Vettori Complessi e Polarizzazione (pdf 221K) - Nettuno

Introduzione 1
Introduzione
L’utilizzo dei vettori complessi in elettromagnetismo è legato allo studio di campi vettoriali che
hanno una dipendenza temporale di tipo armonico. Si consideri un generico campo vettoriale
F(t) che soddisfi l’equazione dei moti armonici:
d 2
dt 2 F(t)+ω2 F(t) =0 (ω 2 > 0) (1)
E’ noto che una soluzione della (1) può essere scritta nella forma:
F(t) =F1 cos ωt + F2 sin ωt (2)
con F1 e F2 vettori reali indipendenti dal tempo. Fissata la pulsazione ω è immediato stabilire
una corrispondenza biunivoca fra le soluzioni della (1) e vettori della forma f = fr +jfj:
F(t) R
−→ f : f = F(0) − j F(π/2ω) (3)
f R−1
−→ F(t) : F(t) = ℜe fe j ωt = fr cos ωt − fj sin ωt (4)
E’ evidente che f ∈ C 3 può essere sempre decomposto nelle sue parti reale e immaginaria fr,fj
∈ R3 echeRe R−1 sono l’una l’inversa dell’altra. Dalle (3) e(4) si deduce facilmente che:
⎧
⎪⎨ fr = F1
⎪⎩ fj = −F2
e
⎧
⎪⎨ F1 = fr
⎪⎩ F2 = −fj
(5)
Es.1 Dato F(t) = 2cosωt ˆx +3cosωt ˆy − 5sinωt ˆz si determini il corrispondente vettore
complesso.
Dopo aver messo in evidenza la dipendenza temporale:
F(t) =(2ˆx +3ˆy)cosωt +(−5 ˆz)sinωt
si deducono F1 = F(0) = (2 ˆx +3ˆy) eF2 = F(π/2ω) =−5 ˆz e utilizzando la (3) si ottiene
immediatamente il vettore complesso cercato:
f = F1 − j F2 =2ˆx +3ˆy +j5ˆz