Vettori Complessi e Polarizzazione (pdf 221K) - Nettuno

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Per eliminare la dipendenza dal tempo, nella prima delle (7) siponeξ =sinωt. Quadrando è
possibile scrivere un’equazione di secondo grado in ξ:
Fx
ˆfx
2 +sinφxξ =cos 2 φx(1 − ξ 2 ) (8)
ovvero
ξ 2 +2 Fx
Fx
2
ξ + − cos
ˆfx
ˆfx
2 la cui soluzione fornisce:
φx =0 (9)
ξ =sinωt = − Fx
sin φx ±
ˆfx
1
ˆf
ˆfx
2 x − F 2 x cos φx
Per cos ωt si ripete il ragionamento :
(10)
cos ωt = Fx
cos φx ±
ˆfx
1
ˆf
ˆfx
2 x − F 2 x sin φx
(11)
Sotituendo queste due espressioni nella seconda delle (7), quadrando e riordinando i termini
si ha:
ˆf 2 xF 2 y + ˆ f 2 y F 2 x − 2 ˆ fx ˆ fyFxFy cos φ = ˆ f 2 x ˆ f 2 y sin 2 φ, φ = φy − φx (12)
che è l’equazione di un’ellisse con semiassi ruotati di un certo angolo α rispetto agli assi
x e y del sistema di riferimento fissato sul piano di polarizzazione. A volte può risultare
conveniente scrvere l’equazione dell’ellisse in forma canonica; a questo scopo è possibile operare
una rotazione degli assi proprio dell’angolo α:
⎧
⎪⎨ x
⎪⎩
′ = x cos α + y sin α
y ′ = −x sin α + y cos α
Si ottiene così la nuova rappresentazione:
( ˆ f 2 x sin2 α + ˆ f 2 y cos2 α − ˆ fx ˆ fy sin 2α cos φ)F ′2
x +
+( ˆ f 2 x cos2 α + ˆ f 2 y sin2 α + ˆ fx ˆ fy sin 2α cos φ)F ′2
y +
+( ˆ f 2 x sin 2α − ˆ f 2 y sin 2α − 2 ˆ fx ˆ fy cos 2α cos φ)F ′ xF ′ y =
= ˆ f 2 x ˆ f 2 y sin 2 φ
dove F ′ x e F ′ y sono le componenti del campo vettoriale considerato riferite al nuovo sistema di
assi. Se
tan 2α = 2 ˆ fx ˆ fy cos φ
ˆf 2 x − ˆ f 2 (15)
y
allora l’ellisse viene riferita ad un sistema di assi paralleli ai suoi assi principali e con centro
nel centro dell’ellisse. L’angolo di rotazione sarà:
α = 1
2 arctan 2 ˆ fx ˆ fy cos φ
ˆf 2 x − ˆ f 2 y
(13)
(14)
(16)