Vettori Complessi e Polarizzazione (pdf 221K) - Nettuno

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essere un vettore arbitrario del piano perpendicolare alla direzione di polarizzazione di f; cioè
se f = α û, con û ∈ R 3 , allora g = û × h, conh arbitrario. Se f non èLP,esisteràunversore
n ortogonale al piano di polarizzazione di f. Posto g = βn + gf con gf nel piano di f, si
ha (βn · f) = 0 per ogni β. Resta da determinare gf in modo che risulti anche gf · f =0.
Dall’identità
gf × (n × f) =n(gf · f) − f(gf · n) (41)
si ha, poiché gf ·f =0en·gf =0,chegf ×(n×f) =0. Dunque il più generale g perpendicolare
a f ha la forma g = βn+αn×f, conα costante arbistraria. Il corrispondente G(t)è la somma
di un vettore LP nella direzione di n ediunvettorenonLPnelpianodif, che ha ellisse di
polarizzazione ortogonale a quella di f. Il più generale G(t) giace su un cilindro ellittico che
ha sezione retta data da Gf (t) e generatrici parallele a n. Tagliando questo cilindro con piani
arbitrari si ottengono tutte le possibili ellissi di polarizzazione dei vettori g perpendicolari a
f. In particolare, esistono due vettori CP perpendicolari a f, che si determinano imponendo
che g · g = 0. In questo modo si ottiene g = α(n × f ± j √ f · fn).
g
Figura 5: interpretazione geometrica del parallelismo tra vettori complessi
n
gf
Rappresentazione assiale
Per determinare rapidamente le dimensioni e le lunghezze degli assi principali dell’ellisse di
polarizzazione associata ad un dato vettore complesso f, si considerino le seguenti proprietà
dimostrate in precedenza:
• g =e j θ f ha la stessa ellisse di f se θ ∈ R
• ∃θ t.c. gr · gj =0
• se gr · gj = 0, allora gr e gj giacciono sugli assi principali dell’ellisse.