Vettori Complessi e Polarizzazione (pdf 221K) - Nettuno

Ellisse di polarizzazione 3
Dunque |F(t)| 2 = |F1| 2 + F1 · F2 sin 2ωt che può essere indipendente dal tempo solo se
F1 · F2 =0.
Il caso F1 × F2 = 0 è detto di polarizzazione lineare (LP).Ilcaso|F1| = |F2| e F1 · F2 =0è
detto di polarizzazione circolare (CP). Tutti gli altri casi, invece, sono detti di polarizzazione
ellittica (EP). E’ evidente che LP e CP sono casi particolari di polarizzazione ellittica.
Si è visto come tramite la (3) sia possibile associare a F(t) un vettore complesso f = fr +jfj.
E’ possibile caratterizzare la polarizzazione in termini dei componenti fr e fj. Nel caso di
polarizzazione lineare si ha fr × fj = 0 per quanto già visto. Si osservi che se in questo caso si
può scrivere fr = fr û e fj = fj û, con û ∈ R 3 e | û| = 1; dunque f = fr+j fj =(fr+j fj) û = c û
con c ∈ C. Viceversa, se f = c û con c ∈ C e û versore reale, risulta evidentemente fr × fj = 0,
dunque polarizzazione lineare. Allo stesso modo, per quanto già detto, la polarizzazione
circolare si traduce nelle condizioni |fr| = |fj| e fr · fj = 0 che sono equivalenti a f · f =0. In
tutti i casi in cui non sono verificate le condizioni per LP e CP si ha polarizzazione ellittica.
b
y ′
y
(a)
α
a
x ′
x
Figura 1: ellisse di polarizzazione
Per ricavare esplicitamente l’equazione dell’ellisse di polarizzazione si fissa, come si è detto, un
sistema di riferimento cartesiano nel piano di polarizzazione. In questo sistema si potrà scrivere
f = fx ˆx + fy ˆy, confx = ˆ fxe j φx e fy = ˆ fye j φy numeri complessi. Dunque fr = ˆ fx cos φx ˆx +
ˆfy cos φy ˆy e fj = ˆ fx sin φx ˆx + ˆ fy sin φy ˆy, mainvirtù della (4)
b
F(t) =( ˆ fx cos φx ˆx + ˆ fy cos φy ˆy)cosωt − ( ˆ fx sin φx ˆx + ˆ fy sin φy ˆy)sinωt (6)
Proiettando lungo gli assi coordinati si ottiene il sistema:
⎧
⎪⎨ Fx =
⎪⎩
ˆ fx cos φx cos ωt − ˆ fx sin φx sin ωt
Fy = ˆ fy cos φy cos ωt − ˆ fy sin φy sin ωt
y ′
(b)
a
x ′
(7)