Vettori Complessi e Polarizzazione (pdf 221K) - Nettuno

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Caratterizzazione in termini delle componenti cartesiane nel piano di polarizzazione 5 Rispetto al nuovo sistema di riferimento x ′ , y ′ , i semiassi dell’ellisse sono dati da eliminando α si ottiene a = b = Si definisce l’angolo di eccentricità come ˆfx ˆ fy| sin φ| ˆf 2 x sin 2 α + ˆ f 2 y cos 2 α − ˆ fx ˆ fy sin 2α cos φ ˆfx ˆ fy| sin φ| ˆf 2 x sin 2 α + ˆ f 2 y cos2 α + ˆ fx ˆ fy sin 2α cos φ √ 2fx ˆ a = ˆ fy| sin φ| ( ˆ f 2 x + ˆ f 2 x ) − ( ˆ f 2 x + ˆ f 2 x )2 − 4 ˆ f 2 x ˆ f 2 y sin2 1/2 φ √ 2fx ˆ b = ˆ fy| sin φ| ( ˆ f 2 x + ˆ f 2 x)+ ( ˆ f 2 x + ˆ f 2 x) 2 − 4 ˆ f 2 x ˆ f 2 y sin2 1/2 φ tan γ = ± b a il segno positivo si ha per φ>0, e cioè φy >φx se ˆ fx e ˆ fy sono positivi. Al tempo t =0si ha Fx(0) = ˆ fx cos φx e Fy(0) = ˆ fy cos φy. Questi valori sono supposti entrambi positivi. Se φy >φx, Fy(t) cambia segno allorché ωt = π/2 − φy, primacioè dell’istante in cui cambia segno Fx(t). Pertanto la polarizzazione è destrogira. Solitamente l’angolo di eccentricità si esprime attraverso sin 2γ = 2tanγ 1+tan 2 γ = 2 ˆ fx ˆ fy sin φ ˆf 2 x + ˆ f 2 y Caratterizzazione in termini delle componenti cartesiane nel piano di polarizzazione Si consideri un sistema di riferimento con il piano xy coincidente con il piano di polarizzazione, cioè il piano individuato dai componenti fr e fj del vettore di polarizzazione f. LP Nel caso di polarizzazione lineare si èvistochesipuò scrivere f =(fr +jfj) û = c û con c ∈ C, û ∈ R 3 e | û| = 1. Dunque: fx =(fr +jfj)ux fy =(fr +jfj)uy = uy ux (17) (18) (19) (20) (21) (22) fx = rfx con r ∈ R (23) Si ha allora che fx e fy come numeri complessi sono in fase (arg fx − arg fy = 0), oppure in opposizione di fase (arg fx − arg fy = 0). Viceversa, se fx e fy sono in fase oppure in
6 opposizione di fase, si può passare dall’uno all’altro moltiplicando per un numero r reale, ciè fy = rfy. Per cui f = fx ˆx + rfy ˆy = fx( ˆx + r ˆy) (24) e quindi f è il prodotto del numero complesso fx per un vettore reale, ossia è polarizzato linearmente. E’ possibile dire dunque: f polarizzato linearmente ⇐⇒ fx = rfy con r ∈ R (25) CP Allo stesso modo si procede per la polarizzazione circolare. In questo caso si èvistochetrai componenti del vettore di polarizzazione debbono sussistere le seguenti relazioni: |fr| = |fj| e fr · fj = 0 (26) Queste possono essere scritte in termini delle componenti rispetto al sistema di riferimento fissato nel piano di polarizzazione. ⎧⎪⎨ ⎪⎩ f 2 rx + f 2 ry = f 2 jx + f 2 jy frxfjx + fryfjy =0 Dalla seconda si ricava, quadrando, f 2 rx =(f2 ryf 2 jy )/f 2 . Sostituendo nella prima si ottiene: jx f 2 ry f 2 jy f 2 jx + f 2 ry = f 2 jx + f 2 jy ⇒ f 2 ry (f 2 jy + f 2 jx )=f 2 rx (f 2 jy + f 2 jx ) ⇒ fry = ±fjx (28) Dalla seconda fryfjy = −frxfjx, dacuiseguefjy = ∓frx. Ma allora: fy = fry +jfjy = ±fjx ∓ j frx = ∓j fx Viceversa se fy = ±j fx segue fry +jfjy = ±j(frx +jfjx) =±frx ∓ fjx. Uguagliando parte reale e parte immaginaria si ottengono le relazioni fjy = ±frx e fry = ∓fjx. Utilizzando queste ultime è immediato verificare che fr · fj = frxfjx + fryfjy = ±fjyfjx ∓ fjxfjy =0einoltre |f 2 r | = f 2 rx + f 2 ry = f 2 jx + f 2 jy = |f 2 j |. Dunque: f polarizzato circolarmente ⇐⇒ fy = ±j fx In questo caso fx e fy, come numeri complessi, sono in quadratura (differenza di fase di π/2). EP Nel caso più generale di polarizzazione ellittica si avrà fy = Me j φ fx, conM,φ ∈ R e M>0. In particolare se M =1eφ = ±π/2 si ha polarizzazione circolare. Il caso in cui φ = ±π/2, ma M = 1 corrisponde ad una polarizzazione ellittica in cui gli assi principali dell’ellisse coincidono con gli assi cartesiani. Se invece φ = ±π/2 (e ovviamente anche φ = 0,π caso di polarizzazione lineare) si tratta di un’ellisse con gli assi principali ruotati di un certo angolo rispetto agli assi cartesiani. (27) (29) (30)
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