+2
03
+3
.
.
.
.
.
.
48
+48
49
+49
50
-50
51
-49
.
.
.
.
.
.
96
-4
97
-3
98
-2
99
-1
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NUMERO
[Compl. a 9]
0
+1
+2
+3
.
.
.
+48
+49
-49
-48
.
.
.
-3
-2
-1
0
Nella prima colonna ci sono tutti i possibili numerali di due cifre da 00 a 99
Nella seconda tutti i numeri rappresentati dai numerali della prima colonna i positivi rappresentati dal modulo , i negativi
dal complemento a 10 del modulo stesso
Nella terza colonna invece del complemento a 10 si usa il complemento a 9.
Come si vede nel caso di complemento a 10 si ha una dissimmetria in quanto il più grande numero rappresentabile è
+49 mentre il più piccolo è -50: Invece nel caso del complemento a 9 non si ha tale dissimmetria, però si hanno due
rappresentazioni diverse per lo zero 00 e 99.
In entrambi i casi i numerali la cui cifra più significativa è 0,1,2,3,e 4 rappresentano numeri positivi ; quelli la cui cifra più
significativa è 5,6,7,8, e 9 rappresentano numeri negativi.
L'importanza delle notazioni complementate deriva dalla semplificazione che tali forme apportano nell'esecuzione di
operazioni complesse come ad esempio la sottrazione tra numeri relativi che nel caso di uso delle forme complementate
verrà effettuata con le stesse regole di addizione indipendentemente dal fatto che si operi su numeri positivi o negativi.
Così ad esempio , mentre con le convenzioni usuali l'operazione di addizionare il numero -3 ed il numero +48 richiede di
essere trasformato nella sottrazione di -3 a +48, nella notazione complementata basta sommare le rappresentazioni dei
due numeri facendo uso delle normali regole di addizione.
Nel caso in esame gli operandi sono rappresentati ( vedi tabella) dai numerali 97 e 48 ed il risultato della somma è 45,
97+
48
1 | 45
dato che il riporto all'ordine superiore non può essere preso in consideraszione perché si opera con due sole cifre
Per sottrarre un numero ad un altro basta perciò sommargli il suo complemento a 10; secondo le convenzioni di cui
sopra. Così ad esempio, 10 -49 diviene
10+
51
61
La rappresentazione del risultato è anche complementata , e poiché la prima cifra è 6, il risultato e negativo e perciò
complementando di ottiene il modulo del risultato che è appunto 39.

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E' chiaro che l'uniformità delle regole di addizione ( indipendentemente dai segni degli operandi ) è un grosso vantaggio
quando si debba procedere alla automatizzazione delle operazioni, cioè alla costruzione di addizzionatori .
Quanto detto per le forme di rappresentazione in complemento a 10 vale anche per la rappresentazione complemento a
9.
In tal caso l'operazione di complementazione è più semplice, come visto in precedenza, però nell'addizione occorre
sommare al risultato nella posizione meno significativa l'eventuale riporto della cifra più significativa.
Esempio: l'operazione -3 + 48 diviene
96+
48
1 | 44+
1
45
Quanto detto a proposito della rappresentazione complementata dei numeri negativi nel sistema con base dieci può
essere generalizzato per qualsiasi altra base B, con la differenza che, invece di parlare di complemento a 10 , si parlerà
di complemento a B ed, invece di parlare di complemento a 9 si parlerà di complemento a B-1.
Per B=2 si parlerà di complemento a 2 ed a 1
Per B=16 si parlerà di complemento a 16 ed a 15.
RAPPRESENTAZIONI A CONFRONTO
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DECIMALE M&S CP2 CP1 ECC8
+ 7
+ 6
+ 5
+ 4
+ 3
+ 2
+ 1
+ 0
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
------
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
-------
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
-----
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
-----
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
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ESEMPI DI RAPPRESENTAZIONE E OPERAZIONI FRA NUMERI INTERI
RAPPRESENTAZIONE MODULO E SEGNO
Dati N bit, il bit più significativo indica il segno, ed i restanti N-1 indicano il valore assoluto del numero in
binario puro.
Il segno è codificato nel seguente modo:
0 corrisponde a +
1 corrisponde a –
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S MODULO
ESEMPIO
Rappresentare in modulo e segno su 5 bit i numeri +12 e –5
0 : bit di segno
1100: valore assoluto
01100: rappresentazione M&S di +12
1: bit di segno
0101: valore assoluto
10101: rappresentazione M&S di -5.
CONVERSIONE DA M&S A NUMERO RELATIVO
Per effettuare la conversione si scorpora il numero in due parti:
• il bit più significativo è decodificato come segno
• gli N-1 bit meno significativi sono decodificati come
valore assoluto del numero relativo.
ESEMPIO
Convertire nei corrispondenti numeri relativi le seguenti rappresentazioni modulo e segno:
• 10100
• 01110.
10100:
1: bit di segno = numero negativo
0100: valore assoluto = 4
Il numero relativo corrispondente è –4
01110:
0: bit di segno = numero positivo
1110: valore assoluto = 14
Il numero relativo corrispondente vale +14.
RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO ALLA BASE
Nella rappresentazione in complemento alla base si dà
una diversa attribuzione dei pesi associati alle cifre che
codificano il numero:
• alla cifra più alta è associato un peso negativo
• le cifre più basse hanno un peso positivo.

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Conversione da rappresentazione in complemento alla base a
numero decimale
Data una rappresentazione in complemento alla base N
di un numero M su n cifre
(M)N = (d n d n-1 ....d 2 d 1 d 0 ) N
la formula di conversione è la seguente:
V(M)N = - d n *N n + d n-1 *N n-1 + ... + d 2 *N 2 + d 1 *N 1 + d 0 *N 0
ESEMPIO
Conversione in numero decimale dei seguenti numeri in in complemento alla base 2
• 1001
• 0110
1001 = -8 + 1 = -7
0110 = +4 + 2 = +6
ESERCIZI
Convertire in numero decimale i seguenti numeri espressi in complemento a 2:
• 1001 0011 = -128 + 19 = - 109
• 0110 0100 = 100
• 1110 1100 = -128 + 108 = -20
• 1000 0101 = -128 + 5 = - 123
• 0000 0010 = 2
Conversione da numero decimale a complemento alla base 2
Occorre distinguere i due casi:
• il numero è positivo: la rappresentazione è identica alla rappresentazione modulo e segno
• il numero è negativo:
− si scrive il numero positivo corrispondente
− si complementa bit a bit
− si somma 1
ESEMPI
Rappresentazione in complemento alla base 2 su 4 cifre dei numeri +3 e -6.
• +3 è positivo: rappresentato come 0011
• -6 è negativo:
− il numero corrispondente positivo vale 0110
− complemento bit a bit ed ottengo 1001
− sommo 1 ed ottengo 1010
ESERCIZI
Rappresentare in complemento a 2 su 5 bit i seguenti numeri decimali:
• +11 = 01011
• -8 = 01000 => 10111 => 11000
• +1 = 00001
• -1 = 00001 => 11110 => 11111
• 0 = 00000
• +16: non rappresentabile in CA2 su 5 bit
• -16 = 10000 => 01111 => 10000
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OPERAZIONI IN MODULO E SEGNO
Dati due numeri X e Y in modulo e segno su N bit, la somma X+Y si calcola:
• se X ed Y hanno lo stesso segno, il risultato ha lo stesso segno e modulo pari alla somma dei moduli;
• se X ed Y hanno segni discordi si valuta il numero di modulo maggiore. Il risultato ha segno concorde al numero di
modulo maggiore. Il modulo è pari alla differenza tra il modulo maggiore ed il modulo minore.
ESEMPIO 1
Calcolare la seguente somma in modulo e segno su 4 bit:
(+3)10 +(+2)10
+3 = 0011
+2 = 0010
I due numeri hanno lo stesso segno, per cui si sommano i moduli:
011 +
010
--------
101
Il risultato è dunque = 0101.
ESEMPIO 2
Calcolare la seguente somma in modulo e segno su 4 bit:
(-1)10 + (+5)10
-1 = 1001
+5 = 0101
I due numeri sono discordi.
0101 è il numero avente modulo maggiore, il risultato ha
dunque segno positivo.
Il modulo è ricavato effettuando la differenza dei moduli.
101 -
001
-------
100
Il risultato è uguale a 0100 (+4).
ESEMPIO 3
Calcolare la seguente somma in modulo e segno su 4 bit:
(-7)10 + (+4)10
-7 = 1111
+4 = 0100
I due numeri sono discordi. 1111 è il numero avente
modulo maggiore, il risultato ha dunque segno negativo.
Il modulo è ricavato effettuando la differenza dei moduli.
111 -
100
--------
011
Il risultato è uguale a 1011 (-3).
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RAPPRESENTAZIONE DELLEINFORMAZIONI__________________________________________________________________________7
OVERFLOW IN MODULO E SEGNO
Nel caso in cui i segni degli addendi siano concordi, si
può verificare un overflow.
Tale overflow si verifica quando si ha un carry sul bit più significativo (MSB) effettuando la somma dei moduli.
ESEMPIO DI OVERFLOW
Sommare -7 + (-1)
-7 = 1111
-1 = 1001
I numeri sono concordi, per cui si sommano i moduli.
1
111 +
001
_____
1000
Si ha un carry sul MSB del modulo e dunque si ha overflow. Il risultato (-8) non è rappresentabile in modulo e segno su 4
bit.
SOTTRAZIONE IN MODULO E SEGNO
Si converte l’operazione in somma operando una inversione del minuendo.
A - B = A + (-B).
L’inversione del minuendo si effettua cambiando il segno a B.
ESEMPIO DI SOTTRAZIONE
Si effettui la seguente operazione:
+5 - (+15).
+5 = 00101
+15 = 01111
La sottrazione si converte in somma invertendo il minuendo che diventa 11111.
I due numeri sono discordi. 1111 è il modulo maggiore, dunque il risultato ha segno negativo. Il modulo si calcola come:
1111 -
0101
_____
1010
Il risultato vale dunque 1010 = -10.
ESERCIZI: SOMMA E SOTTRAZIONE IN MODULO E SEGNO
Effettuare le seguenti somme e differenze in modulo e segno su 6 bit:
• 14 + (-7)
• (-24) + 15
• 4 - (12)
• -2 - (-13)
SOMMA IN COMPLEMENTO A DUE
• Dati due numeri X e Y in complemento a due su N bit, la somma X+Y si calcola sommando aritmeticamente tutti
i bit degli addendi, compreso quello di segno.
• L’eventuale carry oltre il bit di segno viene tralasciato.
ESEMPIO
Calcolare (-7) + 10 in complemento a due su 5 bit.
-7 = 11001
10 = 01010
1
1 1 0 0 1 +
0 1 0 1 0
_________
0 0 0 1 1
Tralasciando il carry, il risultato vale 00011 = +3.
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RAPPRESENTAZIONE DELLEINFORMAZIONI__________________________________________________________________________8
DIFFERENZA IN COMPLEMENTO A DUE
Ci si deve ricondurre al caso della somma trasformando la differenza nella somma del primo numero con l’inverso del
secondo.
ESEMPIO
Calcolare (-7) - 4 in complemento a due su 5 bit.
Si opera come se l’operazione fosse (-7) + (-4).
-7 = 11001
-4 = 11100
1
1 1 0 0 1 +
1 1 1 0 0
--------------
1 0 1 0 1
Tralasciando il carry, il risultato vale 10101 = -11.
OVERFLOW IN COMPLEMENTO A 2
Si può verificare un overflow nell’operazione tra due numeri in complemento a due quando si effettua la somma di due
numeri concordi.
Si ha overflow quando il segno del risultato è diverso dal segno dei due addendi.
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RAPPRESENTAZIONE DELLEINFORMAZIONI__________________________________________________________________________9
Sa
Sb
Sa = Sb ! Sr
Sr
ESEMPIO DI OVERFLOW
Calcolare (-12) + (-6) in complemento a due su 5 bit:
(-12) = 10100
(-6) = 11010
1
1 0 1 0 0 +
1 1 0 1 0
--------------
0 1 1 1 0
Si ha carry oltre il bit di segno, che viene ignorato.
Il bit di segno è diverso da quello degli addendi, dunque la somma ha prodotto overflow.
ESEMPI
Eseguire le seguenti operazioni in complemento a due su 9 bit:
• 255 + 2 + (-127).
L’ordine con cui eseguo le due operazioni è aritmeticamente equivalente.
Provo ad eseguire prima 255 + 2.
Ottengo:
011111111
000000010
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100000001 Overflow.
Provo ad eseguire prima la somma +2 + (-127)
0000000010
1100000001
Il risultato finale vale +130.
ESERCIZI
Eseguire le seguenti operazioni
• 1101 + 1110
• 1011 + 0011
• 1001 + 1100
con i numeri rappresentati
• complemento a due;
• modulo e segno.
ESERCIZI
Eseguire le seguenti operazioni
• 11101 - 01010
• 00011 - 00101
• 10010 - 11100
con i numeri rappresentati
• complemento a due;
• modulo e segno.
1100000011 +
0111111111
0100000010
RAPPRESENTAZIONE DELLEINFORMAZIONI__________________________________________________________________________10
ESERCIZI
Eseguire le seguenti operazioni tra numeri binari rappresentati in complemento a 2 su 8 bit, indicando se il risultato e'
corretto o se si e' verificato overflow:
• 01101101 + 10001111
• 01101101 - 10001111
• 10111010 – 00001010
ESERCIZI
Eseguire le seguenti operazioni tenendo conto che i numeri, espressi in forma esadecimale, sono da intendersi
rappresentati in complemento a 2 su 8 bit:
• DF + 98
• A0 - F2
• F1 - 54
• 74 + 72
SOLUZIONE
(DF)16 = (1101 1111)2
(98)16 = (1001 1000)2
SOLUZIONE
(A0)16 = (1010 0000)2
(F2)16 = (1111 0010)2
-(F2)16 = 0000 1101 => 0000 1110
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1101 1111 +
1001 1000 =
__________
0111 0111 overflow.
1010 0000 +
0000 1110
__________
1010 1110 = -128 + 46 = - 82
MOLTIPLICAZIONE TRA NUMERI IN MODULO E SEGNO
Dati due numeri X e Y rappresentati in modulo e segno
su N bit per effettuare il prodotto tra X e Y occorre:
• separare il modulo dal segno di ciascun fattore;
• il modulo del risultato è ottenuto operando il
prodotto dei moduli;
• il segno è ottenuto mediante l’applicazione della
regola elementare del prodotto dei segni:
X Y Ris
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
ESEMPIO
Eseguire il seguente prodotto tra numeri in modulo e segno:
10011 x 00101
Il segno è negativo.
Il prodotto dei moduli vale:
11 x
101
--------
11 +
1100
----------
1111
Il risultato vale 11111 = -15.

RAPPRESENTAZIONE DELLEINFORMAZIONI__________________________________________________________________________11
MOLTIPLICAZIONE TRA NUMERI IN COMPLEMENTO A DUE
Algoritmo di Robertson:
Dati X e Y rappresentati in CA2 il loro prodotto e' calcolato
nel modo seguente:
• Se Y e' positivo con il solito metodo della somma e scorrimento
• Se Y e' negativo si applica il metodo della somma e scorrimento, con la modifica che il contributo del bit di
segno deve essere sottratto.
ESEMPIO
Eseguire il seguente prodotto tra numeri in complemento a 2:
00011 x 11101
-
ESERCIZI
Eseguire le seguenti operazioni
• 11101 x 00110
• 11110 x 00101
• 00010 x 11100
con i numeri rappresentati
1. complemento a due;
2. modulo e segno.
virgilio rappres1_3.doc
11
11101
--------
11 +
00- +
11-- +
---------
1111 +
11- - ----------
-
100111 -11-
- - ----------
110111
OSSERVAZIONE SULLA CONDIZIONE DI OVERFLOW
La condizione di overflow si puo’ rilevare in uno dei due seguenti modi:
1) si ha overflow se S1 = S2 e S1 γ Sr, con S1 bit del segno del 1° operando, S2 bit del segno del 2° operando e Sr bit del
segno del risultato (corrisponde, per es., all’ovvia considerazione che la somma tra due numeri negativi non può fornire
un numero positivo).
2) si ha overflow se il riporto generato sull’ultima cifra è γ dal riporto generato sulla penultima.
Il metodo 1) di rivelare l’overflow conduce alla equazione:
_______ ______
Overflow= ( S1 / S2 ) ∗ (S1 / Sr) = (S1 / S2) ∗ ( S2 / Sr )
Il metodo 2), invece, conduce alla equazione:
Overflow=(d4/ d5)
dove d4 è il riporto dalla quarta cifra, e d5 è il riporto dalla quinta cifra (questo sempre nel tipo di rappresentazione usato
nei precedenti esempi, cioè tramite 4 bit + 1 bit di segno).
RAPPRESENTAZIONE DELLEINFORMAZIONI__________________________________________________________________________12
ESEMPIO1:
si vuole eseguire l’operazione 9 + 11.
910= 0 1 0 0 12
1010= 0 1 0 1 12
virgilio rappres1_3.doc
0 1 0 0 1 +
0 1 0 1 1 =
1 0 1 0 0
Il risultato è - 12. Si ha overflow ed entrambe le formule di overflow evidenziano l’errore:
_______
Overflow= ( 0 / 0 ) ∗ ( 0 / 1) = 1
Overflow=(1 / 0)= 1 (in questo caso d4 =1, e d5 =0).
ESEMPIO2: si vuole eseguire l’operazione 9 - 5.
910= 0 1 0 0 12
5 -----> 510= 0 0 1 0 12 ----> -510 = 1 1 0 1 0 Ca 1 + 1 = 1 1 0 1 1Ca2
-
0 1 0 0 1 +
1 1 0 1 1 =
1 0 0 1 0 0
Il risultato è + 4 e nessuna delle due formule rileva, correttamente, alcun errore:
Overflow= (1/1)=0
_____
Overflow= (0/1) ∗ ( 0/ 0)=0