Vettori Complessi e Polarizzazione (pdf 221K) - Nettuno

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componenti rispetto a questa base
f2
f1
= Me −j2α
si può dimostrare che l’angolo α è l’angolo che gli assi principali dell’ellisse formano con gli
assi cartesiani e che il rapporto tra il semiasse maggiore e quello minore èdatoda
Si calcoli dunque il rapporto tra le componenti
f2
f1
= (fx − j fy) 1
√ 2
fx +jfy) 1 √ 2
b
a
= (fx − j fy)(f ∗ x − j f ∗ y )
|fx +jfy| 2
(45)
|1+M|
= . (46)
|1 − M|
= |fx| 2 −|fy| 2 − j2ℜe fxf ∗
y
|fx +jfy| 2 . (47)
In generale fx = ˆ fxe j φx e fy = ˆ fye j φy saranno complessi. Sostituendo nella precedente si
ottiene
Si avrà dunque
f2
f1
= |fx| 2 −|fy| 2 − j2 ˆ fx ˆ fx cos φ
|fx +jfy| 2 con φ = φy − φx. (48)
α = − 1 f2
arctan
2 f1
= 1
2 arctan 2 ˆ fx ˆ fx cos φ
|fx| 2 −|fy| 2
analoga all’espressione determinata in precedenza per lo stesso angolo. In modo analogo si
può dimostrare la validità dell’espressione per il rapporto tra i semiassi dell’ellisse.
Identità di Gibbs
Dato un vettore d ∈ C 3 può essere utile darne una rappresentazione in termini di altri tre
vettori complessi a, b e c tali che a · b × c = 0 (condizione di indipendenza lineare). A questo
scopo si consideri (a × b) × (c × d) =−(c × d) × (a × b) e si sviluppi il prodotto vettoriale:
che può essere scritto anche come:
(49)
(a × b) × (c × d) =c[(a × b) · d] − d[(a × b) · c] (50)
−(c × d) × (a × b) =−a[(c × d) · b]+b[(c × d) · a] (51)
Uguagliando i secondi membri delle (50) e(51) si ottiene:
d[(a × b) · c] =a[(c × d) · b] − b[(c × d) · a]+c[(a × b) · d] (52)
Avendo supposto che i vettori a, b e c fossero linearmente indipendenti, è possibile dividere
la (52) per(a × b) · c = 0 ottenendo un’espressione del vettore d in termini degli altri tre,
detta identità di Gibbs:
[(c × d) · b] × d) · a] × b) · d]
d = a − b[(c + c[(a
[(a × b) · c] [(a × b) · c] [(a × b) · c]
(53)