Vettori Complessi e Polarizzazione (pdf 221K) - Nettuno

2
Es.2 Dato F(t) = 2cosωt + π/4 ˆx +3cosωt − π/4 ˆz si determini il corrispondente vettore
complesso. utilizzando la (3) si ottiene immediatamente il vettore complesso cercato:
da cui
F(0) = 2 cos π/4 ˆx +3cos−π/4 ˆz = √ 2 ˆx + 3√
2 ˆz
2
F(π/2ω) =2cosπ/2+π/4 ˆx +3cosπ/2 − π/4 ˆz = − √ 2 ˆx + 3√
2 ˆz
2
f =( √ 2 ˆx + 3√
√ 3√
2 ˆz)+j( 2 ˆx − 2 ˆz)
2
2
E’ bene notare che in elettromagnetismo si considerano anche vettori complessi che non rap-
presentano un vettore variabile sinusoidalmente nel dominio del tempo. Esempi sono il vettore
di propagazione k = β − j α delle onde piane e il vettore di Poynting nel dominio dei fasori
P = 1
2 E × H∗ .
Ellisse di polarizzazione
E’ naturale chiedersi quale sia il luogo geometrico descritto da F(t) pensato come vettore
applicato nell’origine di R 3 .
F(t) è una funzione periodica di periodo T =(2π/ω) di classe C ∞ , dunque il luogo è una
curva regolare e chiusa, inoltre è limitata poiché |F(t)| ≤|F1 cos ωt| + |F2 sin ωt| ≤|F|1 + |F2|.
• Se F1 × F2 = 0, che comprende i casi F1 = 0 e F2 = 0, sihacheF(t) è sempre parallelo
a F1 e/o F2, descrivendo un segmento di semiampiezza |F 2 1 | + |F2 2 |.
• Se F1 × F2 = 0, F(t) è combinazione lineare dei vettori F1, F2 che sono non nulli e
non paralleli, pertanto F(t) giace sempre nel piano formato da F1 e F2 detto piano
di polarizzazione. Stabilendo in questo piano un sistema di riferimento cartesiano e
proiettando F(t) lungo gli assi coordinati si ottiene un sistema di equazioni, che dà luogo,
una volta eliminata la dipendenza dal tempo, ad un’equazione algebrica di secondo grado
nelle componenti Fx e Fy. La conica così ottenuta deve avere punti reali al finito in un
dominio limitato e dunque non può che essere un’ellisse.
• Se |F1| = |F2| e F1 · F2 = 0 l’ellisse è un cerchio e F(t) non dipende dal tempo.
Poiché |F(t)| 2 = |F1| 2 cos 2 ωt+ |F2| 2 sin 2 ωt+2F1 · F2 cos ωt sin ωt è evidente che se sono
verificate le condizioni precedenti risulta |F(t)| 2 = |F1| 2 + |F2| 2 indipendente dal tempo.
Viceversa se |F(t)| non dipende da t, allora |F(0)| 2 = |F1| 2 = |F(π/2ω)| 2 = |F2| 2 .